左环模的张量积与范畴 周伯埙.pdf

南京大. 举攀银(自价料学版)一 丸七九年第一 期左 环模的张t积与范畴周伯埙摘要本文首 先在身2中讨论了几种常见的环 的张量积,在躺中,付于一个左左:模L:与一个 左RZ模LZ定义了它们 的多重 线性 映舒,从而定义了它们的 张量积石:OL:证明了这种 张量积的存在性,唯一性,与一些基本性质在互4中,对一类左环模 所构成的 范畴,考虑了函于—必L’的几个初步性质,这里 石`也是一个左环模妇引言勺、环 模,及其映射与张量积的概念与理论正日趋重 要,特别 是,由于它 们在范畴理论 中所起 的作 用,说它们今日已是近世代数中最重 要的概念 之一,并不过份环模是线性空间的推广,其系数“域”不一 定是域,它一可以是可换环,也可以是 非交换环,甚至 于是 非结合环因此,环 模的张量积 的理 论可以广义 地认 为是多重线性代数理论的一个重要组成部分自从Wi h t ney于193 8年正 式明确提 出可换群的张量积以来,张量积的理论巳经有了很大的发展首先阐述线性空间的张量积的专著 是Bouh tai k1 [],最近 的专著有[2]与[3」,在这两术书的末尾 都附了相 当完备的参考文 献 的目录对 于,一般(非交 换)环丑来说,在范畴理 论 与同调理论 中,(例如见〔5〕与〔了〕),一般只考虑 一个右R模F:与一个左左模:石的张量积VRe:L,其结构关系式是“平衡算子”.公户二aC冲户,。

〔F二,月〔*L,〔 丑(1.1)如果 要连乘的话,中 间只能夹上双边模,F:公;B,O:乙这样的张 量积V:公*L本身不 是一个丑模,既不是左五模,又不是右凡模,也不 能是中 间丑模,因为,例如,当a〔 左,ao月〔F:O:L时,a一与a月之“积”既不能 定义为a a⑧户,或aao乡,又不能 定 义为aeop或必内,同时,仅限 于这样的张 量积,张量幂的理论 是 建立不起来的因此,不 论从理论的完整性来看,或者是从需要来看,对 于两个左环模,例如 左召:模L:与左左:模LZ,定义它 们的张量积L:⑧石:是有其必 要性的可 换 环K上的 两个了模对:与万:的张量积 的概念 是建立在多重线性映射上 的设仁对1城盆.`盆为多重线性映射,则一李瀚足关系式价(aa,去尹 )二吞币 (d,`户)〔盆,`,但是,在K为一般环的情况,(1.幻不能成 立所以,必需解决多重 线性映 射的问题舀 〔窟,e万i,乡〔贫:(1.2)要想定义两个左 环模的张量积,首 先本文内容共 分成三个部分,终讨论了儿种常见的了环(K是 一个有么元的可换环,K环既是一个K模,又是一个环)的张 量积 的性质与结构在芬3中,我们对 一个左R:模L:与一个左R:模LZ(R,与左,都是军环并可不等 )首先定义了它介哪一个左娜习刀:模L的R:e左:映 射价,使其满足关系式:价(艺”,a`,万“i乡s)=艺(“,0.1)巾(a,,月i),i=i”,〔丑:,,s〔RZ,a;〔L,,pi任L:(1.3)从而定义 石:因L:为一个左R:因刀:模,如果左1与R:都有么元,那么,l LeL:就不但是左R:因刀:模,而 且既是左R:模,又 是左R:模。

在左1=丑:= =K的特殊情况,Lle石:就是 通常K模的张量积换 言之,可 换环模的张量积是我们的特例在荟4中,我们考虑了同态性,这同态性 连系数环丑本身的同态 也在被考 虑之列,因而一类左丑产模与连同它们两两之间的同态构成了一个范畴,而—因:L是此范畴 的一个函子我们在本文中实际上只证明了一些关于这种 张一鼠积以及 同态性的基木性 质,这些性 质仅是f )]步的,有待进步深人愁ZK环的张皿积设 K= ={ 0.1,a,b,二为一个可换环,而丑:,丑:,…丑都是K环,>1,(我们不要求R是可换的,也不 要求是 结 合的,除非特别 申明)那么,作为 K模来说,它们的张量 积R:因左:O一因刀,(我们暂时 用因来表了模的张量积)是确定的,而 且,若`:,感:,一,落.是1,2,…,饰的任一排列,1感饥,取卜{燕·一艺伽,eol)二a必户任泞,(价(拐:“:+.:2,, ip:+.:p:)=盯(“i舫:a:,叨 i户i+公:户:)= ==口(”ia,+.2a2,.:月:+.:乡:)= =习(〔刃.必是一个“!⑧RZ映寸,故(之叨:,(a;,”;,(a;,“:,一,其!一(a,,,该,)一0故,痴)了(叨`)。

