五年级奥数-数字谜.pdf

数字谜涉及质数与合数等概念, 以及需要利用数的整除特征、分解质因数等数论手段解的数字谜问题．1.试将 1,2,3,4,5,6,7分别填入下面的方框中, 每个数字只用一次: 口口口 ( 这是一个三位数). 口口口( 这是一个三位数), 口( 这是一个一位数), 使得这三个数中任意两个都互质. 已知其中一个三位数已填好,它是 714, 求其他两个数．【分析与解】714=2×3×7×17．由此可以看出,要使最下面方框中的数与714 互质 , 在剩下未填的数字2,3,5 ， 6 中只能选5，也就是说，第三个数只能是5．现在来讨论第二个数的三个方框中应该怎样填2,3,6这 3 个数字．因为任意两个偶数都有公约数2, 而 714 是偶数 , 所以第二个的三位数不能是偶数, 因此个位数字只能是 3. 这样一来 , 第二个三位数只能是263 或 623. 但是 623 能被 7 整除 , 所以 623 与 714 不互质．最后来看263 这个数 . 通过检验可知 :714 的质因数2,3,7和 17 都不是 263 的因数 , 所以 714 与 263这两个数互质．显然 ,263 与 5 也互质．因此 ,其他两个数为263 和 5．2.如图 19-1,4个小三角形的顶点处有6 个圆圈 . 如果在这些圆圈中分别填上6个质数， 它们的和是20，而且每个小三角形3 个顶点上的数之和相等. 问这 6 个质数的积是多少? 【分析与解】设每个小三角形三个顶点上的数的和都是S.4 个小三角形的和S相加时 , 中间三角形每个顶点上的数被算了3 次, 所以 4S=2S+20, 即 S=10．这样 ,每个小三角形顶点上出现的三个质数只能是2,3,5,从而六个质数是2,2,3,3,5,5,它们的积是：2×2×3×3×5× 5=900 3.在图 19-2. 所示算式的每个方框内填人一个数字, 要求所填的数字都是质数, 并使竖式成立．精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - -【分析与解 】记两个乘数为7a b和 cd 其中 a、b、c、d 的值只能取自2、 3、5 或 7．由已知条件 ,b 与 c 相乘的个位数字仍为质数,这只可能是b 与 c 中有一个是5 另一个是3、5 或 7,如果 b 不是 5, 那么 c 必然是 5, 但 73×5=365、 77×5=385 的十位数字都不是质数. 因此 b 是 5,c 是 3、 5、7 中的一个 , 同样道理 ,d 也是 3、5、7 中的一个．再由已知条件,75a的乘积的各位数字全是质数, 所以乘积肯定大于2000, 满足积大于2000 且 a、c取质数 , 只有以下六种情况： 775× 3=2325, 575×5=2875, 775×5=3875 , 375×7=2625,575 ×7=4025, 775×7=5425．其中只有第一组的结果各位数字是质数, 因此 a=7,c=3 ，同理 ,d 也是 3．最终算式即为775×33=25575 4. 把一个两位数的个位数字与其十位数字交换后得到一个新数, 它与原来的数加起来恰好是某个自然数的平方 . 那么这个和数是多少? 【分析与解】设原来的两位数为xy, 则交换十位数字与个位数字后的两位数为, 两个数的和为yx,两个数和为xy＋yx=1010xyxy11 xy是 ll的倍数 , 因为它是完全平方数,所以也是11 ×11=121 的倍数 . 但是这个和小于100+100=200 <121×2, 所以这个和数只能是121．5. 迎杯×春杯 =好好好在上面的乘法算式中, 不同的汉字表示不同的数字, 相同的汉字表示相同的数字. 那么“迎 +春+杯+好”之和等于多少? 【分析与解】好好好 =好× 111=好× 3×37．那么 37 必定是“迎杯”或“春杯”的约数, 不妨设为“迎杯”的约数, 那么“迎杯”为37 或 74．当“迎杯”为37 时, “春杯”为“好”×3, 且“杯”为7, 此时“春杯”为27, “好”为9, “迎 +春+杯+好”之和为3+2+7+9=21；当“迎杯”为74 时 , “春杯”为“好”× 3÷2 , 且“杯”为4, 此时“春杯”为24, “好”为16, 显然不满足．所以“迎 +春+杯 +好”之和为3+2+7+9=21．精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - -6．数数×科学 =学数学在上面的算式中,每一汉字代表一个数字, 不同的汉字代表不同的数字. 那么“数学”所代表的两位数是多少 ? 【分析与解】“学数学”是“数数”的倍数，因而是“数”与1l 的倍数 . 学数学 =学×101+数×10 是“数”的倍数,而 101 是质数 , 所以“学”一定是“数”的倍数．又“学数学”是11 的倍数 , 因而 :“学 +学- 数”为 11 的倍数．因为“学”是“数”的倍数, 从上式推出“数”是11 的约数 , 所以“数” =1 , “学” =(11+1) ÷2=6．“数学”所代表的两位数是16．7.