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2022年挑战中考数学压轴题因动点产生的线段和差问题.docx

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    • 因动点产生的线段和差问题例 1 2021 年福州市中考第 26 题如图 1,抛物线 y= x2- 4x 与 x 轴交于 O, A 两点, P 为抛物线上一点,过点 P 的直线y=x+ m 与抛物线的对称轴交于点 Q.( 1)这条抛物线的对称轴是 ,直线 PQ 与 x 轴所夹锐角的度数是 .( 2)如两个三角形的面积中意 S△ OQP= 1 S△ PAQ,求 m 的值.3( 3)当点 P 在 x 轴下方的抛物线上时,过点 C〔2, 2〕 的直线AC 与直线 PQ 交于点 D,求:① PD+ DQ 的最大值.② PD ·DQ 的最大值.图动感体验请打开几何画板文件名“ 15 福州 26”,拖动点 P 在抛物线上运动,可以体验到, OH ∶AH =1∶ 3 存在两种情形.点击屏幕左下角的按钮“第( 3)题”,拖动点 P 在 x 轴下方的抛物线上运动,观看图像“+随 P”和“×随 P”,可以体验到,当点 P 运动到抛物线的顶点时,点 P 与点 Q 重合,此时 PD+ QD 最大, PD·QD 也最大.思路点拨1. 第( 2)题△ OQP 与△ PAQ 是同底三角形,把面积比转化为对应高的比,进而确定线段 OA 的分点的位置,从而得到直线 PQ 与 y 轴的交点坐标.2. 第( 3)题中,△ CQD 保持等腰直角三角形的形状.满分解答( 1)抛物线的对称轴为直线 x= 2,直线 PQ与x轴的夹角为 45°.( 2)由于△ OQP与△ PAQ有公共边 PQ,所以它们的面积比等于对应高的比. 如图 2,作 OM⊥ PQ于M, AN⊥ PQ于N.可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载当S△ OQP=1 OM 1S△ PAQ时, .3 AN 3可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载设直线 PQ与x轴交于点 H,那么OH OM 1.AH AN 3可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载由y= x2- 4x= x〔x- 4〕,得 A〔4, 0〕 .所以 OA= 4.①如图 2,当点 H 段 OA上时, OH = 1,H 〔1, 0〕.此时 m=- 1.②如图 3,当点 H 在AO的延长线上时, OH=2, H 〔-2, 0〕 .此时 m= 2.( 3)①如图 4,由 A〔4, 0〕 ,C〔2, 2〕 ,得直线 AC 与 x 轴的夹角为 45°,点 C 在抛物线可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载的对称轴上.又由于直线 PQ与x轴的夹角为 45°,所以△ CDQ 是等腰直角三角形.作点 Q关于直线 AC的对称点 Q′,那么△ C′是等腰直角三角形, CQ ′//x轴.所以 DQ = DQ ′.因此 PD +DQ = PD+DQ ′=PQ ′.作PP′⊥ CQ′,垂足为 P′,那么△ PP′Q′是等腰直角三角形.因此当 PP′最大时, PQ′也最大.当点 P运动到抛物线的顶点 〔2,- 4〕时, PP′最大,最大值 PP′= 6.此时 PQ′的最大值为 6 2 ,即 PD + DQ 的最大值为 6 2 .图2图3图4②由于 PD + DQ ≤ 6 2 ,设 PD= a,那么 DQ ≤ 6 2 a .因此 PD · QD ≤ a〔6 2 a〕〔 a 3 2〕 2 18 . 所以当 a= 3 2 时, PD· QD 的最大值为 18.此时 PD= DQ = 3 2 ,P,Q 两点重合于抛物线的顶点.考点伸展第( 3)①题可以用代数法来解:由于点 P 在抛物线 y= x2-4x 上,设 P〔n, n2- 4n〕. 将 P〔n, n2-4n〕代入直线 y= x+ m,可得 m= n2 -5n.所以直线 PQ 可以表示为 y= x+n2- 5n,那么 Q〔2, 2+ n2- 5n〕.联立直线 AC: y=- x+ 4 和直线 PQ: y= x+ n2-5n,可得 2xD =4- n2+ 5n.于是 PD +DQ =2〔 xD xP 〕2〔 xD xQ〕 = 2〔2 xD xP xQ 〕= 2〔4n25n 2 n〕2〔 n 2〕2 6 2 .所以当 n= 2 时, PD + DQ 的最大值为 6 2 .当 n=2 时点 P 在抛物线的顶点.可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载例 2 2021 年广州市中考第 24 题已知平面直角坐标系中两定点 A〔- 1, 0〕,B〔4, 0〕,抛物线 y= ax2+bx- 2( a≠0)过点 A,B,顶点为 C,点 P〔m, n〕( n< 0)为抛物线上一点.( 1)求抛物线的解析式和顶点 C 的坐标.( 2)当∠ APB 为钝角时,求 m 的取值范畴.可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载( 3)如 m> 32,当∠ APB 为直角时, 将该抛物线向左或向右平移 t(0< t< 52)个单位,可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载点 C,P 平移后对应的点分别记为 C′,P′,是否存在 t,使得顺次首尾连接 A, B,P′,C′所构成的多边形的周长最短?如存在,求 t 的值并说明抛物线平移的方向.如不存在,请说明理由.可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载动感体验请打开几何画板文件名“ 14 广州 24”,拖动点 C′左右移动,可以体验到,点 B′,B′的′位置是确定不动的,这是由于点 P,C 是确定不动的, BB′,P′C′,PC 平行且相等.