04第四章 根轨迹.docx

第四章根轨迹一. 基本要求：1. 掌握根轨迹定义，系统参数变化对闭环极点分布的影响；2. 掌握绘制根轨迹的幅值条件和相角条件；3. 熟练掌握绘制根轨迹的基本规则；4. 了解参量根轨迹和最小相位系统根轨迹的定义及绘制；5. 掌握采用根轨迹法分析系统的暂态响应及稳定性二. 本章要点：1. 根轨迹的定义系统参数(如开环增益K )由零增加到8时，闭环特征根在s平面移动的轨迹称为 该系统的闭环根轨迹2. 根轨迹方程根轨迹是闭环特征根随参数变化的轨迹，故描述其变化关系的闭环特征方程就是根 轨迹方程K 0 fl (s + z.)设系统开环传递函数为：G(s)H(s)= 亠n( s+pi)l=1其中：K 0为根轨迹增益；z.是开环零点；p是开环极点0 I l则根轨迹方程(系统闭环特征方程)为：1 + G (s) H (s) = 03. 绘制根轨迹图的规则规则1根轨迹的对称性：相对于实轴对称； 规则2根轨迹的分支数及其起点和终点：根轨迹的分支数为n - m个；根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点(包括无限远零点) 规则3根轨迹在实轴上的分布实轴上有根轨迹的区段为右侧的开环实极点与开环实零点数目之和为奇数。

£(-pl) - £(-z.) 规则4根轨迹的渐近线：与实轴交点坐标 -b =— 一日一-A n — m与实轴正方向的夹角e =不滋+心 n — m式中k依次取0、土 1、土 2 —直到获得(n — m )个倾角为止规则5根轨迹的分离点(或汇合点):⑴不是所有的系统在绘制根轨迹时，都要求分离点(或汇合点)；只有当两个开环极 点之间有根轨迹时，才存在分离点；当两个开环零点之间有根轨迹时，则存在汇合点； 否则，无需求根轨迹的分离点(或汇合点)⑵根轨迹的分离点(或汇合点)的求取：若令： G(s)H(s) = K0BS2，A( s)dK 八贝 —-0 二 0，ds即 A(s)B'(s) - A(s)B(s) = 0根轨迹的分离点(或汇合点)是A(s)Bf(s) - A'(s)B(s) = 0的根⑶满足A(s)BXs) - AXs)B(s) = 0的根不一定都是根轨迹的分离点(或汇合点)，分 离点(或汇合点)必须在根轨迹上；如果有的根不在根轨迹上，则应该舍去 规则6根轨迹与虚轴的交点⑴当根轨迹可能和虚轴相交时，需要求根轨迹与虚轴的交点；否则，不需要求⑵根轨迹与虚轴的交点的求取：① 由劳斯判据可求得交点的坐标及相应的K 0值；② 在特征方程中，令s = j«，然后使特征方程的实部和虚部分别为零，可求得交 点的坐标及相应的K *值。

③ 根轨迹和虚轴交点处相当于系统处于临界稳定状态此时增益K*称为临界根 轨迹增益规则7根轨迹的出射角和入射角系统中存在开环共轭复极点(或复零点)时，需要求出射角和入射角4. 控制系统根轨迹的性能分析根据根轨迹图和闭环传递函数，可以确定系统在某一参数之下的闭环极点和闭环零 点由系统的闭环极点和零点可以定性分析和定量计算系统的基本性能1) 增加开环极点对控制系统的影响增加位于s左半平面的开环极点，将使根轨迹向右半平面移动，系统的稳定性能降低2) 增加开环零点对控制系统的影响一般来说，开环传递函数G(s)H(s)增加零点，相当于引入微分作用，使根轨迹向左 半s平面移动，将提高系统的稳定性3) 利用根轨迹确定系统参数当闭环特征根已经选定在根轨迹的某特定位置时，可以确定系统应取的参数值4) 用根轨迹分析系统的动态性能根轨迹法可以看出开环系统的增益K变化时，系统的动态性能如何变化 三•典型例题分析：［例4-1］已知系统开环传递函数为:s (s + l)(0.25s +1)(1) 将系统开环传递函数改写为零、极点的形式;⑵绘制系统的根轨迹；(3)确定系统临界稳定的开环增益值K解：(1)改写系统开环传递函数G (s) H (s)K K= 0s( s + 1)(0.25s +1) s (s +1)( s + 4)其中K = — = 4Ko 0.25(2) 绘制系统的根轨迹① 开环极点：P［ = 0，p = -1，p = -4 ； n = 3 ；1 2 3开环零点：无；m = 0 ；② 实轴上根轨迹区间是(-s，-4］和L 1,0〕。

③ 根轨迹的渐近线：图4-1根轨迹图土 1802比 +1)n - m=±600,1803=-1.67④ 根轨迹的分离点：令 A( s) B'(s) — A( s) B (s) = 0,得: 3s2 +10s + 4 = 0解之得： s = -0.46，s = -2.87 (舍去)，1 2注：A(s)B'(s) — A'(s)B(s) = 0的根，不一定都是根轨迹的分离点，分离点必须在根轨迹上，如果有的根不在根轨迹上，应该舍去此时：K =钿-|s +1| - |s + 4| } = 0.880 s=-0.46⑤ 根轨迹与虚轴的交点:系统特征方程为:令s = jw ,得s 3 + 5s 2 + 4s + K = 00(je)3 + 5( je)2 + 4 je + K ° = 0即:K 0 = 20闭环系统根轨迹如图4-1所示3) 系统临界稳定的开环增益值为K = —0 = 54分析：该三阶系统没有零点，是条件稳定的，0 < K0 < 20时，系统稳定；K0 > 20后 系统不稳定0 < K < 0.88时，系统单调上升；0.88 < K < 20时系统衰减震荡0 0［例4-2］已知系统开环传递函数：K (s +1)G (s) H (s)=—————，s( s + 2)( s + 3)绘制系统的根轨迹。

