[物理]高能环形加速器物理4.pdf

1第四章 误差效应 第四章 误差效应 到目前为止， 我们讨论的情况都是环形加速器中的磁元件或电元件精确地完 成它们的任务，即磁铁没有场误差，也没有安装误差，给磁铁供电的电源也没有 精度上的误差或纹波误差，等等我们还知道，对于一个环形加速器来讲，通常 有一个设计的理想的参考轨道，为闭合轨道，并且非零发射度的带电粒子束流关 于此闭合轨道作 betatron 振荡 在实际的加速器中，由于机械、加工、材料、安装等原因，各种电、磁元件 总是存在各种各样的误差磁铁磁场的误差（电源的误差通常表现在励磁电流的 误差，并进而导致磁场的误差） ，如二极铁或四极铁的磁场偏离其设计值，会引 起束流闭合轨道的偏差，betatron 振荡频率（工作点）的变化，束流包络函数的 改变等等，甚至导致一些共振，从而影响束流的品质和加速器的性能 误差效应的研究， 旨在了解各种不同的磁场或磁铁安装误差对束流造成的各 种影响，对在加速器设计中提出硬件设计指标提供参考和依据由于误差是不可 避免的，因此各种误差对束流影响的研究就显得尤其重要本章将主要研究环形 加速器中二极铁、四极铁的误差，安装准直误差及多极场误差对束流的影响，并 给出各种误差的校正方法。

所有的磁场误差效应最终都在磁聚焦结构的动力学孔 径的大小中体现出来最后，通过人为地引入小量偏差，我们可以对一些束流参 数进行测量 §4.1 二极场误差二极场误差 环形同步加速器中，二极铁是用来使带电粒子束流发生偏转，完成其闭合轨 道的因此，二极铁的磁场误差就表现在偏转角度的误差上 §4.1.1 闭轨畸变 闭轨畸变 在一个理想的环形加速器中，若一块二极铁的强度误差为θ = ∆Bl/(Bρ)，误 差源位于 s = 0 处，∆B 为在长为 l 的路径上的均匀变化的场粒子存在一个新的 闭合轨道，因为此时 x = 0 不再是运动方程的解除有二极场误差的那一点外， 其余任何地方的运动方程仍然是 betatron 振荡的方程，而仅在具有角冲量的那一 点，方程为非齐次的 设在二极场误差源θ下游处的轨道为 x0，x0′，将此初始条件沿环传输，则只 需将它乘以单圈的矩阵，即可得到θ上游处的偏移由于粒子仍回到 x0，x0′，则     ′=   +    ′00000xxxxθM， （4.1） 因此，有 2   −=    ′− θ0)(100MIxx。

（4.2） 对于一圈的传输矩阵，有 πν2JMe=， （4.3） 其中ν为一圈的相移将（4.3）式代入（4.2）式，可以得到在s = 0 处的闭合轨 道为     −=    ′πναπνπνβπνθ cossincossin20000 xx （4.4） 这里β0和α0分别为二极铁误差源处的包络函数及其斜率利用两点之间的传输 矩阵，闭轨就可以表示为沿环位置或相位的函数，即在 0 0如果各种误差呈随机分布，第j个本征向量对闭轨 的影响正比于其对应的本征值λj 当校正向量等于T*T的本征向量的某种线性组 合时，可以消除较大的本征向量的影响，从而达到校正闭轨畸变的目的 4）） 局部凸轨法局部凸轨法 用三块或四块校正铁来进行局部闭轨的调整，即所谓的3-bump、4-bump校 正法同步辐射光源，在引出光束线的前端区必须进行局部闭轨的校正如图 4.2所示的三块二极校正铁K1、K2、K3处的包络函数（β1，β2，β3） 、相位（φ1， φ2， φ3）与轨道偏离的角度（θ1、θ2、θ3）之间的关系为 6)sin()sin()sin(213313223211 φφβθφφβθφφβθ−=−=−。

