哥廷根数学传统的起点高斯时代.docx

哥廷根数学传统的起点——高斯时代1795年，18岁的卡尔-弗里得利希高斯(CarlFriedrichGauss,1777〜1855)到哥廷根大学深造在此之前，他已独立发现了许多初等几何、代数、数论和分析中的重要定理，包括素数定理和二次互反律入学后，他不仅仍长于发现，而且着力于严格的证明比如，他给出了代数基本定理的第一个严谨的证明，严格导出了可用圆规直尺作的正多边形的条件，彻底讨论了割圆方程，引人了模整数同余的概念，证明了二次互反律……在研究中，高斯将欧几里得在几何中的严格精神导人数论、代数和分析对于证明，他强调简明性和优美性1817年3月，高斯回顾二次互反律的七种证明之一时说：“高级算术的特点是：通过归纳能愉快地发现许多最漂亮的定理；但要证明它们……常常要经过多次失败，最终的成功则依赖于深刻的分析和有幸发现的莫种结合……数学这一分支中不同理论之间的奇妙结合……”他进而认为，即使你已经得到一个证明，但“就高级算术而论，你绝不能以为研究已告结束，或把寻找另外的证明当作多余的奢侈品有时候，你开初并没得到最美和最简单的证明，而恰是这种证明才能深入到高级算术之真理的奇妙联系中去这是吸引我们去研究的主要动力，并常能使我们发现新的真理。

这里，高斯道出了纯数学研究的一个基本思想，即寻找数学内部蕴涵的本质联系是研究数学的一个目标，而且是获得新真理的重要途径高斯的科学素养是双重的，他的《算术研究》和成功地预测第一颗小行星位置的创举，使他在纯粹数学和应用数学领域中都享有崇高的荣誉高斯一生中从事了天文学、大地测量学、地磁学、力学、屈光学和其他物理学的实验及理论研究，通过这些研究，他又建立了像曲面的内蕴几何学、位函数理论这些重大的数学理论56岁时，他还跟韦伯(WilhelmWeber,1804〜1891)合作发明了电报正如数学史家斯特洛伊克(D．J．Struik)所说，高斯在他自己的活动领域中，以最强有力的方式表达了他那个时代的新观念如果说康德站在哲学的山巅从理念上把数学捧为一切科学真理的化身，那么，高斯是用具体和切实的创造性工作，使人们真正体验到纯粹数学的广阔前景和应用数学的无比威力应该指出，高斯的数学观已在康德的观念上前进了一步，他否认全部纯数学知识的先验性在数论领域，他继续追随康德，承认“数只是我们心灵的产物”；在几何领域，他否定了康德，认为“空间确实具有超乎我们心灵以外的实在性，我们不能把它的定理说成是先验的”高斯的这种看法可能跟他发现非欧几何有关：既然能把欧几里得几何中的一条公理改成相反的内容而导出同样和谐一致的几何，那么哪一种几何该被说成是关于同一空间表象的先验知识呢?只有用实验才能检验!摘自《数学的进化》第 3 页。