高等几何试题.docx

0464）《高等几何》复习大纲仿射坐标与仿射变换一、要求 1.掌握透视仿射对应概念和性质，以及仿射坐标的定义和性质熟练掌握单比的定义和坐标表示 2.掌握仿射变换的两种等价定义；熟练掌握仿射变换的代数表示，以及几种 特殊的仿射变换的代数表示 3.掌握图形的仿射性质和仿射不变量二、考试内容 1.单比的定义和求法 2.仿射变换的代数表示式， 以及图形的仿射性质和仿射不变量 3.仿射变换的不变点和不变直线的求法射影平面一、要求 1.掌握中心射影与无穷远元素的基本概念，理解无穷远元素的引入2. 熟练掌握笛萨格（ Desargues ）定理及其逆定理的应用3.熟练掌握齐次点坐标的概念及其有关 性质4.理解线坐标、点方程的概念和有关性质 5.掌握对偶命题、对偶原则的理论二、考核内容 1.中心投影与无穷远元素：中心投影，无穷远元素，图形的射影性质2.笛萨格（ Desargues ）定理：应用笛萨格（ Desargues ）定理及其逆定理证明有关结论3. 齐次点坐标：齐次点坐标的计算及其应用 4.线坐标：线坐标的计算及其应用5.对偶原则：作对偶图形，写对偶命题，对偶原则和代数对偶的应用 射影变换与射影坐标一、要求1. 熟练掌握共线四点与共点四线的交比与调和比的基本概念、性质和应用。

2. 掌握完全四点形与完全四线形的调和性及其应用3. 掌握一维射影变换的概念、性质，代数表示式和参数表示式4. 掌握二维射影变换的概念、性质以及代数表示式5. 理解一维、二维射影坐标的概念以及它们与仿射坐标、笛氏坐标的关系二、考试内容1. 交比与调和比：交比的定义、基本性质及其计算方法，调和比的概念及其性质2. 完全四点形与完全四线形：完全四点形与完全四线形的概念及其调和性3. 一维基本形的射影对应：一维射影对应的性质，与透视对应的关系，以及代数表示式4. 二维射影变换 5.二维射影对应（变换）与非奇线性对应的关系6. 射影坐标：一维射影坐标、二维射影坐标 7.一维、二维射影变换的不变元素：求一维射影变换的不变点，二维射影变换的不变点和不变直线变换群与几何学一、要求 1.了解变换群的概念 2.理解几何学的群论观点3.弄清欧氏几何、仿射几何、射影几何之间的关系及其各自的研究对象二、考试内容 1.变换群与几何学的关系2仿射几何、射影几何学相应的变换群、研究对象基本不变量和基本不变性 二次曲线的射影理论一、要求 1.掌握二队（级）曲线的射影定义、二阶曲线与直线的相关位置， 二阶曲线的切线二阶曲线与二级曲线的关系。

2.掌握巴斯加定理、布利安桑定理以及巴斯加定理特殊情形 3.掌握极点，极线的概念和计算方法，熟练掌握配极原则 4.了解二阶曲线的射影分类二、考试内容 1.二阶（级）曲线的概念，性质和互化，求二阶曲线的主程和切线方程2.应用巴劳动保护加定理和布利安桑定理及其特殊情形证明有关问题，解决相在的作图问题 3.二阶曲线的射影分类二次曲线的仿射性质和度量性质一、要求和考试内容 1.掌握二次曲线的中心、直径、共轭直径、渐近线等概念和性质0464）《高等几何》样题及答案一、填空题（每题2 分，共 10分）1、 平行四边形的仿射对应图形为： —2、 线坐标（1, 2, 1）的直线的齐次方程为： ；3、 直线3x + 2x = 0上的无穷远点坐标为： ；1 24、 设（AB,CD）= 2，则点偶 调和分割点偶 ；5、 两个射影点列成透视的充要条件是 ； 一、作图题（每题6分，共6分）1、叙述下列图形中的点线结合关系及其对偶命题,并画出对偶图形三、 计算题（每题 10 分，共 30分）1、 求仿射变换式使直线x+2y—1=0上的每个点都不变，且使点（1,-1）变为（-1, 2）p x' = - x1 12、 求射影变换\ px' = x的固定元素。

