江苏省南通市2024届高三5月高考适应性三模考试数学试卷及答案.pdf

江苏省南通市2024届高三下学期高考适应性考试(三)数学试题一、单项选择题(本大题共8 小题,每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合2 =1,2,3,4 ,5 =卜|1 0 82(%一1),2 ,则集合幺门8 的子集个数为()A.32 B.1 6 C.8 D.42.在梯形/B C D 中,2 8/CO,且 2 5 =2 C O,点M是 8 C 的中点，则 而 =()2 1-1 -2 1 -A.AB AD B,AB+AD C.AB+AD3 2 2 3 23.x 6-的展开式的常数项为()A.-2 1 B.-35 C.2 13 -1 .D.-AB+-AD4 2D.354 .国家二级文化保护遗址玉皇阁的台基可近似看作上、下底面边长分别为2 m,4 m,侧棱长为3 m的正四棱台，则该台基的体积约为()3B.28 sm C.2 8m35 .在平面直角坐标系xOy中,已知点71 1(2,1)为抛物线E;X2=2py(p 0)上一点，若抛物线E在点M处的切线恰好与圆/+3一6)2=2(5 0)相切,则6=()A.yf2B.-2C.-3D.-4JI.46 .已知 0 0 a/(4+1),则实数a的取值范围是(A.(-,-1)(3,+0 0)B.(-,-3)u(l,+o o)C.(-3,1)D.(-l,3)二、多项选择题(本大题共3 小题,每小题6 分，共 18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求、全部选对的得6 分,部分选对的得部分分，有选错的得0 分）9.已知句/2都是复数,下列正确的是（）A.若 Z=z2，则 z/2 e RC、若 =艮|，则z：=z；B.若 ZR2 上 R，则 Z=Z2D.若 Z 12+Z；=0,则匕J=匕 2|10.在数列%中，若对V/2 e N*,都有 +2=q（q为常数），则称数列%为“等差比数列”均为公差%+1-an比,设数列%的前项和是S，则下列说法一定正确的是（）A.等差数列%是等差比数列B.若等比数列 4 是等差比数列，则该数列的公比与公差比相同C.若数列 5 是等差比数歹U,则数列。

角 是等比数列D.若数列 4 是等比数列,则数列阻 等差比数列11.在棱长为2 的正方体A B C D -4 8 1 G A 中，点E是棱B BX的中点，点F在底面A B C D内运动（含边界），则（）A.若尸是棱CD 的中点，则ER/平面A.BDB.若 跖，平面4 G E，则 厂 是 8的中点C.若F在棱A D上运动（含端点），则点F到直线A.E的 距 离 最 小 值 为 竽D.若尸与5 重合时，四面体4 G E E 的外接球的表面积为197r三、填空题（本题共3 小题,每小题5 分，共 15分.）2X?X -,=1/=1 I n(n+1)2024年高考适应性考试（三）数学试题参考答案及评分标准一、单项选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）题号12345678答案CDBACBAA二、多项选择题（本大题共3 小题，每小题6 分，共 18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6 分，部分选对的得部分分有选错的得0 分）题号91011答案ADBCDACD三、填空题（本题共3 小题，每小题5 分，共 15分.）12.1 3.三5 14.3 2 2 7 7 +1四、解答题（本大题共5 小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1 5.（本小题满分13分）（1）证明：取 N E的中点N,连结ON,FN.在N E8中，M,N 分别是8,E 4 的中点,所以 AfiV/3,且 AB=2MN.在 正 方 形 中，AB/CD,.AB=CD,又点Q 是 CD 的中点，所以。

