动量矩定理PPT课件.ppt

动量矩定理动量矩定理质系中各质点对点质系中各质点对点O（矩心）的动量矩的矢量和（矩心）的动量矩的矢量和称为称为质系对点质系对点O的的动量矩动量矩，也称，也称角动量角动量（（Angular Momentum））动量矩是一个向量，它与矩心动量矩是一个向量，它与矩心O的选择有关的选择有关质系的动量矩质系的动量矩质量均为质量均为m的两小球的两小球C和和D用长为用长为2l的无质量刚性杆连的无质量刚性杆连接，并以其中点固定在铅垂轴接，并以其中点固定在铅垂轴AB上，杆与上，杆与AB轴之间的轴之间的夹角为夹角为  ，轴，轴AB转动角速度为转动角速度为  ，角加速度为，角加速度为  ，，A、、B轴承间的距离为轴承间的距离为h，，求系统对求系统对O点的动量矩点的动量矩例例1ωACoDB 解解CD杆的角速度向量杆的角速度向量两小球对两小球对O点的向径点的向径小球的速度小球的速度由质系的动量矩的定义可得由质系的动量矩的定义可得以两个小球为研究对象，建立固连坐标系以两个小球为研究对象，建立固连坐标系Oxyz定轴转动圆盘对圆心的动量矩定轴转动圆盘对圆心的动量矩r rOri 问题问题:如何求平面运动圆盘对质心的动量矩？如何求平面运动圆盘对质心的动量矩？质系对质心的动量矩等于质系相对质系对质心的动量矩等于质系相对质心平动系质心平动系质心平动系质心平动系的的动量矩，质心速度没有贡献。

动量矩，质心速度没有贡献— 质点的绝对速度质点的绝对速度质系对质心的动量矩质系对质心的动量矩— 相对质心平动系速度相对质心平动系速度平面运动圆盘对质心的动量矩平面运动圆盘对质心的动量矩v vo oO Or r   v vo oO   ri可见：平面运动圆盘对质心的动量矩等于圆盘可见：平面运动圆盘对质心的动量矩等于圆盘以同样角速度绕质心作定轴转动的动量矩以同样角速度绕质心作定轴转动的动量矩问题：如何求圆盘对水平面上一点的动量矩？问题：如何求圆盘对水平面上一点的动量矩？mivirixyzAriOrA 对两点动量矩之间的关系对两点动量矩之间的关系例例2一半径为一半径为r的匀质圆盘在水平面上纯滚动，如图所示的匀质圆盘在水平面上纯滚动，如图所示已知圆盘对质心的转动惯量为已知圆盘对质心的转动惯量为JO，角速度为，角速度为 ，试求，试求圆盘对水平面上圆盘对水平面上O1点的动量矩点的动量矩解：解：对任意点的动量矩定理对任意点的动量矩定理质系系动量矩的量矩的变化化仅取决取决于外力主矩，内力不能改于外力主矩，内力不能改变质系的系的动量矩下面介下面介绍两种常用的特殊情况：两种常用的特殊情况：mivirixyzA ρiOrA对固定点的动量矩定理对固定点的动量矩定理对对固定固定固定固定( (平动平动平动平动) )轴轴轴轴动量矩变化率等于外力对同轴合力矩。

动量矩变化率等于外力对同轴合力矩Axyz为定系或平动系为定系或平动系刚体对定轴刚体对定轴z的动量矩：的动量矩：质系对定轴质系对定轴z的动量矩定理：的动量矩定理：刚体定轴转动运动微分方程刚体定轴转动运动微分方程给定给定MOz用此方程求解刚体转动规律用此方程求解刚体转动规律给定刚体转动规律不能用此方程求给定刚体转动规律不能用此方程求解约束反力可用动静法解，可用解约束反力可用动静法解，可用刚体动力学的方法解刚体动力学的方法解质质量量均均为为m的的A和和B两两人人同同时时从从静静止止开开始始爬爬绳绳已已知知A的的体体质质比比B的的体体质质好好，，因因此此A相相对对于于绳绳的的速速率率u1大大于于B相相对对于于绳绳的的速速率率u2试试问问谁谁先先到到达达顶顶端端并并求求绳绳子子的的移移动速率动速率u例例3解解取滑轮与取滑轮与A和和B两人为研究对象，两人为研究对象，系统对系统对O点动量矩守恒：点动量矩守恒：设绳子移动的速率为设绳子移动的速率为u解解动量矩守恒动量矩守恒当外力系对某固定点的主矩等于零时，质系对于该当外力系对某固定点的主矩等于零时，质系对于该点的动量矩保持不变点的动量矩保持不变。

