概率论与数理统计第二章课后习题参考答案同济大学出版社林伟初.docx

第二章1.解：X的可能取值为2, 3, 4, 5,6， 7， 8， 9，X=2 对应于一种情形：（1,1),则 P{X 2}10, 11,1X=3 对应于两种情形：（1,2）、2,1),则 P{X 3}121■36 ；2r~6X=4对应于三种情形：（1,3）、2,2）、3,=x =1),则 P{X 4}1■18 ；316 6 12X=5 对应于四种情形：（1,4）、2,3）、P{X 5}3,4X=6对应于5种情形:X=7对应于6种情形:可以算得8｝丄6 611｝丄_ _ 6类似地,P{XP{X因此，X的分布律为2)、(4, 1),16 6 9 ；1 ，5）、（ 2，4）、（ 3，P｛ X1,6)、( 2, 5)、( 3,P{ 7= 6-^63） 、（4，2）、（5，1），5 ■36 ；4） 、（ 4, 3）、（ 5, 2）16, 1),41P{ X 9=市 9, P{ X 10}11536—,P{ X 12}18 — [ 6 6 36= =x ==X 3 1P{X i}氏6 [6 (i=1)k 6 (7 i) ,. 23 7366) 1] 6 (iJ6 -36 7) 36：-, i 8,9, ,12==6 Ii 7136 -2.解：设随机变量X表示产品质量的等级，X的可能取值为1, 2, 3。

由题可知, 一级品数量:=二级品数量：三级品数量=2 : 1 : 0=5= 4 : 2・.：1, 因此可求得X的分布律为2,3,4, ,11,123.解：P{X112X123P421k〒774,其取值概率为X的可能取值为0, 1, 2, 3,0} 0.7 , P{X 1} 0.30.7 0.21 , P{X 2} 0.3 0.3 0.7 0.063 ,P{X 3} 0.3 0.3 0.3 0.7 0.0189 , P{X 4} 0.3 0.3 0.3 0.3 0.0081 —— —— 7 —— —— —— 7 7 —— z\ z\ z\ 即X的分布律为 \/ X/ Z\ /X z\ z\ z\ z\ X01234Pk0.70.210.0630.0189 0.00816・解： X 的可能取值为1， 2，3，其取值概率为C23C23C2P{X 1} C35，P{X2}c3，P{ X3} c3555即 X 的分布律为====X1=23 二-=331Pk510108．解：设 X 表示发生交通事故的次数，则 X1•10B(10OO , 0.0001)。

由于n 1000 比较大， p 0.0001 比较小，所以 X 近似服从泊松分布，且 np 0.1 那么r^j P{ X 2} 1 P{ X 0} P{ X 1}> =- =- =9•解：(1) P{ X 0.5} 0.5 f (x )dx 咗2xdx x22)由课本31页的性质2?血知P{X当 x 0 时? F( x)x勺时，F(x)当x< 1 时，F(x) 所以x的分布函数为J —— —CXD当0-J (t )dt0・5 0.25 ；00 ；0dt 0 ；2tdt 12(t)dtx f(t)dtx 0dt 空x x 2 ；01 1;0x 00< x x 110・解：元件使用1500h后失效(即元件的寿命不超过1500 f (x)dx 15001000 dx1000 x=rF ( X ) rx 211超过1500h )的概率为:P{X 1500}< J 亠设Y表示5个元件在使用1500h后失效的个数，则Y B(5, 3)100015001■31000，因此恰有2个元件失1 0.9048 0.0905 0.0047 ° =效的概率为：P{Y 2} C 2 -252分 803、 24311．解：(1)因为连续型随机变量的分布函数是连续函数，所以有x1x1limF(x) limF(x) lim Ax2 F(1) x1即有A=l； 〉(2)由分布函数的性质1,有P{0.3 X 0.7} F (0.7)F (0.3) 0.72 0.32 0.4 ；(3)由课本38页的(2-14)式，有< < = — = _f(x) F (x):，‘ 其他x 1/ 」 V V12・解：(1)由课本31页的性质1，A^^dx+OQ即有f (x)dxc+OQ1-违；e xdx 2A[ e x ]0— — +oo2A 1 ，(2)由于X的概率密度函数是分段函数/(兀)1ex「21-e x\2x0因此当 x 0 时，F (x)f- —oo当x< 0时,>F (x)x f (t)dt xj—ooetdt2 i1et2—OOx f (t )dt °所以X的分布函数为=J—getdt2F(x)J1 ex「21et2x0〉1213・解：(1)由课本37分布函数的性质P,可得到xT—8F (一8) = lim F (x) = ^lim (A + B arctan x) = A 一 壬 B = 0冗F (+8) = lim F (x) = lim (A + B arctan x) = A + — B = 1x T+8 xT+8 2因此，可求得A = , B =—，即 F (x) = + — arCtan x ；2 兀 2 兀(2)由分布函数的性质1，有⑴P{ X <100} g 8 s100 丄=1 — e - 2P{ x\v 1} = P{—1 v x v 1} = F ⑴-F (-1) = 1 ；(3)由课本 38 页的(2-14)式，有1 1 1 1f (x) = F r( x)=(石 + arctan x)'=2 兀 冗1 + x 214.解：对于实系数一元二次方程ax2 + bx + c = 0 (a丰0)，其有实根的充分必要条件为b2 - 4ac > 0。

