材料力学 第二十讲(辽宁工业大学 郭鹏飞教授).ppt

上次课回顾1、两相互垂直平面内的弯曲有棱角的截面圆截面2、横向力与轴向力共同作用2. 偏心拉伸(压缩)当直杆受到与杆的轴线平行但不重合的拉力或 压力作用时，即为偏心拉伸或偏心压缩如钻床的立柱、厂房中支承吊车梁的柱子F1F2以横截面具有两对称轴的等直杆承受距离截面形 心为 e (称为偏心距)的偏心拉力F为例，来说明.将偏心拉力 F 用静力等 效力系来代替把A点处 的拉力F向截面形心O1点 简化，得到轴向拉力F和 两个在纵对称面内的力偶 Mey、Mez因此，杆将发生轴向拉伸和在两个纵对称面O1xy、 O1xz内的纯弯曲 在任一横截面n-n上任一点 C(y,z) 处的正应力分别为z1yOeFA(y ,z )FFO1yzFFMeyzF=eMz=FyFOnnzy, yC( z)轴力FN=F 引起的正应力弯矩My=Mey 引起的正应力弯矩Mz=Mez 引起的正应力按叠加法，得C点的正应力A为横截面面积；Iy、Iz分别为横截面对y轴、z轴的 惯性矩 利用惯性矩与惯性半径间的关系 C点的正应力表达式变为取=0 ，以y0、z0代 表中性轴上任一点的坐 标，则可得中性轴方程yOz中性轴可见，在偏心拉伸(压缩)情况下，中性轴是一条 不通过截面形心的直线。

求出中性轴在y、z两轴上的截距 对于周边无棱角的截面，可作两 条与中性轴平行的直线与横截面的 周边相切，两切点D1、D2，即为横 截面上最大拉应力和最大压应力所 在的危险点相应的应力即为最大 拉应力和最大压应力的值 中性轴D (y ,z2 22)2azayOzyD (y ,z )111对于周边具有棱角的截面，其危险点必定在截面 的棱角处如，矩形截面杆受偏心拉力F作用时， 若杆任一横截面上的内力分量为FN=F、 My=FzF， Mz=FzF，则与各内力分量相对应的正应力为：按叠加法叠加得O D2D1AFyzyOzhbD1D2F WzFyzyOD2D1FyF Wz中性轴yzOD1t,maxD2c,max可见，最大拉应力和最大压应力分别在截面的 棱角D1、D2处，其值为危险点处仍为单轴应力状态，其强度条件为 解：两柱均为压应力例8-6 图示不等截面与等截面杆，受力F=350kN，试分别求出两柱内的绝对值最大正应力图（1）图（2）F300200200F200200MFFd例8-7 图示立柱，欲使截面上的最大拉应力为 零，求截面尺寸h及此时的最大压应力 解：（1）内力分析 （2）最大拉应力为零的条件 解得 h=240mm （3）求最大压应力 3. 截面核心当偏心拉（压）作用点位于某一个区域时，横 截面上只出现一种性质的应力(偏心拉伸时为拉应 力，偏心压缩时为压应力)，这样一个截面形心附 近的区域就称为截面核心。

对于砖、石或混凝土等材料（如桥墩），由于 它们的抗拉强度较低，在设计这类材料的偏心受压 杆时，最好使横截面上不出现拉应力因此，确定 截面核心是很有实际意义的为此，应使中性轴不与横截面相交作一系列与截面周边相切的直线作为中性轴，由每 一条中性轴在 y、z 轴上的截距ay1、az1，即可求得与 其对应的偏心力作用点的坐标(y1,z1)有了一系列 点，描出截面核心边界一个反算过程）前面偏心拉（压）计算的中性轴截距表达式Ozyaay1z12211443355圆截面: 对于圆心 O 是极对称的，截 面核心的边界对于圆心也应是极 对称的，即为一圆心为 O 的圆 得作一条与圆截面周边相切于A 点的直线①，将其看作为中性轴 ，并取OA为y轴，于是，该中性 轴在y、z两个形心主惯性轴上的 截距分别为dzyO8d 8d1A1矩形截面: 边长为a和b的矩形截面， y、z两对称轴为截面的形心 主惯性轴得将与 AB 边相切的直线① 看作是中性轴，其在y、z 两 轴上的截距分别为 b 66h1 AzybhCDBh 66bO31344221同理，分别将与BC、CD和DA边相切的直线②、 ③、④看作是中性轴，可求得对应的截面核心边界 上点2、3、4的坐标依次为 当中性轴从截面的一个侧边绕截面的顶点旋转到 其相邻边时，相应的外力作用点移动的轨迹是一条 连接点1、2的直线。