当外力系对某固定轴的合力矩等于零时，质系对于当外力系对某固定轴的合力矩等于零时，质系对于该轴的动量矩保持不变该轴的动量矩保持不变实例分析实例分析通过改变转动惯量来控制角速度通过改变转动惯量来控制角速度实例分析实例分析芭蕾舞演员芭蕾舞演员花样滑冰运动员花样滑冰运动员起旋、加速、减速、停止的分析起旋、加速、减速、停止的分析质系对质系对质心平动系各轴质心平动系各轴质心平动系各轴质心平动系各轴的动量矩的变化率等于的动量矩的变化率等于外力对相同坐标轴的合力矩外力对相同坐标轴的合力矩Cxyz为质心平动系为质心平动系质质系系对对质质心心C的的动动量量矩矩的的变变化化率率等等于于作作用在质系上的外力对同点的主矩用在质系上的外力对同点的主矩对质心的动量矩定理对质心的动量矩定理质量均为质量均为m的两小球的两小球C和和D用长为用长为2l的无质量刚性杆连的无质量刚性杆连接，并以其中点固定在铅垂轴接，并以其中点固定在铅垂轴AB上，杆与上，杆与AB轴之间轴之间的夹角为的夹角为  ，轴，轴AB转动的角速度为转动的角速度为 ，，角加速度为零角加速度为零，，A、、B轴承间距离为轴承间距离为h，求作用轴上的力矩及，求作用轴上的力矩及 A、、B轴轴承的约束反力。

承的约束反力例例4ωACoDB由质系的质心运动定理得由质系的质心运动定理得外力对外力对O点的主矩为点的主矩为质系对定点的动量矩定理：质系对定点的动量矩定理：解解利用例利用例1的结果的结果讨论讨论p设作用作用轴AB上的主上的主动力矩力矩为M，求，求轴转动角速度角速度 和和角加速度角加速度 对质心的动量矩守恒对质心的动量矩守恒当外力系对质心的主矩等于零时，质系对于质心的当外力系对质心的主矩等于零时，质系对于质心的动量矩保持不变动量矩保持不变当外力系对质心平动系某轴的合力矩等于零时，当外力系对质心平动系某轴的合力矩等于零时，质系对于该轴的动量矩保持不变质系对于该轴的动量矩保持不变实例分析实例分析花样滑冰：起旋、加速花样滑冰：起旋、加速思考题：猫下落翻身的解释思考题：猫下落翻身的解释实例分析实例分析卫星姿态控制：动量矩交换卫星质心卫星质心动量轮质心动量轮质心卫星动量轮的安装位置卫星动量轮的安装位置“ “清华一号卫星清华一号卫星清华一号卫星清华一号卫星” ”动量轮安装位置动量轮安装位置动量轮不在卫星质心时，其动量轮不在卫星质心时，其对卫星质心动量矩为对卫星质心动量矩为卫星对质心动量矩为卫星对质心动量矩为系统对质心动量矩为系统对质心动量矩为这里讨论平面情况，三维情这里讨论平面情况，三维情况可以类似地讨论。

况可以类似地讨论卫星动量轮的安装位置卫星动量轮的安装位置(续续)安装在质心时安装在质心时其中其中 为动量轮相对卫星的角速度为动量轮相对卫星的角速度记系统总转动惯量为记系统总转动惯量为 ，有，有跳水运动空翻空翻＋转体＝“旋”实例分析实例分析体育健身器材中的动力学问题：动量矩守恒吗？例例5在在光光滑滑水水平平面面上上放放置置半半径径为为R的的圆圆环环，，在在环环上上有有一一个个质质量量与与环环相相同同的的小小虫虫，，以以相相对对环环的的等等速速率率v爬爬行行设设开开始始时时环环与与虫虫都都静静止止求求环环的角速度的角速度R解：系统质心为解：系统质心为C，则，则R刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程刚体相对质心的动量矩刚体相对质心的动量矩应用质心运动定理和应用质心运动定理和对质心的动量矩定理对质心的动量矩定理刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程ABO例例6长长为为l质质量量为为m的的均均质质细细杆杆AB位位于于铅铅垂垂平平面面内内开开始始时时杆杆AB直直立立于于墙墙面面，，受受微微小小干干扰扰后后B端端由由静静止止状状态态开开始始沿沿水水平平面面滑滑动动。