因此，方程x2 + 2Tx + 3 = 0有实根的充要条件是(2T)2 一 4x 3 > 0，也就是要求随机变量T满足T2 > 3，亦即T < ^ 3或T工运；由于T U[-2,4]，所以方程有实根的概率为P{T2 > 3} = P{T <-后或 T > ③=P{T <-匸3} + P{T > ③ 土耳必dx=1-字, 其他15.解：依题意，可知X E(200)，其中f (x)= <(2) P{X > 300} = J+s丄e-200dx = -e-赢300 20030017.解：X N (3,4)，可知卩=3 , b = 2 ；9一 3 一3一 3(2) P{-3 v X v 9} = 0( )一①( )= 0(3)-0(-3) = 20(3)一 1 = 0.9974 ；22P{X| > 2} = 1 一P{X| < 2} = 1 一P{-2< X < 2}2- 3 -2-3=1 - [0( )-0 ( )]22=1-[0(-0.5)-0(-2.5)]= 1 - [0 (2.5) - 0 (0.5)] = 0.697718.解：钢材的强度X N(200 , 182)，其中 g = 200 , b= 18 ；180 - 200(1) P{ X > 180} = 1-O( ) = 1-O(-1.11) = 0(1.11) = 0.8665 ；18〜 150 — 200(2) 由于P{X > 150} = 1 -0( ) = 0(2.78) = 0.9973>99%，因此这批钢材合格。

19．解：先计算如下表格Y = 2X 一兀—冗0冗P111k442因此，可求得随机变量函数的分布为：20．解：设 Y 的分布函数为 FY(y) ，由于 XY = sin X01P31k44N(3 , 42 ) ，其概率密度函数表达式为Pk141412X0冗2冗Y = 2X 一冗一冗0冗Y = sin X0101 — (x—3)2厉财"2X42，可先求得Y的分布函数:X — 3F (y) = P{Y < y} = P{ ——< y} = P{X < 4y + 3} = F (4y + 3)；Y 4 X则有y2dyf (y) = F '(y)=叭宁 + 3) = 4f (4y + 3) = 4x 4e-"灯'Y Y dy X 2兀 x 4这显然是标准正态分布的概率密度函数，也就是说Y N(0 , 1)一般来说，若X N(g , Q2)，则x的线性函数Y = aX + b也服从正态分布，并且X — g 〜Y N(ag + b , a2Q2)，特别地，Y =—— N(0 , 1)〜 Q21 •解：设Y的分布函数为F (y)，贝I」YF (y) = P{Y < y}= P{ln X < y}= P{X < ey}= F (ey)，YX因此，Y的概率密度函数为dF (ey ) 2eyf (y) = F (y) = x = eyf (ey) = , y g (—8, +8)。

y y dy x 兀(1 + e 2 y)(注意： e y 0 , y ( , ) )> G —oo +oo。