2024年新高一（初升高）数学暑期衔接讲义-函数的应用(一).pdf

专题2 1函数的应用(一)【知识点梳理】知识点一 用函数模型解决实际问题的一般步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型.建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型.(3)求模：求解数学模型，得到数学结论.(4)还原：利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中.可将这些步骤用框图表示如下：实际问题”、联 金迪象、转 之后 函 数 模 型问题解决数学解答译转实际问题结论数学问题结论知识点二常见的函数模型(1)一次函数模型：即直线模型，其特点是随着自变量的增大，函数值匀速增大或减小.现实生活中很多事例可以用该模型来表示，例如：匀速直线运动的时间和位移的关系，弹簧的伸长量与拉力的关系等.(2)二次函数模型：二次函数为生活中最常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等问题常常是二次函数的模型.(3)分段函数模型：由于分段函数在不同的区间中具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化的实际问题，或者在某一特定条件下的实际问题中具有广泛的应用.【题型归纳目录】题型一：分式型函数模型的应用题型二：二次函数模型的应用题型三：分段函数模型的应用题型四：函数图象与实际问题的交汇【典例例题】题型一：分式型函数模型的应用例 1.(2023 广东深圳高一深圳外国语学校校考期中)生命在于运动，运动在于锻炼.其中，游泳就是一个非常好的锻炼方式.游泳有众多好处，强身健体、保障生命安全、增强心肺功能、锻炼意志、培养勇敢顽强精神、休闲娱乐.近几年，游泳池成了新小区建设的标配家门口的“游泳池”，成了市民休闲娱乐的好去处，如图，某小区规划一个深度为2 m,底面积为400 m2的矩形游泳池，按规划要求：在游泳池的四周安排4m宽的休闲区，休闲区造价为200元/?，游泳池的底面与墙面铺设瓷砖，瓷砖造价为100元/n?.其他设施等支出约为1 万元，设游泳池的长为加.44 44试将总造价y(元)表示为长度x(m)的函数；(2)当x 取何值时，总造价最低，并求出最低总造价.【解析】因为游泳池的长为加，所以游泳池的宽 为 幽 m,X铺游泳池的花费为 100 x(400+2xx2+2x年x2)=400(100+x+_),休闲区的花费为200 x(x+8)幽+8)-400=1600+8J,所以总造价为 =400100+x+%J+1600(x+%+可+10000=2000+62800,其中 x 0；(2)由基本不等式可得y=2000(x+%)+62800 2000 x 2卜+62800=142800(元),当且仅当=竺 2,即=2 0 时，等号成立.X因此，当x=20m时，总造价最低，且最低总造价为142800元.例 2.(2023 高一课时练习)“垃圾分一分，环境美十分”.某校为积极响应有关垃圾分类的号召，从百货商场购进了A,8 两种品牌的垃圾桶作为可回收垃圾桶和其他垃圾桶.已知8 品牌垃圾桶比A 品牌垃圾桶每个贵50元，用 4000元购买A 品牌垃圾桶的数量是用3000元购买B品牌垃圾桶数量的2 倍.(1)求购买一个A 品牌、一个8 品牌的垃圾桶各需多少元？(2)若该中学决定再次准备用不超过6000元购进A,2 两种品牌垃圾桶共50个，恰逢百货商场对两种品牌垃圾桶的售价进行调整：A 品牌按第一次购买时售价的九折出售，2 品牌比第一次购买时售价提高了2 0%,那么该学校此次最多可购买多少个B 品牌垃圾桶？【解析】(1)设购买一个A 品牌垃圾桶需x 元，则购买一个2 品牌垃圾桶需(尤+50)元，依题意，得：型空义2,解得：x=1 0 0,经检验x=100是原方程的解，且符合题意，x x+50.*.x+50=150.答：购买一个A 品牌垃圾桶需100元，购买一个2 品牌垃圾桶需150元.(2)设该学校此次购买m个B品牌垃圾桶，则购买(5。