求求杆杆在在任任意意位位置置受受到到墙墙的的约约束束反反力力（表示为（表示为 的函数形式，不计摩擦）的函数形式，不计摩擦）刚体平面运动微分方程：刚体平面运动微分方程：(a)(b)(c)CPABO解解取取 为广义坐标为广义坐标解解杆脱离墙的条件：杆脱离墙的条件：XA = 0将式将式(a)和和(b)代入代入(c)：：(a)(b)(c)例7半径为半径为r、、质量为质量为 m的均质圆柱体，在半径为的均质圆柱体，在半径为 R 的刚的刚性圆槽内作纯滚动性圆槽内作纯滚动 在初始位置在初始位置 ，由静止，由静止向下滚动向下滚动求：求：1. 圆柱体的运动微分方程；圆柱体的运动微分方程；2. 圆槽对圆柱体的约束力；圆槽对圆柱体的约束力；3. 微振动周期微振动周期RC O 1. 圆柱体的运动微分方程圆柱体的运动微分方程圆柱体作平面运动，由刚圆柱体作平面运动，由刚体平面运动微分方程得：体平面运动微分方程得：RC Om mg gF FN NC*圆柱体在圆槽上作大幅摆圆柱体在圆槽上作大幅摆动的非线性运动微分方程动的非线性运动微分方程解解2. 圆槽对圆柱体的约束力圆槽对圆柱体的约束力3. 微振动的周期微振动的周期均均质质杆杆AB长长为为l，，质质量量为为m，，用用两两根根细细绳绳悬悬挂挂。

当当把把B绳突然剪断时，求杆绳突然剪断时，求杆AB角加速度和角加速度和A绳中张力绳中张力例例8解解AB杆的动力学方程：杆的动力学方程：需补充方程后求解需补充方程后求解ABoyxC联立求解联立求解ABoyxC讨论讨论当突然把当突然把绳AB剪断剪断时，如何，如何补充运充运动学方程？学方程？OABl例例9质量为质量为m、半径为、半径为R的均质圆盘沿倾角为的均质圆盘沿倾角为 的斜面上的斜面上只滚不滑，如图所示试求圆盘的质心加速度和斜只滚不滑，如图所示试求圆盘的质心加速度和斜面对圆盘的约束力不计滚动摩阻面对圆盘的约束力不计滚动摩阻解解取取x为广义坐标为广义坐标讨论讨论p圆盘在自身平面内沿水平地面作纯滚动，如果初始时刻轮圆盘在自身平面内沿水平地面作纯滚动，如果初始时刻轮心速度心速度(角速度角速度)为常数，则接触点速度为零，加速度的水为常数，则接触点速度为零，加速度的水平分量也为零，因此接触点与地面既无相对滑动又无相对平分量也为零，因此接触点与地面既无相对滑动又无相对滑动趋势，滑动摩擦力为零在水平方向没有主动力作用滑动趋势，滑动摩擦力为零在水平方向没有主动力作用情况下，保持这种纯滚动无需摩擦力，完全光滑的接触也情况下，保持这种纯滚动无需摩擦力，完全光滑的接触也可以。

