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金融经济学习题解答王江（初稿，待修改未经作者许可请勿传阅、拷贝、转载和篡改2006年8月第2章基本框架2.1CZ(c)和卩(c)是两个效用函数,cWR,且V(x)=f(U(x))9M中幷)是一正单调函数证明这两个效用函数表示了相同的偏好解.假设U(c)表示的偏好关系为上，那么Vci,C2€R*有U(ci)>U{C2)OCl上C2而/(•)是正单调函数，因而卩(ci)=f(%))>f(U(c2))=V(c2)o叽Cl)>U(c2)因此V(C1)>V(C2)OCl上C2，即V(c)表示的偏好也是>O2.2*在1期，经济有两个可能状态a和b,它们的发生概率相等：~ab考虑定义在消费计划c=[co;cia;C16]上的效用函数:Sc)==logCo+|(logCla+logClb)Sc)==l-7C0+2(l-7Cla+1-7C16)Sc)==-e-ac°-1(e-ac°+e-aco)证明它们满足：不满足性、连续性和凸性解.在这里只证明笫i个效用函数，可以类似地证明第二、笫三个效用函数的性质a) 先证明不满足性假设c>c\那么有c0>勺)cla>5“5b>%而log(J是单调增函数，因此有log(co)>log(co),log(cia)>log(cia),log(cu)>log(clb)因而U(c)>U(cf)9即#(b) 现在证明连续性。

令｛/)｝冒为R3中一个序列，且lim—Re®)=co对于Vf>0,3<5,当IC--Ci\<6时我们有Ilog(c-)一log(cj)|N时，IIC(”)—c||=/co—普))2+(%—想)2+(汝一盅))2<6因而It/(c(n))-U(c)|<故limc(n)_ct/(c(”))=t/(c)c) 最后证明凸性假设U(C)〉U(C'),那么log(co)+£log(cia)+ilog(cib)>log(co)+jlog(c；a)+jlog(c；j对于Va€(0,1),U(ad+(1-a)C)=log(a6+(1-cijco)+log(acia+(1-a)cla)+*\og(aclb+(1-"%)>a(log(c；)+ilog(c；』+*log(c；J)+(1-a)(log(co)+*log(cia)+*log(cib))=aU(d)+(1-a)U(C)>U(d)故凸性成立2.3U(c)=c-^ac2是一可能的效用函数，其中c€R+，a是非负的系数t/(c)具有不满足性吗？如果不，那么a収什么值和/或c在什么范围内时t/(c)具有不满足性？解.不一定。

比如当a=1时,%)=It/(3)=-1.5oU(c)不具有不满足性当a=0时，U(c)=c具有不满足性；当a〉0时，当c€[0,1]时t/(c)具有不满足性2.4考虑一个经济，它在1期有三个可能状态：a,b和c：~a——b证券市场包括证券1和2,它们具有如下的支付向量：Xi=[1;1;1]以及X・2=[1;2;3]它们的价格分别为Si和S2o(a) 描述这个经济的支付空间b) 写出这个经济的市场结构矩阵XC)考虑含有01单位的证券1和％单位的证券2的组合写出这个组合的支付向量这个组合的价格是多少?(d) 假设这个市场中总共有K个参与者每个参与者的禀赋是1单位的证券1和2单位的证券2这时的市场组合是什么？市场组合的支付向量是什么？市场组合的总价值是多少？(e) 写出市场化支付的集合f) 如果市场不允许卖空市场化支付的集合是什么？(g) 现在引入新的证券3,它的支付向量为X3=[0:0;l]o写出新的市场结构矩阵在这个市场结构下，市场化支付集合是什么？解.(a) 这个经济的支付空间是R3；11(b) 市场结构矩阵为％=12=[Xi,X2]；13」(C)组合的支付向量为+e2X2=伪+02；%+26»2;01+302]，组合的价格是0]Si+B2S2；(d) 市场组合是K单位的证券1和2K单位的证券2,组合的支付向量为[3K;5/<:7K],组合的总价值是I

2.5在练习2.4中定义的只存在证券1和2的经济中考虑-个禀赋为01单位的证券1和02单位的证券2的参与者写出他的预算集解.参与者的预算集是｛C€R*:C=gXi+Q2X2,其中gSi+5S2<01®+品｝2.6在上面的练习中引入练习2.4中定义的证券3,它的价格为S3这时，参与者的预算集是什么(他在证券3上的禀赋为0)?证明由证券1、2、3构成的预算集包含仅由证券1、2构成的预算集解•此时参与者的预算集就变成了｛C€R*:C=01X1+5X2+03X3：其中aiSi+0(2^2+Q3S3S+0-2^2+03S3｝2.7*考虑个在1期只有-个可能状态的经济在这种情况下不存在不确定性)参与者1的0期禀赋为100而1期禀赋为1,即他的禀赋向量为[100:l]o他的偏好可以表示成如下形式：t/(co,ci)=logco+plogCl.系数P为反映参与者在当前消费和未来消费之间相对偏好的参数有•只证券，它的0期价格为1、1期支付为1+rFo这里，"是利率a) 如果这个参与者不能在市场上进行交易，那么他的消费计划以及相应的效用Ua是什么？(b) 现在假设他可以在市场上进行交易•他的预算集是什么？以当前消费为单位，他的总财富加是多少？•写出参与者的优化问题。