li 1冲 解：①开环极点：p =0，p =-2，pa =-3； n = 3ii 1 2 3O开环零点：z］=T, m =1② 实轴上区域［0, -1］和［-2, -3］是根轨迹③ n — m = 2，有两条独立渐近线：Q ± 180°(2k +1)= ±900U =—n — m=—2工 p-工 z = 0 - 2 - 3 +1n 一 m 2④ 分离点：图4-2根轨迹图s = —2.47 ，1令 A(s)B'(s) — A(s)B(s) = 0，解得=0.42|s| 的+2 s+31Is+1s=—2.47根轨迹图如图4-2所示分析：此三阶系统添加了一个零点，从根轨迹图上看，系统是稳定的0 < K < 0.42时,0系统单调上升；K > 0.42时，系统衰减震荡0［例4-3 ］已知一单位反馈控制系统的开环传递函数为:试绘制该系统的根轨迹解:占.八、、•①开环极点：P = 0，P 2 =-1 ； n =2；开环零z =-2； m =11③根轨迹的分离点和汇合点:图4-3 根轨迹图由 A(s)B'(s) - A'(s)B(s)二 0，解得:s( s +1) - (2s +1)( s + 2) = -s 2 - 4s - 2 = 0即:si = -0.586 (分离点)，s2 = -3.414 (汇合点）闭环系统根轨迹如图4-3所示。

注：本例说明，如果开环系统没有零点，则根轨迹在复平面上是一条的垂线，特征根靠 近虚轴，动态品质指标较差；如果引进零点，则根轨迹随着值增大，将沿圆弧向左变化， 于是性能指标得到显著改善［例4-4］设一单位反馈控制系统的开环传递函数为G (s)= °—s 2( s + 2)试绘制该系统的根轨迹2解：①开环极点：耳=0，P 2 = 0，p3 =-2 ； n = 3；开环零点：无；m = 0 ；②实轴上根轨迹区间是（-0-2】③根轨迹的渐近线:②实轴上根轨迹区间是（-8 , -2］和［T, 0］ o“皿匕= ±600,1800；叫=-3 = -0-图4-4根轨迹图 ④根轨迹的分离点:由 A(s)B'(s) - A'(s)B(s) = 0，解得:[s2(s + 2) I = (3 + 2s2) = 3s2 + 4s = 0即：s = 0 , s = -1.34 （舍去），1 2闭环系统根轨迹如图4-4所示分析：由图4-4所示可知：系统有闭环极点分布在复平面的右半面，所以无论K为何值, 该系统总是不稳定的［例4-5］已知系统开环传递函数:KG （s） H （s） = 0 ，s（ s + 2）（ s + 7）试求：（1） 绘制系统的概略根轨迹图；（2） 分析系统的稳定性；（3） 当K = 48时，该系统的一个闭环极点为s = -8，求出系统的其他闭环极点;0 1（4） K = 48时，写出系统的闭环传递函数；0⑸分析K0 = 48时，系统的稳定性。

解：（1）闭环系统的根轨迹如图4-5所示① 开环极点：P = 0， p = -2， p = -7， ； n = 3；1 2 3开环零点：无；m = 0 ；② 实轴上根轨迹区间是（-0，-7］和L 2,0〕③ 根轨迹的渐近线：“皿匕= ±600,180 . = U = -3A 3图4-5根轨迹图④根轨迹的分离点：令 A(s)B'(s) — A'(s)B(s) = 0 , 得:3s 2 + 18s +14 = 0解之得： s = —0.917 , s = —5.083 (舍去)，此时:fs||s + 21 s + 71}s=—0.917=6.04⑤根轨迹与虚轴的交点:系统特征方程为:s 3 + 9s 2 + 14s + K = 00(j®3 + 9(j®)2 +14 j® + K 0 = 0即:14® —® 3K — 9® 20=0 I® = ±3.742=0 科 K0 =126闭环系统根轨迹如图4-5所示2)分析：该三阶系统没有零点，是条件稳定的，0 < K < 126时，系统稳定；K > 126 0 0 后系统不稳定3)系统的其他闭环极点的求取：因为K0 = 48闭环特征多项式为：s( s + 2)( s + 7) + 48 = s 3 + 9s 2 + 14s + 48又有：闭环极点为s =-81用上式除以因式(s + 8)，求得商为即:s3 + 9s 将系统开环传递函数改写为零、极点的形式； 绘制负反馈系统的根轨迹； 确定系统临界稳定的开环增益值K ； 为使系统的阶跃响应呈现衰减振荡形式，试确定K的取值范围。

4-4已知某控制系统的开环传递函数同上题，若系统中增加一个零点,(1) 绘制负反馈系统的根轨迹；(2) 讨论增加零点对系统的影响4-5已知某控制系统的开环传递函数为： + 14s + 48 = (s + 8)(s 2 + s + 6) = 0令s 2 + s + 6 =0求得s 二—0.5 + j 2.42,3⑷Ko = 48时系统的闭环传递函数为C(s) _ 48R (s)~。