考研数学公式手册.doc

目 录一、高等数学 1(一) 函数、极限、连续 1(二) 一元函数微分学 5(三)一元函数积分学 13(四) 向量代数和空间解析几何 20(五)多元函数微分学 29(六)多元函数积分学 35(七)无穷级数 40(八)常微分方程 48二、线性代数 53(一) 行列式 53(二)矩阵 54(三) 向量 57(四)线性方程组 60(五)矩阵的特征值和特征向量 62(六)二次型 63三、概率论与数理统计 66(一)随机事件和概率 66(二)随机变量及其概率分布 70(三)多维随机变量及其分布 72(四)随机变量的数字特征 75(五)大数定律和中心极限定理 78(六)数理统计的基本概念 79(七)参数估计 81(八)假设检验 84经常用到的初等数学公式 86平面几何 91第 1 页 共 95 页一、高等数学(一) 函数、极限、连续考试内容公式、定理、概念函数和隐函数函数：设有两个变量和，变量的定义域为，如果对于中的每一个值，按照一定的法则，变量有一个确定的值与之对应，则称变量为变量的函数，记作：基本初等函数的性质及其图形，初等函数，函数关系的建立：基本初等函数包括五类函数:1幂函数:;2指数函数(且);3对数函数:( 且);4三角函数:如等;5反三角函数:如等.初等函数：由常数和基本初等函数经过有限次四则运算与有限此复合步骤所构成，并可用一个数学式子表示的函数，称为初等函数.数列极限与函数极限的定义及其性质，函数的左极限与右极限123(保号定理),无穷小和无穷大的概念及其关系，无穷小的性质及无穷小的比较是同阶无穷小， 无穷小的性质（1） 有限个无穷小的代数和为无穷小（2） 有限个无穷小的乘积为无穷小（3） 无穷小乘以有界变量为无穷小Th 在同一变化趋势下，无穷大的倒数为无穷小；非零的无穷小的倒数为无穷大极限的四则运算(1)；；极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则，两个重要极限：1 2单调有界定理：单调有界的数列必有极限3两个重要极限： 重要公式：4几个常用极限特例 函数连续的概念：函数间断点的类型：初等函数的连续性：闭区间上连续函数的性质连续函数在闭区间上的性质：(1) (连续函数的有界性)设函数在上连续,则在上有界,即常数，对任意的,恒有 .(2) (最值定理)设函数在上连续,则在上至少取得最大值与最小值各一次,即使得:；.(3) (介值定理)若函数在上连续,是介于与(或最大值与最小值)之间的任一实数,则在上至少一个,使得(4) (零点定理或根的存在性定理)设函数在上连续,且,则在内至少一个,使得(二) 一元函数微分学考试内容对应公式、定理、概念导数和微分的概念左右导数导数的几何意义和物理意义1：（1） 或 （2）2函数在处的左、右导数分别定义为：左导数： 右导数： 函数的可导性与连续性之间的关系，平面曲线的切线和法线Th1: 函数在处可微在处可导Th2: 若函数在点处可导，则在点处连续，反之则不成立.即函数连续不一定可导.Th3: 存在导数和微分的四则运算，初等函数的导数，四则运算法则:设函数，在点可导则(1) (2) (3) 基本导数与微分表(1) （常数） (2) (为实数) (3) 特例 (4) 特例 (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) 复合函数，反函数，隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法，1反函数的运算法则: 设在点的某邻域内单调连续，在点处可导且，则其反函数在点所对应的处可导，并且有2复合函数的运算法则:若在点可导,而在对应点()可导,则复合函数在点可导,且3隐函数导数的求法一般有三种方法：(1)方程两边对求导，要记住是的函数，则的函数是的复合函数.例如，，，等均是的复合函数.对求导应按复合函数连锁法则做.(2)公式法.由知 ,其中，，分别表示对和的偏导数(3)利用微分形式不变性高阶导数，一阶微分形式的不变性，常用高阶导数公式（1）（2）（3）（4）（5）（6）莱布尼兹公式：若均阶可导，则 ，其中，微分中值定理，必达法则，泰勒公式Th1(费马定理)若函数满足条件：(1)函数在的某邻域内有定义，并且在此邻域内恒有或,(2) 在处可导,则有 Th2 (罗尔定理) 设函数满足条件：(1)在闭区间上连续；(2)在内可导，则在内一个，使 Th3 (拉格朗日中值定理) 设函数满足条件：(1)在上连续；(2)在内可导；则在内一个，使 Th4 (柯西中值定理) 设函数，满足条件：(1)在上连续；(2)在内可导且，均存在，且则在内一个，使 洛必达法则：法则Ⅰ (型)设函数满足条件： ; 在的邻域内可导(在处可除外)且;存在(或).