2.6 试证明线性卷积满足交换率、结合率和加法分配率证明 〔1交换律X * y = 令k=n-t,所以t=n-k,又- * y = ==y * x 交换律得证. <2>结合律 [x * y] * z =[] * z =[]z =xyz =xyz =x[y * z] =x * [y * z] 结合律得证. <3>加法分配律 x * [y + z] = x[y +z] =xy+xz =x * y + x *z 加法分配律得证.2.7 判断下列系统是否为线性系统、非线性系统、稳定系统、因果系统并加以证明<1>y= 2x+3<2>y= xsin[n+]<3>y=<4>y= <5>y= xg解 〔1设y=2x+3,y=2x+3,由于 y=2[x+x]+3≠y+y =2[x+x]+6 故系统不是线性系统。
由于y=2x+3,T[x]=2x+3,因而y = T[x]故该系统是非移变系统设|x|≤M,则有|y|=|2x+3|≤|2M+3|<∞故该系统是稳定系统 因y只取决于现在和过去的输入x,不取决于未来的输入,故该系统是因果系统〔2设 y1=ax1sin[n+]y2=bx2sin[n+]由于 y=T[ax1+ bx2]=[ax1+bx2]sin[n+]=ax1sin[n+]+bx2sin[n+]=ay1+by2故该系统是线性系统由于 y=xsin[+]T[x]=xsin[n+]因而有 T[x]≠y帮该系统是移变系统设 |x|≤M,则有|y|=|xsin[+]|=|x|| sin[+]|≤M|sin[+]|≤M故系统是稳定系统 因y只取决于现在和过去的输入x,不取决于未来的输入,故该系统是因果系统。
〔3设 y1= ,y2=,由于y=T[ax1+ bx2]= =a+ b=ay1+by2故该系统是线性系统因 y===T[x]所以该系统是非移变系统设 x=M<∞y==∞,所以该系统是不稳定系统因y只取决于现在和过去的输入x,不取决于未来的输入,故该系统是因果系统〔4设 y1= ,y2=,由于y=T[ax1+ bx2]= = a+b=ay1+by2故该系统是线性系统因 y==≠T[x]=所以该系统是移变系统设x=M,则y=M=,所以该系统不是稳定系统显而易见,若n≥n则该系统是因果系统；若n设y=xg,y=xg,由于y=T[ax+bx]=+bx>g =axg+b=ay+by故系统是线性系统因y=x,而 T[x]=xg≠y 所以系统是移变系统。
设|x|≤M<,则有 |y|=|xg|=M|g| 所以当g有限时该系统是稳定系统 因y只取决于现在和过去的输入x,不取决于本来的输入,故该系统是因果系统2.8 讨论下列各线性非移变系统的因果性和稳定性〔1h=2u<-n> <4> h=<>u <2> h=-au<-n-1> <5> h=u <3> h=,n≥0 <6> h=2Ru解 〔1因为在n<0时,h=2≠0,故该系统不是因果系统 因为S=|h|=|2|=1<,故该系统是稳定系统<2>因为在n≠0,故该系统不是因果系统因为S=|h|=|a|=a,故该系统只有在|a|>1时才是稳定系统<3>因为在n≠0,故该系统不是因果系统因为S=|h|=||=1<,故该系统是稳定系统<4> 因为在n=0,故该系统是因果系统因为S=|h|=|<>|<,故该系统是稳定系统。
<5> 因为在n=u=0,故该系统是因果系统因为S=|h|=|u|==,故该系统不是稳定系统<6>因为在n=0,故该系统是因果系统因为S=|h|=|2|=2-1<,故该系统是稳定系统2.9 已知y-2cosy+y=0,且y<0>=0,y<1>=1,求证y=证明 题给齐次差分方程的特征方程为-2cos·+1=0由特征方程求得特征根=cos+jsin=e,=cos-jsin= e齐次差分方程的通解为 y=c+c=ce+ce代入初始条件得 y<0>=c+c=0 y<1>=ce+ce=1由上两式得到c==,c=-c=-将c和c代入通解公式,最后得到 y=ce+ce==2.10 已知y+2y+=0,且y<0>=0,y<1>=3,y<2>=6,y<3>=36,求y解 首先由初始条件求出方程中得系数a和b由 可求出 a=-1,b=-8于是原方程为 y-2y-iy=0由特征方程－2－8＝0求得特征根＝4 ,＝-2齐次差分方程得通解为 y=c+c=c4+c<-2>代入初始条件得y=c+c=4+2=3由上二式得到 c＝,c＝－将c和c代入通解公式,最后得到y=c+c＝[4-<-2>]2.11 用特征根法和递推法求解下列差分方程：y-y-y=0,且y<0>=1,y<1>=1解 由特征方程－－1＝0求得特征根＝,＝通解为y=c+c＝c〔＋c〔代入初始条件得求出c=,c=最后得到通解y=c<>+c<> =[<>-<>]2.12 一系统的框图如图P2.12所示,试求该系统的单位取样响应h和单位阶跃响应解 由图可知 y=x+y为求单位取样响应,令x=,于是有 h=+h由此得到 h==u阶跃响应为 y=h*u=yu =u2.13 设序列x的傅立叶变换为X,求下列各序列的傅立叶变换解 〔1F[ax+bx]=aX+bX<2>F[x]=eX<3>F[ex]=X[e]<4>F[x<-n>]=X<5>F[x]=X<6>F[x<-n>]=X<7><8>jIm[x]=[X-X]<9>X*X<10>j2.14 设一个因果的线性非移变系统由下列差分方程描述y-y=x+x(1) 求该系统的单位取样响应h(2) 用〔1得到的结果求输入为x＝e时系统的响应(3) 求系统的频率响应(4) 求系统对输入x=cos的响应解 〔1令X〔n=δ,得到h-h/2=δ+ δ/2由于是因果的线性非移变系统,故由上式得出 h=h/2+δ+ δ/2 ,n≥0递推计算出h<-1>=0 h<0>=h<-1>/。
