9.1-相空间--刘维尔定理.ppt

热力学·统计物理,回顾 Chap.7 玻尔兹曼统计Chap.8 玻色统计和费米统计,新课 Chap.9 系综理论 §9.1 相空间 刘维尔定理,知识回顾: Chap.7 玻尔兹曼统计,,,,,满足经典极限条件的玻色和费米系统,,,知识回顾：玻色和费米系统的巨配分函数和热力学公式,Bose 系统,Fermi系统,,,,,,,,,,,§9.1 相空间 刘维尔定理,Chap.9 系综理论,回顾：近独立粒子,平衡态统计物理的普遍理论—系综理论,应用系综理论可以研究互作用粒子组成的系统．,§9.1 相空间 刘维尔定理,如何描述系统的微观（力学）运动状态 ？,§9.1 相空间 刘维尔定理,一、相空间,如果系统包含多种粒子，第i 种粒子的自由度 为ri ，粒子数为Ni ，则系统的自由度为：,说明：1）当粒子间的相互作用不能忽略时，应把系统当作一个整体考虑;2）本节主要讨论经典描述,1、如何描述系统的微观（力学）运动状态 ？,假设系统由N 个全同粒子组成，粒子的自由度为r 则：系统的自由度为f = Nr,§9.1 相空间 刘维尔定理,2、相空间（Γ 空间）,系统在某一时刻的运动状态：,f 个广义坐标,系统在任一时刻的的微观运动状态 ：,以 共2f个变量为直角坐标 构成一个2f 维空间, 称为相空间(Γ空间),f 个广义动量,可用相空间中的一点表示，称为系统运动状态的代表点。

§9.1 相空间 刘维尔定理,3、系统的运动状态随时间的演化,1)系统的运动状态随时间而变，遵从哈密顿正则方程,（9.1.1）,§9.1 相空间 刘维尔定理,孤立系统: 哈密顿量就是它的能量，包括,a) 粒子的动能; b) 粒子相互作用的势能; c) 粒子在保守力场中的势能,它是 的函数,存在外场时还是外场参量的函数, 不是时间t 的显函数3、系统的运动状态随时间的演化,1)系统的运动状态随时间而变，遵从哈密顿正则方程,---------哈密顿量,§9.1 相空间 刘维尔定理,2)系统在相空间中的运动轨迹,a)当系统的运动状态随时间变化时，代表点相应地在 相空间中移动，其轨道由式(9.1.1)确定．,轨道的运动方向完全由(qi和pi)决定,b)哈密顿量和它的微商是单值函数 经过相空间任何一点轨迹只能有一条,c)系统从某一初态出发，代表点在相空间的轨道或者 是一条封闭曲线，或者是一条自身永不相交的曲线9.1.1）,d)当系统从不同的初态出发，代表点沿相空间中不同的轨道运动时，不同的轨道也互不相交§9.1 相空间 刘维尔定理,3)能量曲面:,由于孤立系统的能量E 不随时间改变，系统的广 义坐标和动量必然满足条件：,构成相空间中的一个曲面，称为能量曲面。

孤立系统的运动状态的代表点位于能量曲面之上.,§9.1 相空间 刘维尔定理,二、刘维尔定理 (Liouville’s theorem),1、设想大量结构完全相同的系统，各自从其初态出发独立地沿着正则方程(9.1.1)所规定的轨道运动.,（9.1.1）,这些系统的运动状态的代表点将在相空间中形成一个分布．,相空间中的一个体积元,时刻t，运动状态在dΩ内的代表点数：,§9.1 相空间 刘维尔定理,所设想的系统的总数 N,2 、刘维尔定理,如果一个代表点沿着正则方程所确定的轨道在相 空间中运动，其邻域的代表点密度是不随时间改 变的常数§9.1 相空间 刘维尔定理,[证明],现在考虑代表点密度ρ 随时间t 的变化．,当时间由t 变到t + dt 时，,在 处的代表点将运动到,这里,现在要证明,全微分,§9.1 相空间 刘维尔定理,1) 考虑相空间中一个固定的体积元,边界是2f 对平面,时刻t, dΩ内的代表点数,时刻t + dt, dΩ内的代表点数,经dt 时间后， dΩ内代表点数的增加,,§9.1 相空间 刘维尔定理,代表点需要通过2f 对边界平面才能进入或走出体积元dΩ,2) 现在计算通过平面qi进入dΩ的代表点数,dΩ在平面qi上的边界面积,在dt 时间内通过dA 进入dΩ 的代表点必须位于以dA为 底、以 为高的柱体内．,柱体内的代表点数是,在dt 时间内通过平面qi +d qi走出dΩ的代表点数,§9.1 相空间 刘维尔定理,3)通过这对平面净进入dΩ 的代表点数是：,走进,走出,,,,类似的讨论可得，在dt 时间内通过一对平面 pi和pi +d pi净进入dΩ的代表点数为,§9.1 相空间 刘维尔定理,在dt 时间内通过dΩ 边界进入dΩ 内的代表点数为,,,§9.1 相空间 刘维尔定理,……刘维尔定理 Liouville’s theorem,§9.1 相空间 刘维尔定理,4)刘维尔定理 的另一形式,,,§9.1 相空间 刘维尔定理,5)说明:,a） 对于t → -t保持不变,……刘维尔定理是可逆的,b)刘维尔定理完全是力学规律的结果，其中未引入任何统计的概念；,c) 根据量子力学也可以证明刘维尔定理。

一、相空间,若系统包含多种粒子，第i 种粒子的自由度 为ri ，粒子数为Ni ，则系统的自由度为：,§9.1 小结,§9.1相空间 刘维尔定理小结,以 共2f个变量为坐标构成一个2f 维空间, 称为相空间(Γ空间),系统在某一时刻的运动状态：,可用相空间中的一点表示，称为系统运动状态的代表点2、系统的运动状态随时间的演化,系统的运动状态随时间而变，遵从哈密顿正则方程,（9.1.1）,1、相空间（Γ 空间）,当系统的运动状态随时间变化时，代表点相应地在 相空间中移动，其轨道由式(9.1.1)确定．,二、刘维尔定理 (Liouville’s theorem),1、设想大量结构完全相同的系统，各自从其初态 出发独立地沿着正则方程(9.1.1)所规定的轨道运动.,（9.1.1）,这些系统的运动状态的代表点将在相空间中形成一个分布．,§9.1 小结,2、刘维尔定理,如果一个代表点沿着正则方程所确定的轨道 在相空间中运动，其邻域的代表点密度是不随时 间改变的常数ρdΩ表示时刻t，运动状态在dΩ内的代表点数,。