令co为参与者的当前(即0期)最优消费、s为最优储蓄以及Ub为在最优策略下得到的效用求解他的最优消费/储蓄选择以及相应的效用把"b表示成财富•、利率〃和偏好系数"的函数•讨论参与者的最优选择如何依赖于利率心和偏好系数°给出解释c) 证明Ub>Ua.(d) 令g为参与者由于能够在证券市场上交易而获得的益处它的定义为Ub(w-g)=Ua.计算g讨论g如何依赖于P?g如何依赖于“？给出解释解.(a) 如果不能交易，那么参与者只能消费自己的初始禀赋，即c0=100,ci=1,Ua=log(100)+plog⑴=log(100)(b) 参与者的预算集是{CWR*:co=100—S：ci=1+S(1+tf),SWR},如果以当前消费为单位，他的总财富是w=100+^0参与者的优化问题就是maxlog(100—S)+plog(l4-5(14-rF))s我们求得最优储蓄100X1+rr)-l—(1+“)(1+“)最优消费为100(1+rF)+l1p(100(l+rF)+l)"(1+")X(1+〃)(1+")=EC1=+m金融经济学©王江#因而相应的效用为金融经济学©王江#金融经济学©王江#Ub=log()+plog("(1+〃)1+"w)金融经济学©王江#我们可以看到，co（ci）随着仃皿的上升而下降（上升），当“上升时，储蓄的收益率増加，因而参与者会减少当前的消费以增加储蓄，同时也就增加了1期消费了；当P上升时，1期消费带来效用的权重增加，因此参与者会减少0期消费以增加1期消费。

C）如果选择S=0,那么我们就得到了US而我们选择最优的S以最大化效用函数而得到的是t/b,因此，Ub>Ua；（d）由U讼一切=息（亍）+Plog（彩也—g））我们可以得到g=w—p—E(l+rF)T+?100T+^(l+p)g随着卩、仃的增加而增加g表示的是参与者能够在证券市场上交易而获得的益处，参与者是为了在当前消费和未来消费之间进行消费转移而进行交易的，如果他进行消费转移的动力越大，那么他从交易中获得益处越大，而P、"增加时，参与者都希望増加未来消费，他进行消费转移的动力也增大，因而g增加金融经济学©王江Arrow・Debreu经济3.1*考虑如下经济，在1期有两个可能状态a和6：~ab(a) 描述所有Arrow-Debreu证券的支付向量记这些证券的价格向最为“b) 考虑•个拥有如下禀赋的参与者：I—20—1—1把他的禀赋表示成Arrow-Debreu证券的组合c) 计算他的金融财富写出他的预算集d) 假设参与者的效用函数如下：t/(co,cia,c16)=-e-c°-1(厂％+厂叫).不考虑消费的非负约束，写出他的优化问题求解他的最优消费选择e) 讨论他的消费如何依赖于Arrow-Debreu证券的价格向量仇(f) 证明在某些价格下，他(在某些时期/状态下)的消费可能是负的。

解.(a) Arrow-Debreu证券的支付向量是Xa=[l；0],Xb=[0,1]；(b) 2血+心；(C)参与者的金融财富是皿=2况+如，他的预算集是｛c€R*:Co+0aCia+06Clb=w｝；(d)由于不考虑非负约束，参与者的优化问题就变成了max-e_c<»-l(e_Cla+e~Clb)[c0；Cia；Cib]#S.t.Cq+0aC]a+串b5b=心=2串a+3b得到最优消费为* _2九+血+祝10頤2如+$b】Og(2如°1+仇+血C*=2矶+血+矶bg(20b)-log(20a)-矶】Og(20a)l°1+0a+血* _2九+血+祝10頤2况)一】Og(20b)-0alog(20j%=1+况+矶可以用C*对仇，如的导数的符号来确定状态价格变化对最终消费的影响•般说来，状态价格变化对消费有两种效应：财富效应和价格效应比如说，当状态价格血上升时，对消费C舊有止的财富效应和负的价格效应，总的效应是不确定的，有可能为止也有可能为负；而况上升对消费S：c；b均有的止的财富效应和正的价格效应，因而q,c；b均会增加；(e) 当九=血=0.1时,eg=-0.0182<03.2考虑•个在1期只有一个可能状态的经济。

在这种情况下不存在不确定性)参与者1的0期禀赋为100而1期禀赋为1,即他的禀赋向量为[100:l]o他的偏好可以表示成如下形式：U(co,ci)=logco+plogci.有-只可交易证券，它的0期价格为1、1期支付为1+"这里，仃是利率a) 假设利率和是给定的，导出参与者对证券的需求b) 假设参与者1是经济中的唯-参与者描述市场出淸条件c) 求解均衡利率d) 均衡利率如何依赖于偏好参数"？解释所得到的结论解.(a) 先不考虑消费的非负性，求解参与者的证券需求此时参与者的优化问题变成Tmaxlog(100—0)+plog(l+0(1+rp))我们可以求得参与者的证券需求是100p(l+rF)-l—(1+")(1+“)金融经济学©王江#最优消费为100(1+")+1_(1+")(1+仃)'“(100(1+")+1)FT7金融经济学©王江#由于最优消费都是非负的，I大I此上面的求解过程没有问题b) 由于市场上只有-•个参与者，因而市场出淸条件是r=o；(c。