从f的定义即知它是厅,F的一个左:e丑:同态,且了中二价`次证唯一性,设价:L:xL:一,r,而r一也是L:与L:的一个张量积,那么,对调图3.1中习与犷的位置,必有g,g币二币,使g:F—,夕为一个丑i2同态,于是勿功“扣=咖只种二妙=么因此、f g是犷的恒等 自同构,g ,为习的傲等 自推论:因丑同构,故f与夕都是 同构,习gV,(l)于二:,,2〔刀:,任异:,定理得证a:C石:,尽:,p:〔L:日巧一,(舫:a:+t`:a:)⑧(户:)二艺(e,,) (宕e多,) 口一i,1(1)当a=0,或尹二8时,a匆户二00附注:当丑:,R:=K时,L,与L;都 是可换环K的模,前已证明,K因K=K,所以,两个K模的张 量积事实_L是我 们的定 义1的特例忿个良序集,在左丑模L中任 取一 些元素(有 限或无 穷多个)的一个集合{对,孟〔r,r为一所有形如做〔 刀(3.幻的元 素的集台构成石的一个子模 (左丑子模 )L’,( 3’2)中只能有有限个叽不为O,我 们称{“价为L`的且:成 系如果所 有p任L`的这 样的 表达式郁是唯一的,则{a入}为L`的一个底,,戈称L’为定义于集合{气}_: .I的自山左左模。

并不是每一个左R模 都有 底,举 一个反例,设Z为” 数环,`为所 育形如争二的集合,`一{争,},,是一个符号,、,任Z ,.全O,则L为一个左Z模,但它没有 底,定理忿没{汾与{尽砖相应 为L:与L:的底,则{a久月,`}为L:因石:的}滚,天〔 r,严〔口证(“、⑧月好当然是L:⑧刃:,均生 成 系,现 在只需证明它 们R:eRJ!无 关假定艺叨久成a入公月;)二0,t〔 左:R:,但叨,,笋0j二丫二艺.、`*,a=乏勿,月,时,定义功(y,的二忱 p函砂,,则功为L:xLZ~刀:e丑:的一个丑:因R,映射,因此有:j石:⑧LZ一凡匆左3,使扣=必,这见均仁L:只LZ一无:因L:,于是0“, (0),( I 习,* ,(a、O尹,) )” 矛盾推论1设了是整 环,R,,R:,L:,L:都有底,则ae户二o的充要条 件是a,O或 多”氏首 先,于〔R:,勺任 R:时,”函勺,0的充 要条 件是“=0或事 实上,若、=芝p御,都二O ,,一妙”“,贝l u J伽一妙成畅伽久),所以“伽二“的充要 条件是所 有的“点若有即笋 o,,时叮价肉瓦绍二0于是,若a二乏`,气`,户二乏,,尹,,则碑函舀“0的充要 条 件是所育的师⑧刀,都二0。

粉 脚.够O,则所有都 %=氏推论公为(a价’为一集,L为{a价上的自由左丑模,V为{气 }上 的了模,则L二盆匆犷定班8设L:与L:为左左,模与左R:模,而L:有底{户O,孟〔r,则Lle石:的任一元都 能 表成 =艺 入n浇 艺x*,(a、`户、),x*,〔 丑:匆左:,`1-(3.3)而当二 一寸,::的所有的鳌:*`(a;,⑧1)都一`.1证于 =至乙必ia t时,让;,=i`1艺,,、户入,卜1,…代入,合并同类 项,即 久得 (3.3)但鳌:,`(⑧,),取 ,:::、::一:1触:使 ,(⑧,,,即得矛盾定理中的条件 也是充分 的,心只需干七意L:全 U R:(见 ;3.4),L:因L:之n(L,⑧左2) 就 久入了JJo3.3没R是,、J’I涂环,i主卜`i然要珍R的!1:心艺是)t二al,a2.…,“,是月相关的,其中 至少有·个记a、个域一- J ’-是,若左R模L中的牡个是其余,一 1个元的左组合,即,若艺,,“,二o,笋o,贝f!二= =艺“云’,,a,,不难用超穷归纳法证明,可除 环只上的任何 模L寿 }二;趁自z龙一卜!勺定理喂没几`jL:R,无关,芦,,…,户,任L;,为左R、’JR:模,R:’。