当点 C′落段 AB ′上′时,四边形的周长最小.思路点拨1. 要探求∠ APB 为钝角时点 P 的范畴,需要先找到∠ APB 为直角时点 P 的位置.2. 直径的两个端点与圆内一点围成的三角形是钝角三角形.3. 求两条线段的和最小,是典型的“牛喝水”问题.此题的四条线段中,有两条的长是定值,把不定的两条线段通过“平行且相等”连接起来,就转化为“牛喝水”问题.满分解答( 1)由于抛物线 y= ax2+ bx- 2 与 x 轴交于 A〔- 1, 0〕,B〔4, 0〕两点, 所以 y= a〔x+ 1〕〔x- 4〕= ax2- 3ax- 4a.可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载所以- 4a=- 2, b=- 3a.所以 a1 , b 3 .2 2可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载所以 y1 x23 x 21 〔 x3 〕225 .可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载2 2 2 2 8顶点为3 25C〔 , 〕 . 2 8( 2)如图 1,设抛物线与 y 轴的交点为 D.由 A〔-1, 0〕, B〔4, 0〕 ,D〔0,- 2〕,可知 OA OD .OD OB所以△ AOD ∽△ DOB .因此∠ ADO=∠ DBO .由于∠ DBO 与∠ BDO 互余,所以∠ ADO 与∠ BDO 也互余. 图 1于是可得∠ ADB = 90°.因此以 AB 为直径的圆经过点 D.当点 P 在 x 轴下方圆的内部时,∠ APB 为钝角,此时- 1< m< 0,或 3< m<4.可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载( 3)如 m> 32的坐标为 〔3,-2〕 .,当∠ APB 为直角时,点 P 与点 D 关于抛物线的对称轴对称,因此点 P可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载如图 2,由于点 A,B,P,C 是确定的, BB′,P′C′,PC 平行且相等,所以 A,B,P′, C′四点所构成的四边形中, AB 和 P′C′的长是确定的.可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载如图 3,以 P′C′,P′B 为邻边构造平行四边形 C′P′BB′,以直线 y25为对称轴作点 B′8可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载的对称点 B′,′联结 AB ′,′那么 AC′+ P′B 的长最小值就是线段 AB ′.′可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载如图 4,线段 AB′与′直线 y25的交点,就是四边形周长最小时点 C′的位置.8可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载C 〔 , 〕如图 2,点 P〔3,-2〕 先向左平移 3 个单位,再向下平移 9 个单位得到点 3 25 ,2 8 2 8B '〔 , 〕 .如图 3,点 B〔4, 0〕 先向左平移 3 个单位,再向下平移 9 个单位得到点 5 92 8 2 8可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载所以点 B′的′坐标为 〔 5 ,241〕 .825如图 4,由AEC ' EAFB ''F,得8xC '141852.解得xC'193 .82由于 32938215 ,所以抛物线向左平移了4115 个单位.41可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载考点伸展图 2 图 3 图 4可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载第( 2)题不行回避要证明∠ ADB =90°,也可以依据勾股定理的逆定理证明. 由 A〔-1, 0〕, B〔4, 0〕 ,D〔0,- 2〕,得 AB2= 25, AD2= 5, BD 2= 20.所以 AB 2= AD 2+ BD 2.所以∠ ADB = 90°.第( 3)题的运算量实在是太大了,很简洁磨练同学们的自信. 求点 B′的坐标,我们用了坐标平移的方法,比较简便.求点 C′的坐标,我们用了相像比的方法,回避了待定系数法更为繁琐的运算过程.可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载例 3 2021 年天津市中考第 25 题在平面直角坐标系中,已知点 A〔- 2,0〕, B〔0,4〕,点 E 在 OB 上,且∠ OAE=∠ OBA.( 1)如图 1,求点 E 的坐标.( 2)如图 2,将△ AEO 沿 x 轴向右平移得到△ AE′O′,连结 A′B,BE ′.①设 AA ′= m,其中 0< m< 2,使用含 m 的式子表示 A′B2+ BE′2,并求出访 A′B2+ BE′2取得最小值时点 E′的坐标.②当 A′B+ BE′取得最小值时,求点 E′的坐标(直接写出结果即可) .可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载动感体验图 1 图 2可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载请打开几何画板文件名“ 13 天津 25”,拖动点 A′段 AO 上运动,可以体验到,当 A′运动到 AO 的中点时, A′B2+ BE′2 取得最小值.当 A′,B,E′三′点。

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