一 m)个 A 品牌垃圾桶，2依题意，得：100 x0.9(50-;w)+150 x(l+20%)mV6000,解得：加 16.因为根是正整数，所以，最大值是16.答：该学校此次最多可购买16个 2 品牌垃圾桶.例 3.（2023江苏盐城高一盐城市伍佑中学校考阶段练习）因新冠疫情零星散发，某实验中学为了保障师生安全，同时考虑到节省费用，拟借助校门口一侧原有墙体建造一间高为4 米、底面积为24平方米、背面靠墙体的长方体形状的隔离室.隔离室的正面需开一扇安全门，此门高为2 米，且此门高为此门底的（因此室的后背面靠墙，故无需建墙费用，但需粉饰.现学校面向社会公开招标，甲工程队给出的报价：正面为每平方米360元，左右两侧面为每平方米300元，已有墙体粉饰为每平方米100元，屋顶和地面以及安全门报价共计1200元.设隔离室的左右两侧面的底边长度均为x 米WxW5）.（1）记 y 为甲工程队整体报价，求 y=/（x）的解析式；（2）现有乙工程队也要参与此隔离室建造的竞标，其给出的整体报价为480,（x+1）元,问是否存在实数r,X使得无论左右两侧底边长为多少，乙工程队都能竞标成功（注：整体报价小者竞标成功），若存在，求出/满足的条件；若不存在，请说明理由.24【解析】（1）由题意，隔离室的左右两侧的长度均为1 米则底面长为三 米，正面费用为x24360（4x 2x6）,x24 24故/（x）=360（4x 2x6）+4x xl00+2x300 x4x+1200XX184二 240(+10 x)-3120,l x 4 80f(%+1),对任意 xel,5都成立,X XRn即 0).7 U)=作=：，g =依=：,O乙二段尸 1 x(A 0),g(X)=y 4X(X 0).o乙(2)设投资债券类产品x 万元，股票类产品(2 0-x)万元，年收益为y 万元，x1 _ _则由题意得 y=fix)+g(20 -x)=+A/2 0-X(0 0 烂 2 0),8 2令 t=2 0-x，则 x=2 0-%,0,2 6 ,+：=2 尸+3,/e 0,2 石,8 2 o当 t=2,即 X=1 6 时,yma i.投资债券类产品1 6 万元，股票类产品4万元时可获得最大年收益，且最大年收益为3万元.例 5.(2 0 2 3 高一课时练习)小明同学想知道自家煤气灶旋钮放到什么位置时，烧开一壶水最省燃气，于是【解析】设旋钮的转角(单位：度)为无，所耗燃气量(单位：n?)为 y,在平面直角坐标系中描出表中的五个点(无，y)如图，0.2|燃气量/nP-际 21_ Q J 4 Q-T-0.1 3 0 0.1 3 9 W 4 U.122 r i1f 1 1 111*111 1!11 J i i i i ii 1 a 1 a 1 1 a 11iO 1 8 3 6 5 4 7 2 9 0。