可以p圆盘在自身平面内沿斜面作纯滚动，如果初始时刻轮心速圆盘在自身平面内沿斜面作纯滚动，如果初始时刻轮心速度度(角速度角速度)为常数，则接触点速度为零，加速度的水平分为常数，则接触点速度为零，加速度的水平分量也为零，因此接触点与地面既无相对滑动又无相对滑动量也为零，因此接触点与地面既无相对滑动又无相对滑动趋势，滑动摩擦力为零如果此后仍然没有摩擦力，这种趋势，滑动摩擦力为零如果此后仍然没有摩擦力，这种纯滚动则无法保持，因为重力会使质心加速，但没有力矩纯滚动则无法保持，因为重力会使质心加速，但没有力矩使转动加快如果有摩擦力，它既可以加速转动又可以减使转动加快如果有摩擦力，它既可以加速转动又可以减缓质心加速，从而保持纯滚动缓质心加速，从而保持纯滚动讨论讨论圆盘在斜面上不打滑的条件圆盘在斜面上不打滑的条件若圆盘将又滚又滑，则补充方程为若圆盘将又滚又滑，则补充方程为讨论p对瞬心瞬心A点的点的动量矩定理量矩定理由对由对A点的动量矩定理：点的动量矩定理：CPABO在例在例6中，对瞬心中，对瞬心D的动量矩为：的动量矩为：D由对由对D点的动量矩定理：点的动量矩定理：讨论p对瞬心瞬心A点的点的动量矩定理量矩定理CAFNxyxOmg如果瞬心A到质心C的距离保持不变：杂技演员使杂耍圆盘高速转动，并在地面上向前抛出，杂技演员使杂耍圆盘高速转动，并在地面上向前抛出，不久杂耍圆盘可自动返回到演员跟前。

求完成这种运不久杂耍圆盘可自动返回到演员跟前求完成这种运动所需的条件动所需的条件?(设开始时盘心速度为设开始时盘心速度为 ，盘角速度为，盘角速度为 ，求，求 与与 应该满足的关系应该满足的关系)例例10解：设任意时刻质心速度为解：设任意时刻质心速度为 ，角速度为，角速度为 ，， 圆盘半径为圆盘半径为R，质量为，质量为m，与地面摩擦系数为，与地面摩擦系数为圆盘与地面接触点圆盘与地面接触点A的速度为的速度为当当 时，有时，有由质心运动定理由质心运动定理由对质心的动量矩定理由对质心的动量矩定理可见，如果初始时刻可见，如果初始时刻 ，则滑动，则滑动摩擦力的作用将使摩擦力的作用将使 减小，直至减小，直至 时刻，时刻，即即由此可求出由此可求出当当 时，滑动摩擦力也与时，滑动摩擦力也与 同时变为零，同时变为零，并在此刻以后一直为零并在此刻以后一直为零可以滚回的条件为可以滚回的条件为 即即因此当因此当 时，由于圆盘在水平方向不受力，时，由于圆盘在水平方向不受力，而且相对质心的动量矩也为零，因此圆盘将作而且相对质心的动量矩也为零，因此圆盘将作等速纯滚动，即等速纯滚动，即长为长为 的均匀杆的均匀杆AB，以铰固连于，以铰固连于A点，如果初始时点，如果初始时杆自水平位置无初速度的开始运动，杆自水平位置无初速度的开始运动， 当杆通过铅直当杆通过铅直位置时去掉铰使杆成为自由体。

试分析杆的运动，位置时去掉铰使杆成为自由体试分析杆的运动，并求去掉铰以后，杆质心下降并求去掉铰以后，杆质心下降h时，杆转了多少圈时，杆转了多少圈?例例11解：解：1)解除约束之前，杆作定轴转解除约束之前，杆作定轴转动，对动，对A点动量矩定理：点动量矩定理：设设 时时 再积分一次可得质心再积分一次可得质心C轨迹：轨迹：抛物线抛物线2)解除约束之后，杆作平面运动解除约束之后，杆作平面运动当当 时，时，去掉铰以后，当杆的质心下降去掉铰以后，当杆的质心下降h时，杆的转动时，杆的转动圈数为圈数为由于由于 ，所以，所以例例12一圆环由绳AB和光滑斜面支承圆环质量为10kg、半径为2m，质量为3kg的质点D与圆环固结如图所示求当绳子剪断的瞬时质点D的加速度 Oxy建立平动坐标系建立平动坐标系Oxy剪断绳瞬时，剪断绳瞬时，圆环角速度为零，角加速度待求，圆环角速度为零，角加速度待求，圆环中心速度为零，加速度待求圆环中心速度为零，加速度待求 动量道理沿动量道理沿x方向投影有：方向投影有：。