22p x' = x333、 叙述二次曲线的中心、直径，共轭直径渐近线等概念，并举例说明四、 证明题（每题 12 分，共 24分）1 、叙述并证明布利安桑定理2、设（AB、CD） =-1, O为CD的中点，则OC2=OA・OB （此题为有向线段） 参考答案一、填空题1、平行四边形2、x + 2x + x = 0 3、（2, -3, 0） 4、AC , BD 5、保持公共元素不变1 2 3二、 作图题 1、每三点不共线的五个点,两两连线对偶：没三线不共点的五条线,两两相交 对偶图形 就是自己三、 计算题f x' = a x + b y + c1解设所求仿射变换为＜ 1 1 1 在 x+2y-1=0上任取两点，例I y' = a x + b y + c222如取（1, 0）、（3, -1） ,在仿射变换下,此二点不变而点（1, -1）变为（-1, 2）,f 3a 一 b + c = 3 <111I 3a - b + c = -1222fa + c = 1 把它们分别代入所设仿射变换式，得＜ 1 1la + c = 0fa — b + c = -1111a — b + c = 222222由以上方程联立解得： a =2 , b =2 , c =-11 1 1a2=-32, b =-22,c22故所求的仿射变换为：3 x 3一 一 2 y +22a11一 1, a = 0, a = 0, a = 0, a12 13 21 22射影变换的固定方程组6.5 公式(2),得1(1-u)x, = 0 由此得特征方程为：00设的射影变换式 ， 得= 0,a =0,a=0,a =1把它们代入313233—u)x + a x+ax = 0112 2133+ (a —u)x+ax = 01 222 23 3+ a x+ (a—u)x = 01 32 2333 0 0 1 —u.0=0, 即(1+u)(1-u)2=0由题—1 —u(0・・・・・・・・・・ ・・・・1(a11 ax21 ax31= 1, a232(1 — u) x = 03解得u=1 (二重根)，U=—1将 u=—1 代入固定点方程组，即得固定点为(1，0，0)将u=1代入固定点方程组，得x1=0这是一固定点列即直线A2A3上的每一点都是固定点。

把 a 的值代入射影变换的固定直线方程组 6 5 公式(5)，即 ij(a —v)u+au+au=011121231 3au+(av )u+au=012 122232 3au+au+ (a—v )u=013 1232333—1 —v..0....0..0. ..1.—. v0.=0 ..即0. ..0. .1. —.v.得(—1 —v )u = 01= 0 则 特 征 方 程 为1 (l—v )u2(1 —v )u3=0(1+v) (1-V)2=0,解得 v=-1 v=1(二重根)将 V=-1 代入固定直线方程组，即得固定直线为(1， 0， 0)将v=1代入固定直线方程组，得u1=0,即通过点(1, 0, 0)四、证明题 1、见课本2、证明 这里所用的都是有向线段，利用0为CD中点这一假设，便有0D=-0C来论证的，由(AB, CD)=-1，得 AC ° B =-1AD • BC即 AC ・ BD+AD ・ BC=0 (1)把所有线段都以0点做原点来表达，由(1)得(0C-0A) (0D-0B) + (0D-0A) (0C-0B)=0 (2) 由(2)去括号，移项，分解因子，得2 (0A -0B+0C ・0D) = (0A+0B) (0C+0D) 2 (0A ・0B-OC2) = (OA+OB )・ 0 .•・ 0A ・ 0B-0C2=0 即 0C2=0A ・ OB高等几何试题一、填空题(每题 3分，共27分)1、 两个三角形面积之比是( )。

2、 相交于影消线的二直线必射影成( )3、 如果两个三点形的对应顶点连线共点，则这个点叫做(4、 一点x = (x , x , x )在一直线u = ［u , u , u ］上的充要条件是( )1 2 3 1 2 35、 已知(p p , p p ) = 3 ,则(p p , p p )=( )，( pp pp )=( )1 2 3 4 4 3 2 1 13 2 46、 如果四直线p , p , p , p满足(p p , p p )= - 1,则称线偶p , p和p , p1 2 3 4 1 2 3 4 3 4 1 2( )7、 两个点列间的一一对应是射线对应的充要条件是( )8、 不在二阶曲线上的两个点P( p p p ) , Q( q q q )关于二阶曲线S三工a xx = 0成共1 2 3 1 2 3 ij i j轭点的充要条件是( )9、 仿射变换成为相似变换的充要条件是( )二、 计算题(每题 8 分，共 56分)x2 y 21、 计算椭圆的面积(椭圆方程：—+ — = 1 a, b > 0)a2 b 22、 求共点四线l : y = k x， l : y = k x， l : y = k x， l : y = k x 的交比。

1 1 2 2 3 3 4 4p x = 一 x1 13、 求射影变换］px ' = x的不变元素22f p x = x 、 3 34、 求二阶曲线6x 2 - x 2 - 24 x 2 + 11 x x = 0经过点P(1,2,1)的切线方程1 2 3 2 35、 求双曲线x2 + 2xy - 3y2 + 2x - 4y = 0的渐近线方程6、 求抛物线2x2 + 4xy + 2y2 - 4x + 1 = 0的主轴和顶点7、 求使三点O(0, g)，E(1,1)，P(1,-1)顺次变到点 O'(2, 3)，E'(2,5), P'(3, — 7)的仿 射变换三、 已知 A(1,2, 3) , B(5, -1,2) , C(11, 0, 7) , D(6,1, 5) ,验证它们共线并求( AB , CD ) 的 值 8 分)四、 求证：两个不同中心的射影对应线束对应直线的交点构成一条二阶曲线9 分)答案一、1、仿射不变量 2、平行直线3、透视中心 4、u x + u x + u x = 01 1 2 2 3 35、 3 2 6、调和分离 7、任何四个对应点的交比相等 8、 S = 0pq9、这个变换使圆点保持不变、1、解：设在笛氏直角坐标系下椭圆的方程为d + ^- = 1a2 b 2r f经过仿射变换x = x< ,ay = _ y〔b其对应图形为圆。

X‘2 + y 2 = a 2。