且/8=2 Q D所以 且 MN=OiD,所以四边形MVOQ是平行四边形，.3 分所以 OXM/DN.又 D N u平面NOE,Q M U 平面所 以 平 面 NDE.6 分（2）解：因为N 8是圆的直径，E 是 N 8 的中点，且 48=4,所以 L 0 5,且E=0/=08=2.以为坐标原点，以0 B,1所在直线分别为x 轴，轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系一干 z.依题意，0,0,0),01(0,0,4),B(0,2,0),EQ,0,0),M(l,1,0),A(0,-2,0),)(0,-2,4).7 分所 以 证=(1,1,一4),西=(0,2,0),乖=(2,0,-4).设4=(占，”，z j 是平面OMD的法向量,则，.空=0,即 0,取,四=0,2%=0,得乃=0,z,所以加=(4,0,1)是平面OiMD的一个法向量.9 分设%=(%2,y2,z?)是平面OXM E 的法向量,则 n2-OXM=0,n2 OE=0,即优+%-4Z2=0,2X2-4Z2=0,取必=2,得竺=2,Z2=1,所以鼠=(2,2,1)是平面O1ME的一个法向量.11分所以cos储，几 2)=1rli%4 x 2+0 x 2+lx lV42+02+12-V22+22+123V1717设二面角D O iM-E 的大小为9,据图可知，cos6=cos(,“2)=3 ，所以二面角D-O.M-E 的 余 弦 值 为 巫.13分171 6.(本小题满分15分)解：(1)假设为:人们对跑步的喜欢情况与性别无关.根据题意，由2x2列联表中的数据，可 得/=40 x(12xl0-8xl0)220 x20 x22x18=0.4040 0,故 cosZ=/sin/,BP tan A=-,又 4E（0,兀），所以/=:兀.6 分（2）法一：因为。

是边B C的中点，a=2,所 以 助=1.在4AD 中，A B L A D,则 40=5Q siiig=sin5.8 分5 71 71 S jr在ZCZ）中，ZC AD=-7 1-=-,C=71RB=B,CD=1,6 2 3 6 6据正弦定理可得，CD=型,即，=“、,sin ZCAD sinC s.i n sm.it BD3 0）,因为椭圆的 离 心 率 为 ，所以二=,即,2=3/,2a 2 4据/-=c 2,得/一 尸=3 0 2,即 a=28.2 分4所以直线N 8 的方程为成+看=1,即x+2y-2b=0,因为原点到 直 线 的 距 离 为:石，故目=2 ,解得6=1,#+22 5所以2,.4 分丫2所以椭圆C 的标准方程为二+/=1.5 分4（2）设直线/的方程为了-1 =左（-2）,其中左：,且左与，即y=丘一2左+1.设直线/与椭圆C 交于点M（X,必），N（X2）y2）.联立方程组y=kx-2 k+1,X2 2 _ i-by=1,14,整理得（4后2+1）工2 （16公-8左）x+16-16左=0,所以玉+%=16k2 -8k4F+116左 2 16左x,1 x22=-4公+1.8 分所以左 左2%一 1%1左（玉-2）k 2 -2）1 J X1|k（X 2%2 2,2kXyX2 一 （项 +%）2（再 _ 2）（_ 2）k网毛一（西+%）xAx2-2（X +x2）+41 6-16左 16kz-8k2 4左？+1-4左？+1 _2k 16左 2-16左 c 16E-8k A k-；-2x；-+44k2+1 4k2+1.11分_3k里 产=-4 为定值，得证.+1 法 一：直线2M 的方程为了=x +1 ,令y =0,得 =-,故T -,0X I K设直线8N 与 x 轴交于点Q.直线2 N 的方程为y=+1 ,令 y=0,得了=,故,0k2 I k2联立方程组y=k2x+1 工2 2 整理得（4代+l）f+8 月工=0,彳+y=1,解得X2=3或。

