第1章 数制与编码.pdf

© Digital Logic Circuit 5nd数字与编码从分析与设计角度透视：从分析与设计角度透视：数字逻辑电路数字逻辑电路第 1章 数字与编码彭彭勇勇信息楼信息楼 B205室室2010年 9月 1日© Digital Logic Circuit 5nd数字与编码讨论内容讨论内容1.1 数制数制1.2 编码编码习题习题© Digital Logic Circuit 5nd数字与编码（ 1）进位制：表示数时，仅用一位数码往往不够用，必须用进位计数的方法组成多位数码多位数码每一位的构成以及从低位到高位的进位规则称为进位计数制，简称进位制1.1 数制（ 2）基 数：进位制的基数，就是在该进位制中可能用到的数码个数 3） 位 权（位的权数）：在某一进位制的数中，每一位的大小都对应着该位上的数码乘上一个固定的数，这个固定的数就是这一位的权数权数是一个幂1.1.1 计数体制© Digital Logic Circuit 5nd数字与编码数码为： 0～ 9；基数是 10运算规律：逢十进一，即： 9＋ 1＝ 10或借一当十十进制数的权展开式：1、十进制数５５５５５×１０３＝５０００５×１０２＝ ５００５×１０１＝５０５×１００＝５＝５５５５103、 102、 101、 100称为十进制的权。

各数位的权是 10的幂同样的数码在不同的数位上代表的数值不同＋任意一个十进制数都可以表示为各个数位上的数码与其对应的权的乘积之和，称权展开式即： (5555)D＝ 5× 103＋ 5× 102＋ 5× 101＋ 5× 100又如： (209.04)D＝ 2× 102＋ 0× 101＋ 9× 100＋ 0× 10－ 1＋ 4 × 10－ 2© Digital Logic Circuit 5nd数字与编码2、二进制数数码为： 0、 1；基数是 2运算规律：逢二进一，即： 1＋ 1＝ 10二进制数的权展开式：如： (101.01)B＝ 1× 22＋ 0× 21＋ 1× 20＋ 0× 2－ 1＋ 1 × 2－ 2 ＝ (5.25)D加法规则： 0+0=0， 0+1=1， 1+0=1， 1+1=10乘法规则： 0·0=0， 0·1=0 ， 1·0=0， 1·1=1运算规则各数位的权是２的幂二进制数只有 0和 1两个数码，它的每一位都可以用电子元件来实现，且运算规则简单，相应的运算电路也容易实现© Digital Logic Circuit 5nd数字与编码数码为： 0～ 7；基数是 8运算规律：逢八进一，即： 7＋ 1＝ 10。

八进制数的权展开式：如： (207.04)O＝ 2× 82＋ 0× 81＋ 7× 80＋ 0× 8－ 1＋ 4 × 8－ 2 ＝ (135.0625)D3、八进制数4、十六进制数数码为： 0～ 9、 A～ F；基数是 16运算规律：逢十六进一，即： F＋ 1＝ 10十六进制数的权展开式：如： (D8.A)H＝ 13× 161＋ 8× 160＋ 10 × 16－ 1＝ (216.625)D各数位的权是 8的幂各数位的权是 16的幂© Digital Logic Circuit 5nd数字与编码【例1】 (2001． 9)D＝2× 103十 0× 102十 0× 101十 1× 100十 9× 10-1【例2】 (1101． 101)B=l× 23十 1× 22十 0× 21十 1× 20十 1× 2-1十 0× 2-2十 1× 2-3【例3】 (67． 731)O=6× 81十 7× 80十 7× 8-1十 3× 8-2十 1× 8-3【例4】 (8AE6)H=8× 163十 A× 162十 E× 161十 3× 160将下列各数写出按权展开式：© Digital Logic Circuit 5nd数字与编码几种进制数之间的对应关系十进制数 二进制数 八进制数 十六进制数0123456789101112131415000000000100010000110010000101001100011101000010010101001011011000110101110011110123456710111213141516170123456789ABCDEF© Digital Logic Circuit 5nd数字与编码结论①一般地， N进制需要用到 N个数码，基数是 N；运算规律为逢 N进一。

②如果一个 N进制数 M包含ｎ位整数和ｍ位小数，即(an-1 an-2 …a1 a0 ·a－ 1 a－ 2 …a－ m)则该数的权展开式为：(M) ＝ an-1× Nn-1＋ an-2 × Nn-2＋ … ＋ a1× N1＋ a0× N0＋ a－ 1 × N-1＋ a－ 2 × N-2＋ … ＋ a－ m× N-m ③由权展开式很容易将一个 N进制数转换为十进制数© Digital Logic Circuit 5nd数字与编码人们习惯的是十进制数，任何数字系统 (如数字计算机 )采用的是二进制数，人们书写时又多采用八进制数或十六进制数，因此，必然产生各种进位计数制间的相互转换问题为什么要转换 ？[答 ]1、其它进制数转换成十进制数【例】(11111101． 01)B＝ 1× 27+ 1× 26+ 1× 25+ 1× 24+ 1× 23+ 1× 22+ 0× 21+ 1× 20+0× 2-1+ 1× 2-2=（ 253． 25)D(167)O=1× 82十 6× 81十 7× 80=64+48+7=(119)D(1C4)H=1× 162十 C× 161十 4× 160=256+192+4=(452)D将 N进制数按权展开，即可以转换为十进制数。