于是，将1、2、3、4四点中相邻的两点连以直线 ，即得矩形截面的截面核心边界它是个位于截面 中央的菱形， 例8-8 试确定图示T字形截面的截面核心边界图中 y、z轴为截面的形心主惯性轴 解：先求出截面的有关几何性质 EH0.45m 0.45m0.6m0.6m0.2m0.2mBCDAFGOzy作①、②、…等6条直线，将它们 看作是中性轴，其中①、②、③和⑤ 分别与周边AB、BC、CD和FG相切 ，而④和⑥则分别连接两顶点D、F和 两顶点G、A依次求出其在y、z坐标轴上的截距 ，并算出与这些中性轴对应的核心边 界上1、2、…等6个点的坐标值再利用中性轴绕一点旋转时相应的 外力作用点移动的轨迹为一直线的关 系，将6个点中每相邻两点用直线连 接，即得图中所示的截面核心边界453216EH0.45m 0.45m0.6m0.6m0.2m0.2mBCDAFGOzy123 456§8-4 弯曲与扭转• 以圆截面杆在弯扭组合时的强度计算问题曲拐, AB段为等直实心 圆截面杆,作受力简化, 作M、T图BAFlaF ABMe=Fa_图TFa_FlM图F力使AB杆发生弯曲，外力偶矩Me=Fa使它发生扭转由弯矩、扭矩图知，危险截面为固定端截面A危险截面上与弯矩和扭矩对应的正应力、切应力为A截面的上、下两个点C1和C2是危险点C1点的应力状态，取单元体得---二向应力状态C12CCC34A1C2C3CC4C1可用相应的强度理论对其校核，如第四强度理论，第三强度理论。

在这种特定 的平面应力状态下，这两个强度理论的相当应力的表 达式可得（前面强度理论讲过）强度条件为按应力状态分析的知识， C1点三个主应力为 注意到=M/W、= T/Wp, 相当应力改写为上式同样适用于空心圆截面杆，对其它的弯 扭组合，可同样采用上面的分析方法统一形式： 其中： ①外力分析：外力向形心简化并分解②内力分析：每个外力分量对应的内力方程和内力图，确定危险面③③应力分析：应力分析：建立强度条件弯扭组合问题的求解步骤：例8-9 图示一钢制实心圆轴，轴上的齿轮 C 上作用 有铅垂切向力5kN，径向力1.82kN；齿轮 D 上作用 有水平切向力10kN，径向力3.64kN齿轮 C 的节圆 直径dC=400mm，齿轮D的节圆直径dD=200mm设 许用应力[]=100MPa，试按第四强度理论求轴的直 径 解：将每个齿轮上的 切向外力向该轴的截 面形心简化ABxy zCD5kN1.82kN10kN3.64kN300300100AB1.82kNC5kN1kN.mD10kN3.64kN1kN.m作出轴在xy、xz两纵对 称平面内的两个弯矩图以 及扭矩图对于圆截面杆，通过 圆轴轴线的任一平面都是 纵向对称平面，可将My、 Mz按矢量和求得总弯矩。

并用总弯矩来计算该横 截面上的正应力横截面B上的总弯矩最 大再考虑扭矩图，得B 截面是危险截面. 1kN.m0.227kN.mM图z0.568kN.m0.364kN.mM图y_T图1kNmB xyzMyBzBMMzByBMMBB yz解得解：拉扭组合,危险点应力状态如图例8-10 直径为d=0.1m的圆杆受力如图,T=7kNm, F=50kN,[]=100MPa,试按第三强度理论校核此杆的强度故，安全AAFFTT练习题：[σ]=100MPa, W=0.1d3, 确定 d. 3kN.m4kN.m作业：8-11， 8-16， 8-18。