旋 赢 度可以选择二次函数进行模拟拟合，设 =奴 2+法+4中0）,不妨取(1 8,0.1 3 0),(3 6,0.1 2 2),(9 0,0.1 7 2)代入,0.1 3 0 =a-1 82+1 8 Z?+c得 0.1 2 2 =a-3 62+3 6 Z?+c,0.172=G-902+90/?+C”1.9 0 3 3 x 1 0-5解 得,=一1.4 7 2 2 x 1 0-,c=1.5 0 3 3 x 1 0-故 y =1.9 0 3 3 x 1芍/一 1.4 7 2 2 x l O 1.5 0 3 3 X 1 01,b-1.4 7 2 2 x l 0 3五一一 2 x 1.9 0 3 3 x 1 0-5士3 9 时,的最小值为处 9.4 乂 1.93 3 乂 1义1.53 3*11 4 7 2 2 240000.小张今年年底收入Y的最大值为256000元.变 式 1.（2023 高一单元测试）甲、乙两城相距100km,在两城之间距甲城xkm处的丙地建一核电站给甲、乙两城供电，为保证城市安全，核电站距两地的距离不少于10km.已知各城供电费用（元）与供电距离（km）的平方和供电量（亿千瓦时）之积都成正比，比例系数均是4=0.25,若甲城供电量为20亿千瓦时/月，乙城供电量为10亿千瓦时/月，把月供电总费用y（元）表示成Mkm）的函数，并求其定义域；（2）求核电站建在距甲城多远处，才能使月供电总费用最小.【解析】（1）由题意知：=0.2510（100 司2经化简为 y=7.5x2-500%+25000,定义域为10,90.将中函数配方为y=xj+25000=yX 100|2+500300所以当x=g即核电站距甲城 km时，月供电总费用最小，为 誉）元.变式2.（2023高一课时练习谋工厂去年1 月，2 月，3 月生产某产品分别为1 万件，1.2万件，1.3万件,为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产量数据为依据，用一个函数模拟产品的月产量与月份数xh的关系，模拟函数可以选择二次函数或函数y=x+2 +c（其中d d C为常数）.已 知 4 月份该产品产量为XL37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数更好，并说明理由.【解析】设二次函数为y=p尤?+厂，p+q+r=1由已知得 4P+2q+r=1.2,9p+3q+r=1.3p=-0.05解 之 得 q=0.35,r=0.7所以 y=-0.05%2+0.35x+0.7,当=4 时，y1=0.05 x 42+0.35 x 4+0.7=1.3,、，b又对函数y=ax+c,xa+b+c=1由已知得_ b 102 H-F c 1.22b3a H-F c=1.33a=0.05解 之 得 b=-0.3,c=1.253所以 y=0.05x-+1.25,10%3当 =4 时，y2=0.05x4-+1.25=1.375.2 10 x4根据四月份的实际产量为1.37万元，而|%T .37|=0.005 0.07=|-1.37|,3所以函数y=0.05-二-+L25作模拟函数较好.10.x题型三：分段函数模型的应用例 7.（2023高一课时练习）某厂生产某种零件，每个零件的成本为4 元，出厂单价6 元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购超过100个时，每多订购一个，零件的出厂单价就降低0.01元，但实际出厂价不低于5 元.(1)当一次订购量为多少时，零件的实际出厂单价降为5 元？(2)设一次订购量为x 个，零件的实际出厂单价为。

元，求函数P=/(x)的表达式；(3)销售商一次订购150个零件时，该厂获得的利润是多少元？若订购500个呢？【解析】(1)设一次订购量为尤个时，零件的实际出厂单价降为5 元，贝|6 (x 100),0.01=5,解得x=200,所以当一次订购量为200个时，零件的实际出厂单价降为5 元.(2)当0 c x 100时，f(x)=6,当 100 x 200时，/(x)=6-(x-100)-0.01=7-0.01x,当x200时，/(%)=5,-6,0 x100/(x)=J 7-0.0U 100 x 200当一次订购150个零件时，出厂单价为7-0.01x150=5.5元，该厂获得的利润是：(5.5-4)x150=225元；当一次订购500个零件时，出厂单价为5 元，该厂获得的利润是：(5-4)x500=500元，故销售商一次订购150个零件时，该厂获得的利润是225元；若订购500个，该厂获得的利润是500元.例 8.(2023.高一平湖市当湖高级中学校联考期中)在中国很多乡村，燃放烟花爆竹仍然是庆祝新年来临的一种方式，烟花爆竹带来的空气污染非常严重，可喷洒一定量的去污剂进行处理.据测算，每喷洒一个单位的去污剂，空气中释放的去污剂浓度，(单位：毫克/立方米)随着时间工(单位：天)变化的函数关系式近似为X1+-,0%4,若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释,4x10、x+2放的浓度之和，由试验知，当空气中去污剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到去污作用.(1)若一次喷洒4 个单位的去污剂，则去污时间可达几天？(2)若第一次喷洒2 个单位的去污剂，6 天后再喷洒。

44)个单位的去污剂，要使接下。