将 1,2,3,4,5,6,7,8,9这 9 个数字分别填人下式的各个方框中, 可使此等式成立: 口口×口口 =口口×口口口 =3634．填好后得到三个两位数和一个三位数, 这三个两位数中最大的一个是多少? 【分析与解】3634=2×23×79 , 表达为两个两位数的乘积只能是(2×23)× 79, 即 46×79；表达为一个两位数与一个三位数的乘积, 只能是 23×(2×79) =23×158．满足题意 , 所以这三个两位数中最大的一个是79．8. 六年级的学生总人数是三位数, 其中男生占35, 男生人数也是三位数, 而组成以上两个三位数的6 个数字, 恰好是 l,2,3,4,5,6.那么六年级共有学生多少人? 【分析与解】设六年级总人数为xyz, 其中男生有abc人．有xyz×35=abc, 即 5abc=3xyz, 其中xyz为 5 的倍数 , 所以 z 为 5. 而abc为 3 的倍数， 所以其数字和 a+b+c 应为 3 的倍数 , 则在剩下的5 个数中 ,a 、b、c( 不计顺序 ) 只能为 1,2,6或 l,2,3或 4,2,6或4,2,3 ．而 c 不能是偶数 (不然 z 应为 0), 所以只能是l,2,6或 1,2,3或 4,2,3可能满足；又因为xyz最大为 645, 对应abc为 387, 即 c 不超过 3．于是abc有可能为261,123,321,213,231,243这 6 种可能 , 验证只有当abc=261 时, 对应xyz为261÷3×5=435．所以六年级共有学毕435 人. 9.图 19-3是三位数与一位数相乘的算式, 在每个方格填入一个数字, 使算式成立 . 那么共有多少种不同的填法 ? 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - -【分析与解】设 1992=abc×d( a,b,c,d可以相同 ), 有 1992=2×2×2×3×83 , 其中 d 可以取 2,3 ，4，6,8 这 5 种 , 对应的算式填法有5 种．10.在图 19-4 残缺的算式中, 只写出 3 个数字 l, 其余的数字都不是1. 那么这个算式的乘积是多少? 【分析与解】如下图所示 , 为了方便说明 , 将某些数用字母标出．第 4 行口口 1 对应为 AB × C,其个位为1, 那么 B×C的个位数字也是1, 而 B、 C又均不能为1, 所以只有 3× 7, 9×9 对应为 1, 那么 B为 9、7 或 3．第 3 行 10 口对应为AB ×D,可能为 100、102、103、104、105、106、107、108、109.103 、107、109均为质数 ,没有两位数的约数, 不满足； 100、 105 没有个位数字为3、 7、9 的约数 ,不满足；102=17×6、 104=13× 8、106=53×2、108=27×4 , 但 102、 104 对应的 AB中 4 均为 1, 不满足．所以 AB为 53 或 27．当 AB为 27 时 ,第 4 行为 27×C , 且个位数字为1, 所以只能为27×3=8l , 但不是三位数, 不满足．当 AB为 53 时, 第 4 行为 53×C,且个位数字为1, 所以只能为53×7=371,因此被乘数必须为53, 乘数为 72, 积为 3816．11.图 19-5 是一个残缺的乘法竖式,在每个方框中填入一个不是2 的数字 , 可使其成为正确的算式. 那么所得的乘积是多少? 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - -【分析与解】方法一 : 由已知条件 , 最后结果的首位数字不能是2, 因此只能是3. 这说明千位上作加法时有进位．百位数上相加时最多向千位进2, 所以要使千位数有进位, 其中的未知数字至少是10-2-2=6, 即三个三位数加数中的第二个至少是600. 因为它是第一个乘数与一个一位数字的乘积, 因此该乘数肯定大于60．第二个乘数的百位数字与第一个乘数的乘积在220～229 之间 , 所以它只能是3(否则 4×60>229) .而 220～229 之间个位数字不是2 且是 3 的倍数的只有225=3×75 和 228=3×76．如果第一乘数是75, 又第二个乘数的百位数字是3, 那么它们的乘积小于75×400=30000, 它的首位数字也就不可能是3, 不满足．乘数是 76, 另一个乘数就要大于30000÷76>394 , 那么只有395、 396、397、398、399 这五种可能 ,它们与76 的乘积依次为30020、30096、30172、 30248、30324. 由于各个数字都不能是2, 所以只有76×396=30096 满足题目的要求．算式中所得的乘积为30096．方法二 ：为了方便说明，将某些位置标上字母，如下图所示，因为干位最多进1，而最终的乘积万位又不能是2，所以只能是3：而第 5 行对应为22 口=AB ×C , 其中 C不可能为1, 又不能为2, 那么最小为3．