1.1.2 不同数制间的转换© Digital Logic Circuit 5nd数字与编码（ 1）二进制数转换为八进制数： 将二进制数由小数点开始，整数部分向左，小数部分向右，每 3位分成一组，不够 3位补零，则每组二进制数便是一位八进制数2、二进制数与八进制数的相互转换1 1 0 1 0 1 0 . 0 10 00＝ (152.2)8（ 2）八进制数转换为二进制数：将每位八进制数用 3位二进制数表示 011 111 100 . 010 110(374.26)8© Digital Logic Circuit 5nd数字与编码3、二进制数与十六进制数的相互转换1 1 1 0 1 0 1 0 0 . 0 1 10 0 0 0 ＝ (1D4.6)16= 1010 1111 0100 . 0111 0110(AF4.76)16二进制数与十六进制数的相互转换，按照每 4位二进制数对应于一位十六进制数进行转换4、十进制数转换为二进制数采用的方法 — 基数乘除法原理 ：将整数部分和小数部分分别进行转换用基数连除十进制数的整数部分，连乘其小数部分。

转换后再合并© Digital Logic Circuit 5nd数字与编码2 44 余数低位2 22 ………0=K02 11 ………0=K12 5 ………1=K22 2 ………1=K32 1 ………0=K40 ………　1=K5高位0.375×2 整数高位0.750 ………0=K－10.750× 21.500 ………1=K－20.500× 21.000 ………1=K－3低位整数部分采用连除基数取余法，先得到的余数为低位，后得到的余数为高位小数部分采用连乘基数取整法，先得到的整数为高位，后得到的整数为低位所以： (44.375)10＝ (101100.011)2采用基数连除、连乘法，可将十进制数转换为任意的 N进制数© Digital Logic Circuit 5nd数字与编码想一想：十进制 ——>八进制、十六进制，怎样转换？[答 ]一个十进制整数转化成八进制数时，按 除 8取余 方法进行一个十进制整数转化成十六进制数时，按 除 16取余 方法进行一个十进制小数转化成八进制数时，按 乘 8取整 方法进行一个十进制小数转化成十六进制数时，按 乘 16取整 方法进行© Digital Logic Circuit 5nd数字与编码想一想：采用八进制或十六进制有什么优点？[答 ]用八进制或十六进制书写要比用二进制书写简短，而且八进制或十六进制表示的数据信息很容易转换成二进制表示。

这就是普遍使用八进制或十六进制的原因© Digital Logic Circuit 5nd数字与编码用一定位数的二进制数来表示十进制数码、字母、符号等信息称为编码用以表示十进制数码、字母、符号等信息的一定位数的二进制数称为代码1.2 编码数字系统只能识别0和1，怎样才能表示更多的数码、符号、字母呢？用编码可以解决此问题1.2.1 二进制编码n位二进制代码可以表示 2n个不同的信号若要求编码的信息有 N项，则所需的二进制代码的位数n应满足 2n>=N© Digital Logic Circuit 5nd数字与编码二 -十进制代码 ：用 4位二进制数 b3b2b1b0来表示十进制数中的 0 ~ 9 十个数码简称 BCD码 (Binary Coded Decimal)当采用不同的编码方案时 ,可以得到不同形式的 BCD码最基本的和最常用的是 8421BCD码1.2.2 二-十进制编码十进制数除了转换成二进制数（自然二进制代码）以外 ,还有一种表示方法 ,就是十进制数的代码表示法这种代码具有二进制数的形式 (满足了计算机必须使用二进制的要求 ),又具有十进制数的特点它可以作为人与计算机联系时的一种中间表示。

© Digital Logic Circuit 5nd数字与编码1、 8421 BCD码用四位自然二进制码中的前十个码字来表示十进制数码，因各位的权值依次为 8、 4、 2、 1，故称 8421 BCD码注意： 在 8421码中不允许出现 1010~1111这 6个代码因为在十进制中没有 “单 ”个的数码与它们对应例 1.2.1 将十进制数（ 13）D转换成 8421BCD码 13）D=（）BCD例 1.2.2 （ 0001 0111 0101 0000）BCD=（？）D（ 0001 0111 0101 0000）BCD==（）D0001 00111750© Digital Logic Circuit 5nd数字与编码2、 2421 码、 5421码2421码的权值依次为 2、 4、 2、 1 5421码的权值依次为 5、 4、 2、 1 3、 余 3码余 3码由 8421码加 0011得到也称无权码© Digital Logic Circuit 5nd数字与编码1.2.3 可靠性编码代码在形成和传输过程中由于各位变化速度不同而产生错误为了减少这种错误 ,出现了一种叫可靠性编码的方法。

格雷 (Gray)码 是一种循环码，其特点是任何两个相邻十进制数的码字，仅有一位不同，其它位相同所以在传输过程中不容易出错 Gray码也是无权码，它和 BCD码一样 ,也有多种形式 ,表 1.2.1列出了其中的两种奇、偶校验码， 它能保证代码在传输过程中 “1”的个数是奇数（奇数验）或偶数（偶数验），若接收端 “1”的奇、偶数不对，就能知道出错1.2.4 文字符号码（字符代码）ASCII码（见书上第 9页表 1.2.2）© Digital Logic Circuit 5nd数字与编码常用 BCD 码 十进制数 8421 码 余 3码 格雷码 2。