近世代数 第9讲.docx

第九讲§ 6 置换 W(ponnutation group)本讲的教学目的和要求:置换群是一种特殊的变换群换句话 说，置换群就是有限集上的变换群由于是定义在有限集上, 故每个置换的表现形式，固有特点都是可揣测的这一讲主 要要求：1、 弄清置换与双射的等同关系2、 掌握置换一轮换一对换之间的联系和置换的奇偶性3、 置换的分解以及将轮换表成对换之积的基本方法要 把握4、 对称群与交错群的结构以及有限群的cayley定理需 要理解本讲的重点与难点：对于置换以及置换群需要侧重注意的 是：对称群和交错群的结构和置换的分解定理(定理2)注意:由有限群的cayley定理可知：如把所有置换群研究清楚了就等于把所有有限群都研究清楚了，但经验告诉我 们，研究置换群并不比研究抽象群容易所以，一般研究抽 象群用的还是直接的方法并且也不能一下子把所有群都不 得找出来因为问题太复杂了人们的方法是将群分成若干 类（即附加一定条件）；譬如有限群；无限群；变换群；非 变换群等等对每个群类进行研究以设法回答上述三个问 题可惜，人们能弄清的群当今只有少数几类（后面的循 环群就是完全解决了的一类群）大多数还在等待人们去解 决。

变换群是一类应用非常广泛的群，它的具有代表性的特 征一置换群，是现今所研究的一切抽象群的来源，是抽象代 数创始人E. Galais （1811-1832）在证明次数大于四的一元代 数方程不可能用根号求解时引进的一.置换群的基本概念定义1 .任一集合a到自身的映射都叫做a的一个变换，如果n 是有限集且变换是一一变换（双射），那么这个变换 为A的一个置换有限集合A的若干个置换若作成群，就叫做置换群 含有〃个元素的有限群A的全体置换作成的群，叫做〃 次对称群通常记为S“・明示：由定义1知道，置换群就是一种特殊的变换群（即有 限集合上的变换群）而〃次对称群S”也就是有限集合人的完全 变换群现以A = {al9a2，角}为例,设7T: A是A的 变换即7T :为1妇缶—利用本教材中特定的表示方法有:-1 - N KQ] = % , % = % , % = q ■由于映射中只关心元素之间的对称关系.而不在乎元素的具体内容.故可证A = {1,2,3}.故此.〃：112, 213, 3 — 1.稍12 3做修改：〃：J J J n = P 2 3].用;r 2 'I来描述A2 3 1 (2 3 12 3 1J的一个置换的方便之处是显而易见的.当然，上述的置换可记为。

1: 3…，但习惯上都将第一行按自然序列"3 2 1J (12 3J排写这就可以让我们都统一在一种表示置换的方法内进行 研究工作了.习惯上称它为三元置换.二.置换的乘积.设A = {1,2,3}的任二个置换2 2 %那么由于勿和「都是一一变换，于是E 3 1J (3 1 2)勿「也是A的 变换.且有哗：—1, 2-2, 3t3・3Y1 2Jb 22 3、2 3)用本教材的记法为：I疳=1, 2疗=2, 3疤=3.换句话说：T7T 例1.计算下列置换的乘积:(1) 7t T , (2)知 I (3) 7TT2.解:4 2 3 Y1 2 3\ _ (1、3 1 2JU 3 1)(12 3、2 3)3Y13)a23、23、23、、312)<123/一〔312)m-2 = (^r)r =注意:置换乘积中，是从左到右求变换值，这是与过去的习惯方法不同的.例2.设n={l,2,3},那么A的全部 变换构成的三次对称群S]={% , %,% ,%，几4，勿5 }・其中<1 23、4 23、—423、<1 23)，兀1 -J 32z，^2 一<214 23、1 23'p23、以 3，兀4 =12，=32b所以|sj = 3!=如其中有是恒等变换.即勿。

是£的单位元. 定理1.〃次对称群S “的阶是〃!.由于置换群也是变换群，故必蕴含着变换群的一切特征.譬如,不可交换性;23]e23、q23、123、q23Y123、32J侦13z2 X3b012z213,32)三 循环置换及循环置换分解.(1)循环置换(轮换)前面我们己经引入了置换的记法，下面,再介绍一种记法.设有8元置换的变换过程为1t4t2-3一5-1,即其他元素都不改变，若将不发生改变的文字都删掉，那么上述置换可写成循环置换的形 式：;r = (l 4 2 3 5)注意:①循环置换是置换的另一种表达形式，它以发生变化的文字的 变化次序为序，表达成轮换的形式.虽然表达形式简捷，但所含置换的 原有文字的数目可能反映不出来.这要求事先予以说明.例如. "8元 置换 7 = (1 4 2 3 5)”②.一般地,每个循环的表达方法不唯一，例如.勿=(1 4 2 3 5)=(2 3 5 1 4)=(5 1 4 2 3)=---这是因为，每个循环置换都可视为f首尾相接的圆环：所以，循环中的每个文字都可以置于首位.一旦首位确定后,整个循环 置换的表达形式也就确定了.但习惯上，总是将循环置换中出现的最小文字置在首位.③.Ss的单位(恒等置换)4。