（4.27） K K1 1K K2 2K K3 3φ φ1 1β β1 1φ φ2 2β β2 2φ φ3 3β β3 3θ θ1 1θ θ2 2θ θ3 3图4.2 3-bump局部凸轨校正 图4.3则给出了4-bump，即四块校正二极铁来进行局部凸轨校正的示意图 四块校正子的包络函数，相位及轨道偏离角度之间的关系为 =++=++. 0sinsinsin0sinsinsin434423221311433342224111φθβφθβφθβφθβφθβφθβ （4.28） K K1 1K K2 2K K3 3K K4 4φ φ1 1β β1 1φ φ2 2β β2 2φ φ3 3β β3 3φ φ4 4β β4 4θ θ1 1θ θ2 2 θ θ3 3θ θ4 4图4.2 4-bump局部凸轨校正 束流凸轨法利用3-bump或4-bump进行局部闭轨校正，在环上形成多个 bump，这些bump引起的局部闭轨线性迭加，达到全局闭轨校正的目的 局部凸轨法的两个前提是!闭轨的某一局部变化不影响其他部分线性系 统中，所有局部闭轨扰动的线性迭加构成局部闭轨畸变 [Ex.] 推导式（4.27） 。

§4.2 四极场误差四极场误差 四极场的误差，主要表现为四极铁中的梯度误差，即聚焦函数发生变化： )()]([)(0.sksKsKact+=， （4.29） 这里K(s)act.为实际的四极铁聚焦强度，[K(s)]0为其理想值，k(s)则为梯度误差， 是一个小量由于k(s)的引入，全环工作点会发生变化，束流的包络函数也会发7生改变下面我们来分别进行讨论 §§4.2.1 工作点的变化 工作点的变化 设在储存环某处 （s = 0） 很小的∆s内， 有梯度误差k(s) 当带电粒子通过s =0 处，则有 xskx⋅∆⋅=′∆， （4.30） 即粒子的运动方向将发生改变由无扰动时的粒子运动方程（4.6）式，可以得 到当存在扰动k(s)时，运动方程变为 0)]()([22 =++usksKdsud （4.31） 无扰动时沿环一周的传输矩阵为     −−+=M0000000000 0sincossinsinsincosµαµµγµβµαµ， （4.32） 而扰动源的矩阵为    =1011Mδ， （4.33） 其中δ = k(s)ds，|k(s)ds| 1.5T） 。

（3.38）式表示的Hill’s方程，在∆p/p ≠ 0时，可以表示为 0)(=++′ ′kzzsKzδ， （4.52） 式中z代表x和y，为粒子的横向位移，K =01     ∂∂xBBy ρ，δk为因∆p/p引起的K值的变化，即Kppk∆=δ利用四级场误差引起的tune变化的公式，可以得到 11( )( )( )( )44psk s dss K s dspνβδβππ∆∆== −⋅∫∫!!， （4.53） 故自然色品为 11( )( ), ( )( )44s K s dss K s dsξβξβπνπ= −= −∫∫!!或 （4.54） 11 [例例] FODO CELL组成的磁聚焦结构中，自然色品为： 2tanµ πξN−≈， （4.55） 其中µ 为一个FODO CELL 的相移，N为FODO CELL的个数 储存环中色品的主要性质为： 1） 自然色品总为负值，并构成无色品校正的环中色品的主要部分例：BEPC 储存环对撞模式的自然色品为ξx ~ −10，ξy ~ −20； 2） 对撞机中对撞区附近插入四极铁处β函数较大，故对撞区四极铁对全环的自 然色品贡献最大； 3） 大的动量散度会使束流注入困难； 4） 负的色品会引起束流的头尾不稳定性．．．．．．，即束团头部粒子Βetatron振荡相位超前于尾部粒子， 使强迫力的相位超前于位移相位， 振幅增加， 导致束流丢失。