当 C为 3 时,22 口=AB ×3 , 那么 A只能为 7,B 只能为 4,5 或 6， (1)当 B为 4 时, 74×3=222, 第 5 行个位为2, 不满足题意； (2)当 B为 5 时, AB ×CDE对应为 75×3DE, 小于 30000, 不满足；(3) 当 B为 6 时, AB ×CDE对应为 76×3DE,D 只能为 9, 此时第 4 行对应为AB ×D 即 76×9=684. 因为 30000÷76>394 , 所以 39E 只有 395、 396、 397、 398、399 这五种可能 , 它们与 76 的乘积依次为30020、30096、30172、30248、30324.由于各个数字都不能是2, 所以只有76×396=30096 满足题目的要求．验证 C取其他值时没有满足题意的解．所以算式中所得的乘积为30096．12.请补全图19-6 这个残缺的除法竖式.问这个除法算式的商数是多少? 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - -【分析与解】易知除号下第二行的首位为9. 除号下第一行开头两位为1、 0, 商的十位为0．第二行 9 口对应为CD ×A， (1)9口不可能为90, 不然第一行前三位10 口与第二行90的差不可能为一位数 , 不满足第三行特征； (2)9口对应为91 时, 第三行的首位对应为10 口 -91, 最小为 9，所以只能为9, 那么有 91=CD ×A , 928=CD ×B , 不可能； (3)9口对应为92 时, 第三行的首位对应为10 口-92, 最小为8,所以可能为8、9，①如果为9, 那么对应有92=CD ×A , 928=CD ×B , 不可能；②如果为8, 那么对应有92=CD ×A , 828=CD ×B , 不难得知A=l,B=9,CD=92时满足 , 那么被除数为92×109=10028 ．验证没有其他的情况满足, 所以这个除法算式的商数为109．13. 若用相同汉字表示相同数字, 不同汉字表示不同数字, 则在等式学习好勤动脑×5=勤动脑学习好×8中, “学习好勤动脑”所表示的六位数最小是多少? 【分析与解】设“学习好”为x, “勤动脑”为Y,则“学习好勤动脑”为1000X+Y,“勤动脑学习好”为 1000y+x，有 (1000x+Y)×5=(1000y +x) ×8 , 化 简 有4992x=7995y, 4992=128 ×3×13,7995=3×41×5×13, 即128x=205y, 有205,128xy410,256xy615,384xy820512xy所以 , “学习好勤动脑”所表示的六位数可能为205128,410256,615384,820512,但是不能有重复数字 , 所以只有410256,615384 满足 , 其中最小的是410256 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - -14.互为反序的两个自然数的积是92565, 求这两个互为反序的自然数.( 例如 102 和 201,35 和 53,11 和11, ⋯, 称为互为反序的数, 但 120 和 2l 不是互为反序的数．)【分析与解】首先可以确定这两个自然数均为三位数, 不然得到的乘积不可能为五位数．设ABC×CBA=92565, 那么 C、A中必定有一个为5, 一个为奇数 .不妨设 C为 5．5AB×5BA=92565, 那么 A只能为 1,1 5 5 1BB=92565. 又注意到92565=3×3×5×11×1l ×17．验证只有1 5B为 165 时满足 , 所以这两个自然数为165、561．15.开放的中国盼奥运×口=盼盼盼盼盼盼盼盼盼上面的横式中不同的汉字代表不同的数字, 口代表某个一位数. 那么 , “盼”字所代表的数字是多少? 【分析与解】我们从“口”中所应填入的一位自然数开始分析, 设 A=“开放的中国盼奥运” , B=“盼盼盼盼盼盼盼盼盼”. 于是 B=A×口 . 显然口内不会是1．由于口是B 的约数 , 因此口不会是“盼”所代表的数字,要不然A就等于111111111, 这说明口内不会是 5, 而 111111111 不是 7的倍数 , 说明口内也不会是7．如果口内填3, 则“盼”只能是1 或 2, 当“盼”是1时 , B÷3=37037037, 不符合要求；当“盼”时2时， B÷3=74074074, 也不符合要求；说明口内不能填入3．口内也不会是偶数数字2、4、6 和 8. 因为口内是偶数数字时, “盼”也是偶数数字, 口内显然不会是 2， 如果口内是4, 根据被 4整除的特征 , “盼”只能是8, 这时 A就成了一个九位数, 说明口内不能是4；类似的，可以说明口内不能是6和 8．综 上所 需 ,口的 数 字 只 能是9,这 时 利用91111...1个=12345679 ×9 ,可以 得 到9个盼盼盼盼 ... 盼=12345679×9×盼 .于是“盼”代表的数字必须同时满足下面两个条件：经验证知◇ =盼=7，即 86419753×9=777777777 ．精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -。