重心和形心.docx

第十讲 重心和形心目的要求：掌握平面组合图形形心的计算教学重点：分割法和负面积法计算形心 教学难点：对计算形心公式的理解 教学内容：§3-4 重心和形心一、重心的概念：1 、重心的有关知识，在工程实践中是很有用的，必须要加以掌握2 、重力的概念：重力就是地球对物体的吸引力3 、物体的重心：物体的重力的合力作用点称为物体的重心无论物体怎样放置，重心总是一个确定点，重心的位置保持不变 重心座标的公式：(1) 、重心座标的公式L lii- XiE Y三、物体质心的坐标公式在重心坐标公式中，若将G=mg, G =mg代入并消去g,可得物体的质心坐 标公式如下:ii£工i, Xix,= JUL'Ij. >'iy<= 工匸工i. /.I2.= 工四、均质物体的形心坐标公式若物体为均质的，设其密度为p，总体积为V,微元的体积为V，则G=P gV,G =P gV，代入 i i i重心坐标公式，即可得到均质物体的形心坐标公式如下:EVi. XiXc= EVi. y-yc= EV., z.z.= 式中V=EVi在均质重力场中，均质物体的重心、质心和形心的位置重合五、均质等厚薄板的重心（平面组合图形形心）公式：LAi. Xjx< - EAi, yry<-=―-—Zi- 0令式中的》A,x. = A.x =S ；i i c yYA.・y. = A・y =Si i c x则S、S分别称为平面图形对y轴和x轴的静矩或截面一次矩。

yx六、物体重心位置的求法 工程中，几种常见的求物体重心的方法简介如下：1、对称法凡是具有对称面、对称轴或对称中心的简单形状的均质物体，其重心一定在它的对称面、对称轴和对称中心上对称法求重心的应用见下图2、试验法对于形状复杂，不便于利用公式计算的物体，常用试验法确定其 重心位置，常用 的试验法有悬挂法和称重法1）、悬挂法利用二力平衡公理，将物体用绳悬挂两次，重心必定在两次绳延长线的交点上悬挂法确定物体的重心方法见图(2 )、称重法对于体积庞大或形状复杂的零件以及由许多构件所组成的机械，常用称重法来测定其重心的位置 例如，用称重法来测定连杆重心位置设连杆的重力为G,重心C点与连杆左端的点相距为Xc,量出两支点的距离L,由磅秤读出B 端的约束力 FB,B则由 工M a(F)=0 Fb.L—G.xc=O肯 Fb.L/G(3)、分割法：工程中的零部件往往是由几个简单基本图形组合而成的,在计算它们的形心时,可先将其分 割为几块基本图形,利用查表法查出每块图形的形心位置与面积,然后利用形心计算公式求出整 体的形心位置此法称为分割法下面是平面图形的形心坐标公式：E Ai+ XiE A, \ i疙二~~(4)、负面积法：仍然用分割法的公式,只不过去掉部分的面积用负值。

3、查表法在工程手册中,可以查出常用的基本几何形体的形心位置计算公式面列出了几个常用的图形的形心位置计算公式和面积公式■ft IFgs in □v. =h/3 A :hh/H\ i■- u删IEx .■=[.■■■■■■] \ :hl丫:岡 口 =?/2ir-1r/；i?二 hGn2h)* 3 (el - b)A h('ii-h)/2四、求平面图形的形心举例例 1 热轧不等边角钢的横截面近似简化图形如图所示，求该截面形心的位置解: 方法一（分割法）： 根据图形的组合情况，可将该截面分割成 两个矩形I,II, Cl和C2分别为两个矩形 的形心取坐标系Oxy如图所示，则矩形I , II的面积和形心坐标分别为A =120mmX 12mm = 1440mm2lx —6mmly —60mm1A —（80-l2）mmXl2mm—8l6mm22x —l2mm＋(80-l2)/20=46mm2y —6mm212 Aj- XH Al. XL-^2. X? x：= A AZ Ai. yi Ai. yi -As，A AH4OXei+816X Hi -mml140+816l-140Xti(j+Siax6 z R =Iff. ^lllllI 140+816即所求截面形心C点的坐标为（20.5mm, 40.5mm）方法二(负面积法)：用负面积法求形心。

计算简图如图A — 80mmx 120mm — 9600mm21x—40mm y1—60mmA =－108mmx68mm—－7344mm22x—12mm＋(80－12)mm/2=46mmy—12mm＋(120－12)mm/2=66mmAl“ xi+Aa.9600 X 60 7344X16=2(). nmiAA9600 -73 HyiAi. yi +Ag. ys9600X60-7344X66g：l〔L /jiiiiiAA卜心11由于将去掉部分的面积作为负值，方法二又称为负面积法例 2 试求如图所示图形的形心已知 R— 100mm，r2— 30mm，r3— 17mm解:由于图形有对称轴，形心必在对称轴上，建立坐标系Oxy如图所示，只须求出xc，将图形看 成由三部分组成，各自的面积及形心坐标分别为 (1 )、半径为 R 的半圆面：A】—nR2/2—nx(100mm)2/2 —15700mm2 yi—4R/(3n)—4xl00mm/(3n)—42.4mm(2) 、半径为r2的半圆面A2—n(r2)2/2—nx(30mm)2/2 —1400mm2y2=—4r/(3n)=—4x30mm/(3n)= —12.7mm(3) 、被挖掉的半径为 r3 的圆面：A3——n(r3)2——n(17mm)2—910mm2 y3—0(4) 、求图形的形心坐标。

由式形心公式可求得EAi. yi g yi血亠+h・ ya y.= A A1.4700X42. 44 1400X(-12. 7) EHOXO -4(Jwiiil.iYOO- 1400-M 10即所求截面形心C点的坐标为(0mm, 40mm)。