圆锥曲线知识点整理.doc

圆锥曲线一、 椭圆1. 椭圆的定义平面内与两个定点、的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距 其中，常数=2，焦距=2c 符号表示： 【注意】 时表示椭圆，时表示线段，时不存在2．椭圆的标准方程及几何性质X型Y型标准方程（）（）图 形范 围顶 点焦 点准 线焦半径；；离心率；越接近1，椭圆越扁，越接近0，椭圆越圆对称性关于坐标轴成轴对称，关于原点中心对称通 径轴长轴的长，短轴的长焦 距=2c的关系3．焦点三角形 点在椭圆（）上1) 的周长：2）的最大面积：3）连接延长交椭圆于，则的周长：4）的面积：5）若,则，点到轴的距离： 【注】双曲线的焦点三角形面积公式：6）取最大值时，7）取最大值时，8) ,时，离心率是：9）中，点为三角形内心，为的角平分线，则：5．求标准方程——待定系数法 1）定位置：根据条件确定椭圆的焦点在哪条坐标轴上 2）设方程：有两种方法： 1°根据焦点位置，设方程为（）或（） 2°设一般式方程（整式方程）： 3）列方程：根据条件列出关于、（或、）的方程组 4）求 解：解方程组，将所求相应值代入所求方程并写成标准形式6．求离心率 方法1： 方法2： 方法3：几何法，借助椭圆中的几何关系二、 双曲线1． 双曲线的定义 平面内与两个定点、的距离的差的绝对值等于常数（小于且不等于0）的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫双曲线的焦距。

其中，常数=2，焦距=2c 符号表示： （） 【注意】1） 双曲线的定义应注意差的绝对值2满足若，动点的轨迹表示的中垂线若，动点的轨迹表示以、为端点向外的两条射线若，动点的轨迹不存在2） 在双曲线的定义中，为动点：若，曲线只表示焦点所对应的一支双曲线若，曲线只表示焦点所对应的一支双曲线3） 判定双曲线的焦点在哪条轴上，不像椭圆比较的分母大小，而是看的系数的符号（方程的右边等于1），焦点在系数为正的那条轴上2． 双曲线的标准方程及几何性质X型Y型标准方程（）（）图 形范 围顶 点焦 点准 线渐近线焦半径；；离心率；越小，开口越狭窄，越大，开口越开阔对称性关于坐标轴成轴对称，关于原点中心对称通 径实、虚轴线段叫做双曲线的实轴，它的长，叫做双曲线的实半轴长线段叫做双曲线的短轴，它的长，叫做双曲线的虚半轴长焦 距=2c的关系3． 双曲线系方程1）与共渐近线的双曲线系方程： 2）以为渐近线的双曲线系方程： 3）与共焦点的双曲线系方程： 【注】与共焦点的椭圆系方程： 4） 等轴双曲线系方程（即的双曲线系方程）： 【注】等轴双曲线的性质： 渐近线互相垂直，渐近线方程为：5） 离心率为的双曲线系方程： 或6） 双曲线的共轭双曲线为【注】共轭双曲线的性质： 1°+=1 2°四焦点共圆 7）双曲线的一般式方程： （）三、 抛物线1． 抛物线的定义：平面上到定点和定直线（）距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。

2． 抛物线的标准方程及几何性质标准方程图形焦点准线范围焦半径对称轴轴轴顶点通径过焦点并垂直于轴的弦称为通径，长度为离心率【注】焦点弦长为（）的弦有两条，且对称存在3． 抛物线焦点弦的性质设是过抛物线焦点的弦若，，则：1），2）弦长（为弦的倾斜角） 3） 4) 以弦为直径的圆与准线相切 5) A、O与B在准线上的射影B’三点共线；B、O与A在准线上的射影A’三点共线 6）四、 圆锥曲线知识拓展1． 圆锥曲线的第二定义（统一定义） 平面上，到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线且当01时为双曲线这里的参数e就是圆锥曲线的离心率，它不仅可以描述圆锥曲线的类型，也可以描述圆锥曲线的具体形状，简言之，离心率相同的圆锥曲线都是相似图形一个圆锥曲线，只要确定了离心率，形状就确定了特别的，因为抛物线的离心率都等于1，所以所有的抛物线都是相似图形2． 圆锥曲线性质对比圆锥曲线椭圆双曲线抛物线标准方程 () ()图形范围顶点离心率焦半径渐近线———————————对称性关于坐标轴成轴对称，关于原点中心对称关于x轴对称焦点准线焦准距通径参数方程过圆锥曲线上一点的切线方程斜率为k的切线方程五、 直线与圆锥曲线（一） 交点问题1. 直线与椭圆： 2. 直线与双曲线：1）时，即时： 1°若，则直线为双曲线的渐近线 2°若，则直线与双曲线相交于一点2）时，求出（或判断的符号） 1°时，直线与双曲线相交于两点：〈Ⅰ〉直线与双曲线的左支有2个交点：〈Ⅱ〉直线与双曲线的右支有2个交点：〈Ⅲ〉直线与双曲线的左右支各有1个交点： 2°时，直线与双曲线相切于一点 3°时，直线与双曲线相离，无交点3． 直线与抛物线：1）时：直线与抛物线相交于一点，且此时轴2）时，求出（或判断的符号）： （二） 弦长公式1． 一般弦长公式2． 抛物线焦点弦长公式 (左、右开口)或 （上、下开口）（三） 点差法——用于解决弦中点、中点弦、垂直平分及对称问题1． 在椭圆中1）X型： 2）Y型：推导过程（以X型为例）： ①-②得：2． 在双曲线中1）X型： 2）Y型：3． 在抛物线中1）：2）：3）：4）：（四）韦达定理法1．解题步骤： 1）设而不求：交点坐标一般只设不求 2）联立方程：将直线方程与曲线方程联立 3）消去变量：消或者消 4）得到一元二次方程 5）2．题型： 1）弦长、面积、垂直问题，直接套用韦达定理 2）直线过定点问题： 3）求范围： 4）证定值：（如，……） 5）求最值、判断有无最值。