则法则 (型)设函数满足条件：;一个,当 时,可导,且;存在(或).则法则Ⅱ(型) 设函数满足条件：; 在 的邻域内可导(在处可除外)且;存在(或).则同理法则(型)仿法则可写出泰勒公式: 设函数在点处的某邻域内具有阶导数，则对该邻域内异于的任意点，在与之间至少一个，使得 其中 称为在点处的阶泰勒余项.令，则阶泰勒公式……(1)其中 ，在0与之间.(1)式称为麦克劳林公式常用五种函数在处的泰勒公式 或 或 或 或 或 函数单调性的判别，函数的极值，函数的图形的凹凸性，拐点及渐近线，用函数图形描绘函数最大值和最小值，1函数单调性的判断：Th1设函数在区间内可导，如果对，都有（或），则函数在内是单调增加的（或单调减少）Th2 （取极值的必要条件）设函数在处可导，且在处取极值，则.Th3 （取极值的第一充分条件）设函数在的某一邻域内可微，且（或在处连续，但不存在.）(1)若当经过时，由“+”变“-”，则为极大值；(2)若当经过时，由“-”变“+”，则为极小值；(3)若经过的两侧不变号，则不是极值.Th4 (取极值的第二充分条件)设在点处有，且，则 当时，为极大值；当时，为极小值.注：如果，此方法失效.2渐近线的求法：(1)水平渐近线 若，或，则称为函数的水平渐近线.(2)铅直渐近线 若，或，则称为的铅直渐近线.(3)斜渐近线 若，则称为的斜渐近线3函数凹凸性的判断：Th1 (凹凸性的判别定理）若在I上（或），则在I上是凸的（或凹的）.Th2 (拐点的判别定理1)若在处，（或不存在），当变动经过时，变号，则为拐点.Th3 (拐点的判别定理2)设在点的某邻域内有三阶导数，且，，则为拐点弧微分，曲率的概念，曲率半径1.弧微分：2.曲率：曲线在点处的曲率对于参数方程3.曲率半径：曲线在点处的曲率与曲线在点处的曲率半径有如下关系：(三)一元函数积分学考试内容对应公式、定理、概念原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质基本性质1 （为常数）23求导： 或微分：4或 （是任意常数）基本积分公式 （） 重要公式 定积分的概念和基本性质，定积分中值定理1． 定积分的基本性质积分上限的函数及其导数，牛顿——莱布尼兹公式Th1Th2Th3的原函数，则不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法1不定积分：分部积分法：选择u，dv的原则：积分容易者选作dv，求导简单者选为u换元积分法：2． 定积分换元法:，则分部积分公式 3． 定积分不等式证明中常用的不等式 (3)柯西不等式：有理函数，三角函数的有理式和简单无理函数的积分，广义积分和定积分的应用1． 三角函数代换函数含根式所作代换三角形示意图有理函数积分（）4． 广义积分（1） 无穷限的广义积分（无穷积分）（2） 无界函数的广义积分（瑕积分）(四) 向量代数和空间解析几何考试内容对应公式、定理、概念向量的概念，向量的线性运算，1.向量：既有大小又有方向的量，又称矢量.2.向量的模：向量的大小.记为.3.向量的坐标表示：若向量用坐标表示，则4向量的运算法则：Ⅰ加减运算 设有矢量，，则Ⅱ.数乘运算 数乘运算矢量与一数量之积， 设，则向量的数量积和向量积，向量的混合积，1矢量的数积（点积，内积）：矢量与的数量积设，，则2矢量的向量积（叉积，外积）：设有两个向量与，若一个矢量，满足如下条件（1）；（2），即垂直于，所确定的平面；（3），，成右手系.则称矢量为矢量与的矢量积，记.设，则3混合积：设有三个矢量，若先作，的叉积，再与作点积，则这样的数积称为矢量，，的混合积，记为，即设，，，则两向量垂直、平行的条件，两向量的夹角，向量的坐标表达式及其运算，单位向量，方向数与方向余弦，1向量之间的位置关系及结论设，，（1）；（2）；其中之中有一个为“0”，如，应理解为；（3），不共线不全为零的数使；（4）矢量与的夹角，可由下式求出；（5），，共面不全为零的数，使或者2单位向量：模为1的向量. 向量的单位向量记作，3向量的方向余弦：其中为向量与各坐标轴正向的夹角.4单位向量的方向余弦：显然，且有曲面方程和空间曲线方程的概念，平面方程，直线方程，平面与平面、平面与直线、直线与直线的以及平行、垂直的条件，点到平面和点到直线的距离1平面方程(1)一般式方程 ，法矢量，若方程中某个坐标不出现，则平面就平行于该坐标轴，例如 平面轴(2)平面的点法式方程 为平面上已知点，为法矢量(3)三点式方程 ,,为平面上的三个点(4)截距式方程 ，分别为平面上坐标轴上的截距，即平面通过三点 2直线方程一般式方程(两平面交线)：。