1)=⑵=(3)=…同上,习惯写成勿0 =⑴.定义2. S”中的一个将《变到，2，匕变到J…,ik变回到《而其余 文字(如果还有其他文字)不发生变化的置换，叫做R一循 环置换(或称#一循环)，记为Q"顼3…2例3.在禹中.1 2 3 4 5、2 3 14 5\ /=(1 2 3)叫作3—循环置换.= （1 2 3 4 5） 叫作5—循环置换.乙 JL /' 2 3 4 5] 叫作1一循环置换.1 2 3 4 5j（2）循环置换分解很容易发现，并不是每个置换都能成为循环置换.比如5元置换了 =「2 3 4 5)不可能是循环置换，但我们会发现 (3 4 5 2 1J2 3 4 5口1 2 3 4 5Y1 2 3 4 5、T~[3 4 5 2 1J 1^3 2 5 4 4 3 2 5/=(1 3 5X2 4) (*)可见，「虽不是循环置换，但它是循环置换之积定义3.设/ =（区,•儿）和7 = （40，…，九）都是循环置换.如果”与'不含相同的文字，那么称勿与「是不相连的.定理2.每一个〃元置换都可以写成若干个不相连的循环置换的乘积・（循环置换分解定理）【证明】.设勿是s”中任一个〃元置换，下面对勿中改变文字 的个数用数学归纳法。

如果"使｛1,2,3,｝中每个文字都不发生改变，贝皿是恒等 置换.即勿= （i）,定理2成立.假设〃最多变动r-l（r Jl "' ZA Zl+1 "h ^r+l Zn)(...《L…L L"」3…"、=Vi灼…・.，.，. ^知…J=0i匕…D叫由于勿中只变动了厂个文字,5中只能变动SA“个文字.由 归纳假设，羽必可以写成若干个不相连的循环置换之 积：％=〃力厂叫还需特别说明：羽中的所有循环置换如心…，仇中不可能 再出现静；,…,4,否则，当少=(…忧…)PJk因为〃两2,…，h是互不相连，=>，“只在〃，中出现.n %将，但前面己有巧「4 ".七%…「Vi l2'h "F …J即羽将使I”保持不动，这样就导出了矛盾.这恰说明：丸=(« i2 "，k》7W7,”是互不相连的循环置换之积.明示：将置换写成不互相连的循环置换之积是表示置换的第 二种方法.四.循环置换的性质问题1.，是一个3阶群（三次对称群），所以&中每个元素的阶自然都是以有限的，那么具体是多少呢？比如:7V ==(1 2 3),则另=(1 2 3X1 2 3)=(1 3 2),/ = 7tf = (1 3 2)(1 2 3X1) .几=3这里勿是3-循环置换，恰好，的阶是3.这不是巧合，我们有：结论1.#一循环置换勿=（区"）的阶就是人解释：R一循环置换勿=（仍…4）的一次方则将《变成虹，二 次方则将《变成i,,・k次方则将《变回到其余文字也是如 此。

所以，当〃 7V#时，杖以1）而”=（1）..・.团=奴问题2.每个置换〃都是双射，那么勿的逆置换也必是双射n必也是置换，那么L会是什么样子呢?71 =1 2 3 4 5、、4 1 5 3 2,=>0 1 5 3 2、<1 2 3 4 5,1 2 3 4 5、2 5 4 1 3?若将，表成循环置勿=(1 4 3 5 2)=>厂(1 2 5 3 4)说明：循环置换"的逆置换，T就是将每个文字的变动方向反向.结论2："一循环置换的逆置换也是循环置换且广'="…顷）问题3.由前已知,两个变换一般是不能交换的，所以，两个置换一般也不能交换的.但是我们会发现.设 〃 =(1 3 2), r =(4 5)=> 府=m结论3.两个不相连的循环置换是可以交换的结论4.任一个#—循环置换1=(3 …")=(3 XE)…(LL X隽)=(隽 X 顷 XE )-(w\ )定义4.每个2—循环置换都叫做一个对换.利用结论4,我们有:定理3.每个〃元置换都能表示成若干个对换的乘积例4•郭履3打娘7E2泌泌* 7）1=1结论4是“因地制宜”一一用现有的文字构成对换之积, 有时我们需要一些其他文字“加入”对换之中，于是有了结论5.设，血…4）・且亿"Q=（j L h -ik\j 0五.置换的奇偶性.虽然由结论4, 5可知,每个置换都能写成对换之积•且对换之积的表示形式不是唯一的.(比如C ： : 3 = (1 2)=(3 4X1 2X3 4))但对换个数的奇偶性是不会改变的。

结论6.任意一个置换表成对换之积时，表示式中对换个数的奇偶性不变.定义5. 一个置换勿叫做偶（奇）置换/可以表成偶（奇）数个对换之积.利用结论4知.我们能很容易地判断出循环置换的奇偶性.1=1结论7. 一个R一循环置换/是偶(奇)置换oA为奇(偶)数.考察下面的例子：区| = 4!=24.而&中全部偶置换共有12 个：{(1);(1 2 3);(1 3 2);(1 2 4);(1 4 2);(1 3 4);(1 4 3);(2 3 4); (2 4 3);(1 2X3 4);(1 3)(2 4);(1 4入2 3)}=人那么人就是公中的一切偶置换组成的集合，对于置换的乘法, 能发现：•孔中乘法封闭。