丑2都星城Kl可除环,a:,一,“〔石,_民, ,〔丑,⑧几:但笋 O,则艺,`(a,⑧p,)=0i二1二元要条件是所有一 的户,邵=0洲充分性是明显的,j啦川必要性,取{丫对为L,,匕底,月、=艺,`、丫,,尹,】月.而o一恩,`’,(a`⑧月!)一燕, “*(“`⑧属`,,丫,)二月翻. =艺习l (Q,成.11留1,I) (a`Q了s)因此二,(l⑧`转0,则,,,,`(l公,`,)(1⑧,丁})= =0户“a`因尹’之充要条件是’匆厂二0或者有G,吞〔K,a b= =l,使`=“,p`= =石月书实_L,如果a,a 立左无关,则必户二尹= =口.若户声`无关,则a=a`二e设a`二邪,p`,谓,〔 双:、R:、则(1一“e,)(公月),0,因此二,Q, 1公1,因而,如吞,熟0而氏吸设{L对为一族左左模,孟〔r,而r为一个良序集.取f为r上 的函数,于孟〔r时,了(幻为石、的一个元素定义`·(f+g)(人)=f(孟)+夕(孟),、’1(材f) (孟)二“(f(孟),、任刀,则 所有这样的f所 成之集成 为一个左R模,`它叫做〔石入}的直积,记成刀 L*,在了(幻二久6I ’a认6石、时,我们 常用记 号},a入{!来表 示f。

如果对刀 L*中的h再有:h(孟)只对有限个入任 r.lj`,不为0,其余I气勺h帆 ) 均 为0,那 久e矛么,这些h也构成一个左R模,“叼做(L价的上积,记成HL、当然,HL*是刀凡的一个 久3尹久.矛久匀刃子模,而当r为有限集I讨,`已们重合,因为 这时`之们就是(有限个)模的直和取r,为r灼个子集,r:为rl在r的余 集,容易看出一汀:;业汀**公n;、一认e矛i久e护入eI ’2一n:、业f l**业n:、一3.4)久3I ’2认,I,久它尸x都是短正合列(Ex ac t),甲几与甲r,都是单一同态t内肘的),衬i} !l=】户;}卜当产〔r,时,月二a、,`否贝lj户0;,r:la ,. 订二}舀l,’`飞产任r:}津·{一,月,`二a,,,、呀贝}}月,`=0,而,r:与二ril) }11为投射(满I司态),lj.(3.4)可分裂定理6没L几为左丑,模,L二为左R:模,久〔r,尸〔么则“, 乙入⑧UL二之1 1(L久公L二 )久I之久,“讯一作交换图u L、、川二廿〔L久OL应 )厂 //,(3.5)UL、因U L二;丝`牛!价({}a、`t,{}月,l)二}}a,因月1.易李泪,,需勿,`为同构;假定有叨〔UL、⑧“ L二,,。

},口,二{1,2,…,,},使为;茜{司态使,、二O,不失普遍性,设有r,二“{1,2,…,二任,几刀石. 0,枷I IL;男L二“李月rl八e口1久式刀封斌饥“①(L、⑧L二)上叨’:Q,入《悦月式饥1 1(L、因L二).入e矛,月`口i故当咖=O时,必叨 =o 0在( 3.石)中,如果把rU换成刀,那么,二般不是满同态,举一个反例,设r与D,都是可数集,L人与L二 都是Z模,_月 有可数底司,叶,叫,…与咫,醚,然,…,多是整数环如果`(刀石入⑧月石二)=H(L*因石),那么,对于任何二`〔H(L、⑧石二)必有、〔刀石久必刀L二,使枷“,`,取,`二介a盛,,因脚,,l,幸介 设”=艺`!川冬⑧协钊,?之i孟了圣二习之 讯护”群二艺衅:然,, 、,二,艺必丫圣l{因} {舀乍l=,a梦,魏i朴c。