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收敛数列性质.docx

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  • 上传时间:2023-02-18
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    • §2收敛数列的性质教学内容:收敛数列的性质,四则运算法则,子数列教学要求:使学生理解并能证明数列性质、极限的唯一性、局部有界性、保号性、保不等式性;掌握并会证 明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理,并会用这些定理求某些收敛数列的极限;清楚子列概 念,明确数列与其子列敛散性关系教学重点:迫敛性定理及四则运算法则及其应用教学难点:数列极限的计算教学方法:讲练结合教学学时:4 学时引言上节引进“数列极限”的定义,并通过例题说明了验证lima二a的方法,这是极限较基本的内容,要nns求掌握为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题还需要对数列的性质作进一步讨论一、收敛数列的性质:定理2.2 (唯一性)若数列{a h攵敛,则它只有一个极限n分析:设数列{a }有两个极限a,b,只需证明a = b,即证|a -b|可小于任一给定充分小的数n证明:设lim a二a与lim a二b,根据数列极限的定义,有 nnnT8 n T8取 N = maxh , N } V > N,同时有123N e N , Vn > N ,有 a 一 a\< e. Ve > 0, < 1 + 1 n3N e N , Vn > N ,有 a 一 b| < e.1 2 + 2 n|a 一 a| < e, |a 一 b\ < e,于是,V > N, |a 一 b\ = |(a 一 a ) + (a 一 b) < |a 一 a| + |a 一 b\ < 2&, n n n n n n这就说明 a = b ,从而收敛数列的极限唯一。

      定理2.3 (有界性)若数列{a h攵敛,则{a }为有界数列nn分析:即证3M > 0,Vn e N,都有|a | N,有|a 一 a| < 1,从而 n* n 0 + nVn > N,有 |a | = |a 一 a + a| < |a 一 a| + |a < 1 + \a\,取M = max |a |, |a , , |a ,|a| +1[n n n 1 2 N于是,Vn e N,都有|a |< M.即收敛数列必为有界数列n注:有界性只是数列收敛的必要条件,而非充分重要条件例如数列{—l)n }有界,但它不收敛定理2・4 (保号性)若lima = a > 0 (或a < 0 ),则对任何a'e (0,a)(或a'e (a,0)),存在正数n,使得nns当 n > N 时有 a > a'(或 a < a')nn证明:设a > 0,取e = a — a'(> 0),则3N > 0 ,Vn > N,有a > a — e = a',这就证得结果对于a < 0 ,0n的情形,也可类似地证之a注:应用保号性时,经常取a'=幵定理2.5 (保不等式性)设数列{a }与{b }均收敛,若存在正数N,使得当n > N时有a < b,则n n 0 0 n nlim a < limb 。

      BN > 0,使得当n > N时有:a-8 < a证明:设 lim alim a — b,则 Vs > 0,nn s1 1 n ,BN > 0,使得当n > N时有:b < b + 8’2 2 n取N — max^V ,N ,N },则当 n > N 时有:012a-8 < a < b < b + 8,故有a < b + 2s,由 s 的nn任意性便知a < b (参见第一章§1例2),即lima < limb n ts " n s n思考:如果把条件“ a < b ”换成“ a < b ”, n n n n那么能否把结论换成lima < limb ?(答:不行,考虑数列 与:n12保不等式性的一个应用:例 1 设 a > 0(n —1,2,3,),证明:若 lim an n s n—a,贝y lim Ja - pa .证明:由保不等式性可得a > 0.若 a — 0,则由 lim a — a, V8 > 0, BN > 0,nn s使得当n > N时有|a—a| — a < 8,从而n-J a — 0 —n< <8,故有 lim Jn T8使得当n > N时有|a -a <8,从而n若 a > 0 ,则由 lim a — a , V8 > 0 , BN > 0 ,n<-L8,故有limja — Pa .、a n * nn sn不后 N时有n n n 0 0a < c < b,则数列{c }收敛,且lim c — a .n n s n证明:由已知lima — limb — a有V8 > 0, 0,使得当n > N时有:a-8 < a1 1 n ,从而取BN > 0,使得当n > N时有:b < a + 8,2 2 n故得数N — m aXn ,N ,N },当 n > N 时有a-8 < a < c

      下面是其应用一例:例2 证明lim艮方—1.证明:Vn e N ,有 1,令 0,贝y+ nn = (1 + h )n = 1 + nh + n(n —1) h2 + + hn > n(n —1) h2,n n 2! n n 2 n1 2—(n > 1)n 一 1I (n > 1),于是 1 < &n = 1 + h < 1+ J易知 liml 二 lim 1 + '=1,从而由迫敛性便知lim nn = 1.nT8n — 1 n有些教材在此还有性质保序性(本节课后习题2)(保序性)若lim a = a, limb = b,且a < b,则存在正数N,使得当n > N时有an n nn T8 nT8b — a证明:根据数列极限的定义,对s 0 =〒> 0,a + b ” 2 ' a a + b从而 < b , n 2 2 n取 N = max(N , N },则当 n > N 时便有 a <" + "1 2 n 2注: 利用保序性以及反证法很容易可证明保号性定理 二、数列极限的四则运算法则:b-a,从而a <2b 一 由limb = b知3N > 0,使得当n > N时有|b - b| < n 2 2nT8由lima = a知3N > 0,使得当n > N时有la 一 a| < n 1 1n T8< b ,命题得证。

      n定理2.7 (极限的四则运算法则) 若{a }、{b }为收敛数列,nn则{a + b }, {a — b }, {a - b }也都收敛,n n n n n n且有 lim(a 土 b ) = a 土 b = lima 土 limb ; lim(a - b ) = a - b = lim a - lim b .若再做假设 b 丰 0 及n n n n n n n n nnTg n Tg n Tg ns ns nTgf a 1 a a lim alimb丰0,则数列)n f也收敛,且有lim n ・ns 岚 [b J ns b b lim bn n nnT8证明:证明思路大致如下设 lim a = a , lim b = b,则 Vs > 0 , < nnnT8 nT8Hn > 0,使得当n > N时有|a — a| 0,使得当n > N时有|b — b N 时便有 |a 一 a| < £, |a1 2 n n① |(a + b ) — (a + b) = |(a — a) + (b — b) <|a — a| + b — b| W 2s n n n n n n于是 lim(a + b )= a + b = lim a + lim b ;n n n nnT8 nT8 nT8② |(a — b ) — (a — b) = |(a — a) — (b — b) < |a — a| + |b — b| < 2sn n n n n n于是lim(a — b )= a — b = lima — limb ;n n n nnT8 nT8 n T8③又有界性定理收敛数列必有界,设数列% }有界,即3M > 0,使得Vn e N,都有|b |< M,n + nA b - ab\ = \(a b - a B) + (a b - ab)\ < \a ||B - b\ + - a| < Ms + |B£= (M + \b|)sNN NN N N N N N于是lim a bNNN S-ab = lim a•lim bN—g④由lim b = b丰0知lim |b |= b\ > 0 (上节课后习题7),由数列极限保号性知3N > 0,使得当N N 3N—g N—gN > N3时有B」取 N = max In , N , N123则当 N > N 时便有a aN-b bNa b - ab—N N(a b - ab) + (ab - ab )N N—<_!a — a| + a b — b|)

      下举几例;例3解:lim2N 2 + 3N- 2 = limN—g N 2 +1 N—g322 + —-N N 21 + -N2lim 2 + —-N—g \N N 2丿 「] 1 )= lim 1 + ——N—g\ N 2 丿32lim 2 + lim — limN—g N—g N N—g N 2liml + lim 丄N—g N—g N 2例4a Nm + a Nm-1 +求 lim m m-1N—g b Nk +b Nk-1 +k k -1+aN+a1 0+bN+b. 1 0其中m < K, a丰0,b丰0 .mka Nm + a Nm-1 + + a n + a^解 m m-1 1 0• b NK + b NK-1 + + b N + bK K -1 1 0aaaa+m-1+ •…+1+0mNNm-1Nm=Nm - Kb_ •bbb++ •…+—1—+—0-KNN K -1NK已知 limNm-KN—g。

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