丹%=+1 =/-叼+1 =4+1.4代+1所以3NT的面积s=；|小 由可知，7所以S=4+k21十 一左2%+1因为点N 在 x 轴下方且不在y 轴上，故-或42 工，得 2+工 0,所以S=+.含=？4.筌1+,.14分显然，当心 一工时，5=4卜+七 二 Q g时，Tl +母 4,故只需考虑左21-,令 =2左 2 1，贝队 0,所以 S=4 1 +-4（Z +1）+1=41 +t+-+2t）W42 后+2,=272+2，X、1 +当且仅当t=2,t=五,即 幺=也 里 时,t 2 2所以BN?的面积S 的最大值为2夜+2.不等式取等号,17分法二：直线3M 的方程为了=外:+1 ,令 y=0,得 彳=-工，故7，工，0左 1 I左设直线BN与 x 轴交于点0.直线5 N 的方程为=左2%+1，令歹=0,得 X=,故-,0.2 I%2,由可知，+=4,故 =4,k k2 k k2所以点4(2,0)是线段T 0 的中点.故的面积S=2 S.N=2xAB xd=y/5d,其中d 为点N 到直线的距离.14分思 路 1 显然，当过点N 且 与 直 线 平 行 的 直 线，与椭圆C 相切时，d 取最大值.设直线/的方程为y=+0),即x+2 j-2加=0,1y=x+m,联立方程组 2 2 整理得/_ 2 必+2疗-2=0,X 2 1 1 y=1,14,据 A=(2m)2-4(2加 之 2)=0,解得 m y/2(正舍).所以平行直线/t x+2y+2后=0 与直线/：x+2歹 一 2=0之间的距 离 为 度/5 1=与二，即 的 最 大 值 为 理 工.V5 V5 V5所以A B N T的面积S的最大值为V5 x河二=141+2.V5.17分思路2 因为直线/的方程为x+2 y-2=0,所以 S=yf5d=y/5-民：2j?+2%-2|,Vl2+22 1 1思，-2 /2,%2 w 0，%0，%2 +2y2 -2 0,/)在 0,+oo)上单调递增，/(%)/=1-。

i)若 1一 0,即 QWI,尸(x)21 a 2 0,/(x)在 0,+00)上单调递增，所以/(x)在 0,+00)上的最小值为/(0)=0,符合题意.3 分(ii)若 1 q 1,此时广(0)=1 2-1 0,又函数广在0,+oo)的图象不间断，据零点存在性定理可知，存在%(0,皿+2),使得尸(x)=0,且当X(0,%0)时,/*(x)0,/(X)在(0,%)上单调递减,所以/(工0)0 时，/(x)0.要证：函数/(x)在(0,+动上具有性质S.即证：当 o 时，%(：).即证：当 0 时,x-/*(x)-/(x)0 .令 g(x)=x，,x 0 ,贝 lj g(x)=x-(ex 一a +sin x)-(e -Q X-C OS X),B P g(x)=(x-l)ex+x sin x +c o sx ,x 0 ,g*(x)=x(e，+c o sx)0 ,所以g(x)在(O,+8)上单调递增,g(x)g(O)=O.即当x 0 时，x-/*(x)-/(x)0 ,得证.11 分 法一：由得，当 x 0 时，(x-l)ex+x sin x +c o sx 0 ,所以当 x 0 时，(1-x)ex x +l,其中x 0；(ii)c o sx 0 ,则 p p(O)=O,即当x 0 时，ex x +1.1 sin 2 x(ii)令夕(x)=t a n x x ,XG(0,1),则夕(x)=：-1 =z 0 ,c o s X C OS X所以夕(力在(0,1)上单调递增,故夕(力夕(0)=0 ,即当工(0,1)时，t a n x x,故 sinx 口,得 c o sx 由 .c o sx x.13 分据不等式(ii)可知，当x w(0,l)时，(l-x)ex x sin x +c o sx 四 ex.结合不等式（i）可得，当X （0,l）时,sinx x(l-x)x2+1e x2+l+x(l-x)(l+x)x(l-x)(l+J1+x所以当X (O,1)时,-s-i-n-x-1-x-.X1+X15分当 2 2,EN*时,1en(0,1),有nsi.n1 n_ 11+-n+in一 叱 1 1 7所以1 p sin二3n-12i=。