2022年养老基金问题.docx

《数学建模与运算》问题 养老基金问题1. 具体问题某高校年轻老师小李从 31 岁开头建立自己的养老基金,他把已有的积蓄一万元也一次性投入,已知月利率为 0.01 ,每月存入 300 元,当他 60 岁退休时, 他的退休基金有多少？如退休后他每月要从银行提取 1000 元,几年后他的退休金可以用完？2. 解决方法依据题意建立数学模型 : 可用差分方程求解养老基金问题.2.1 模型假设 ：整个过程可以按月进行划分,由于交费是按月进行的.（1） ）设投保人到第 k月止所交保费及收益的累计总额为Fk,（2） ）设r 为每月收益率,（3） ）记p，q分别为60岁之前每月交费数和 60岁之后每月领取数,（4） ） 记N为停交保险费的月份, M为停领养老金的月份.模型建立：在整个过程中,离散变量 Fk的变化规律中意：Fk+1 = Fk （ 1+r ）+p, k = 0 , 1,⋯, N-1 Fk+1 = Fk （ 1+r ）-q , k = N, ⋯M2.2 差分方程建模 ：在实际建立的查分方程模型时,往往要将变化过程或向量,划分成如干时段,依据要解决问题的目标,对每个时段引用相应的变量或向量,然后通过适当的假设,依据食物系统的实际 变化规律和数量相互关系,建立每两个相邻时段或几个相邻时段或 相隔某几个时段的量之间的变化规律和运算关系（即用相应阶段设定的变量进行四就运算或基本初等函数运算和取最运算等）等式（可多个并且应当充分全面反映全部可能的关系）,从而建立起差分方程.或者对事物系统进行划分,划分成如干子系统,在每个子系统中引入 恰当的变量或向量,然后分析建立起子过程间这种量的关系等式,从可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载而建立起差分方程.在这里,过程时段或子系统的划分方式是特殊特殊重要的,应当结合已有的信息和分析条件, 从多种可选方式中挑选易于分析, 针对性强的划分, 同时,对划分后的时段或子过程, 引入哪些变量或向量都是至关重要的, 要仔细分析挑选, 尽量扩大对过程或系统的数量感知范畴, 包括对已有的, 已知的如干量进行结合运算,取最运算等处理方式,目的是建立起简洁,深刻,易于求解分析的差分方程.1，差分算子可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载设数列xn ,定义差分算子: xnxn 1xn 为xn 在 n 处的向前差分.而可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载xn xnxn 1为xn 在 n 处的向后差分.以后我们都是指向前差分.可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载可见 xn 是 n 的函数.从而可以进一步定义 xn 的差分：x2〔 xn 〕 nn称之为在 n 处的二阶差分,它反映的是的增量的增量.类似可定义在 n 处的 k 阶差分为：可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载xkn2，差分算子 ，不变算子，平移算子〔 k 1〔 x 〕〕可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载记Exnxn 1 , Ix nxn ,称 E 为平移算子, I 为不变算子 .可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载就有： xnExnIx n〔E I 〕 xn可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载E I由上述关系可得：可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载xnk 〔 EI 〕 k xknik〔 1〕ki 0C i E i xkn〔 1〕ki 0iiCk xn i（ 1）可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载这说明xn 在 n 处的 k 阶差分由xn 在 n, n1 nk ,处的取值所线性准备. 反可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载之,由xn xn 1 xn得 xn 1 xnxn ：可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载x2n xn 22xn 1xn ,得： xn2 2 xn 1 xn2 x ,可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载n这个关系说明：第 n+2 项可以用前两项以及相邻三项增量的增量来表现和运算.即一个数列的任意一项都可以用其前面的 k 项和包括这项在内的 k+1 项增量的增量 . 第 k 层增量所构成.可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载kk 1xn 〔i 01〕kiiCk xn ixn k ,可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载得： xn kk 1〔 1〕 kni 0iikCk xn i xn（2）可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载可以看出：3，差分方程xn k 可以由xn ,xn ,...,k x 的线性组合表示出来可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载n由 xn 以及它的差分所构成的方程可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载xkn称之为 k 阶差分方程.f 〔n, xn ,xn ,...,k 1 x 〕（3）可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载由（ 1）式可知（ 3）式可化为可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载xn kF 〔n, xn , xn1,..., xnk 1 〕（4）可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载故（ 4）也称为 k 阶差分方程（反映的是未知数列 xn 任意一项与其前,前面 k 项之间的关系）.由（1）和（ 2）可知,（3）和（ 4）是等价的.我们经常用的差分方程的形式是（ 4）式.4，差分方程的解与有关概念可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载（1） ） 假如xn 使 k 阶差分方程（ 4）对全部的 n 成立,就称 xn为方程（ 4）可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载的解.（2） ） 假如 xn x （ x 为常数）是（ 4）的解,即x F 〔 n, x,..., x〕就称 xn x 为（ 4）的平稳解或叫平稳点.平稳解可能 不只一个.平稳解可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载的基本意义是：设xn 是（ 4）的解,考虑xn 的变化性态,其中之一是极限状况,可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载假如 lim xn nx ,就方程（ 4 ）两边取极限（ x 就存在在这里面） ,应当有可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载x F 〔n, x,..., x〕可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载（3） ） 假如（ 4）的解xn 使得 xnx 既不是最终正的,也不是最终负的,就可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载称 xn 为关于平稳点 x 是振动解.（4） ） 假如令： yn xn x ,就方程（ 4）会变成可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载yn kG〔 n, yn ,..., ynk 1 〕（5）可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载就 y 0 成为（ 5）的平稳点.（5） ） 假如（ 5）的全部解是关于 y 0 振动的,就称 k 阶差分方程 （5）是可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载振动方程.假如（ 5）的全部解是关于 y方程（ 5）是非振动方程.0 非振动的,就称 k 阶差分可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载（6） ） 假如（ 5） 有解yn ,使得对任意大的N y 有Sup yn0 就称yn 为正就可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载解.（即不会从某项后全为零）n N y可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载（7） ） 假如方程（ 4） 的解xn 使得Lim xn nx,就称xn 为稳固解.,可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载复利的运算是对本金及其产生的利息一并运算,也就是利上有利.复利运算的特点是：把上期未的本利和作为下一期的本金,在运算时每一期本金的数额是不同的.复利的运算公式是 ：可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载第一月存款情形M=〔p+m〕*〔1+i〕^n其中： P=本金. i= 利率. m=每月存的. n=月份可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载M1=（ 10000+300）×（ 0.01+1 ） =10403其次月存款情形M2=（ 10000+300）×（ 0.01+1 ） ^2=10507.03第三月存款情形M3=（ 10000+300）×（ 0.01+1 ） ^3=10612.1003依次利用公式求解,在 30 年后,即小李 60 岁时可得本息M= （10000+300）×（ 1+0.01 ）^360= 3.7028e+0053. 程序代码用 Matble 语言得到的程序a=10000+300 b=1+0.01num=1for i=1:360num=num*b可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载end result=a*num result可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载3.7028e+0054. 结果分析可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载当他 60 退休时退休金有约 10 年后用完（ 120.328 月）可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载。