从以上几点可以看出，储存环的自然色品需要校正 [Ex.] 证明式（4.55） [Ex.] 如何定性证明色品主要性质中的2）？ §4.3.2 色品校正色品校正 由于线性Lattice所能提供的调节色品的能力是有限的，必须引入其它方法 来校正储存环的负色品如图4.5所示，在四极铁旁，对于动量分散大于理想粒 子动量的， 放置聚焦四极铁以使这些粒子的光路回到理想粒子的轨道上来，而同 时， 对于动量分散小于理想粒子的，则放置散焦四极铁以使小动量分散的粒子也 趋于理想粒子的轨道这样，色差也就被校正了 图4.5 色品校正示意图 12能够满足这样要求的磁铁是一种磁场梯度是动量的函数的磁铁， 而六极铁恰 好是这样一种磁铁在水平方向，六极铁的磁场为 2kxB =， （4.56） 因而磁场梯度为（在平衡轨道上） ： ppkDkxBx∆==′22 （4.57） 一个较为常用的方法是在储存环上引入六极铁，六极铁的极面形状如图4.6 所示六极铁产生的正的色品，能抵消储存环中四极铁所产生的负的色品，使总 的色品值为正同时，正的色品还可以产生阻尼，有助于稳定束流 NSSN SNSNSNSNNSSN SNSNSNSNNormal SextupoleNormal SextupoleSkew SextupoleSkew Sextupole图4.6 六极铁极头及极性排列示意图 对于正六极铁，其场方程为： ()=−=xyByxBxy λλ222 , （4.58） 其中，BxBy′ ′==21 2122∂∂λ。

当不考虑其它误差时，粒子在六极铁中的运动方程为 ()=−′ ′=−+′ ′02022rxyyyxrx （4.59） 这里，λρBr1=于是六极子提供的四极磁场扰动为(以水平方向为例)： ppDBBKxx∆′ ′−=∆ρ， （4.60） Dx为水平色散由于此扰动产生的频移为： ( )( )( )124xxxpsr s Ds dspνβπ∆∆=∫ !， （4.61） 故 13( )( )( )124xxxsr s Ds dsξβπν=∫ ! （4.62） 因此，储存环中引进六极子后，总的色品为： 1[( )2 ( )( )]41[( )2 ( )( )] 4xxxx xyyyx yKsr s D s dsKsr s D s dsξβπνξβπν= −−= −+∫ ∫! !4.63） 于是，用放在Dx处的六极子产生的色品，来校正环中的自然色品和其它由于误 差而引起的色品 与四极铁类似，一块六极铁在一个方向产生正的色品时，在另一个方向产生 负的色品故一般需要二组六极子来校色品，一组校x方向的色品，另一组校y 方向的色品 原则上， 最理想的校正色品的方法是将六极铁放在每一个四极铁处， 即Local Correction。

在这种情况下，将色品校到零所需的六极铁强度是最小的，并且与 所在处的四极铁强度有下列简单的联系： SQxllDKr2=， （4.64） 其中，K为四极子强度，lQ、lS分别为四极子和六极子的长度而在实际中，只 能将色品校正六极子放在尽量靠近四极子的地方 [Ex.] 若六极铁只能放在尽量靠近四极子的地方， （4.64）式应该做怎样的修改？ 此外，在消色散节，如对撞区、注入区都没有Dx，六极铁不起作用，故一 般六极子都放在弧区有色散的地方通常，我们用两组六极子校色品，一组用来 校水平方向的色品，放在水平方向聚焦的四极铁附近因（βx较大，βy较小） ，这 组六极子使水平方向的色品变“好”，但同时使垂直方向的色品变“坏”，但由于βx 较大，βy较小，所以“好”得多，“坏”得少；同样，校垂直方向色品的六极子放在 垂直方向聚焦的四极铁附近（因βy较大，βx较小） ，这组六极子使垂直方向的色 品变“好”，但同时使水平方向的色品变“坏”，但由于βy较大，βx较小，所以也是 “好”得多，“坏”得少最后，两。