特征值和特征向量.docx

第五章 矩阵的特征值§1.矩阵的特征值和特征向量一、矩阵的特征值的定义定义1：设A为n阶矩阵，九是一个数，如果存在非零n维向量a,使得： Aa=^a，则称九是矩阵A的一个特征值，非零向量a为矩阵A的属于（或对应 于）特征值九的特征向量下面讨论一般方阵特征值和它所对应特征向量的计算方法设A是n阶矩阵，如果九是A的特征值，a是A的属于九的特征向量，00贝 U Aa 二九an 九a — Aa 二 0 n （九 E - A）a 二 0 （az 0）0 0 0因为a是非零向量，这说明a是齐次线性方程组叫-A） X 二 0的非零解，而齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是其系数矩阵九E- A的0 行列式等于零，即件E-A |=0而属于九的特征向量就是齐次线性方程组（九E- A）x二0的非零解 00定理1：设A是n阶矩阵，则九是A的特征值，a是A的属于九的特征向 00量的充分必要条件是化是|件E-A |=0的根，a是齐次线性方程组 （九E- A）X二0的非零解0定义2：称矩阵九E- A称为A的特征矩阵，它的行列式|九E- A |称为A的特征多项式，|九E- A |=0称为A的特征方程，其根为矩阵A的特征值。

由定理1可归纳出求矩阵A的特征值及特征向量的步骤：（1） 计算|九E - A | ；（2） 求|九E- A |=0的全部根，它们就是A的全部特征值；（3） 对于矩阵A的每一个特征值九，求出齐次线性方程组（九E- A）X二0的一个 基础解系：耳，耳，…，耳,其中r为矩阵九E - A的秩；则矩阵A的属于九的全部1 2 n - r 0 0特征向量为：K耳+ K耳+…+ K 耳1 1 2 2 n-r n-r其中K , K，…,K 为不全为零的常数1 2 n-r‘0 -1 -1、例1求A= -1 0 -1的特征值及对应的特征向量[-1 -1 0 丿九11九+ 211111解：九E - A1九1九+ 2X1=(X + 2)1X111九九+ 21X11X111=(九 + 2)0九-10=(X +2)(X -1)200九-1令1九E-A |=(0 得：九1=九= 1,X=3-2当九=九=1时，解齐次线性方程组(E - A) X = 0 12‘1 1 1〕‘1 1 1〕即： E-A=1 1 1T0 0 0J 1 »、0 0 0丿可知r(E- A) = 1，取x ,x为自由未知量，对应的方程为x + x + x = 02 3 1 2 3求得一个基础解系为a = (-1,1,0》，a = (-1,0,1》，所以A的属于特征值1的全12部特征向量为Ka +Ka，其中K ,K为不全为零的常数。

1 1 2 2 1 2当九=-2时，解齐次线性方程组(-2E - A)X = 0 3‘ -211〕‘11-2〕‘11-2〕‘11-2〕-2E-A=1-21T1-21T0-33T01-1<11-2丿<-211 ><0-33丿<000 >r(-2E - A) = 2，取 x?为自由未知量，对应的方程组为”-：「= = 0求得它的一个基础解系为« = 1 ,所以A的属于特征值-2的全部特征向量为 3U丿K a，其中K是不为零的常数3 3 3‘0 1 0、例2求A = 0 0 1的特征值及对应的特征向量0 0 0丿九-1 0解：I九E - A 0 九 -1 =九30 0 九令|九E — A —0, 解得：九=九=九=01 1 2 3对于九二九二九二0，解齐次线性方程组(0E — A)X = 0123‘0—10、f x = 0—A =00—1丿,-A的秩为2,取x为自由未知量，对应的方程组为\ 2 ,1 1 x = 01000 J3‘ 1 [求得它的一个基础解系为a = 0，所以A的属于特征值0的全部的特征向量为10丿Ka ，其中 K 为不为零的常数‘122、例 3 求 A =21—2丿的特征值及对应的特征向量。

—2—21丿九-1—2—2九-1—2—2解：九E — A ——2—12 =0九+1九+122九-122X-1九-1—2—2九-1—20=(九 +1)011=(九 +1)010—(X + 1)(X — 1)(X — 3)22-122X — 3令|九E — A —0解得：九=—1,九=1,九=31 1 2 3'-2 -2 -2、'1 1 0、X E — A =1-2 -2 2T0 0 11、2 2 —2,、0 0 0 丿当九=-1时,1I x + x = 0r(九E- A)二2，取x为自由未知量，对应的方程组为1 2—，解得一个基1 2 I X = 03〔-H础解系为« = 1 ，所以A的属于特征值-1的全部特征向量为K a，其中K是1 1 1 1I 0丿不为零的常数'0-2-2 ''110、当 X = 1 时，X E — A =-202 丿丿T011 丿丿22< X + X + X = 0 r(X E- A)二2，取x为自由未知量，对应的方程组为｛ 1 2 3 ，解得一个20 丿丿< 000丿丿I X + X = 0r(X E- A)二2，取x为自由未知量，对应的方程组为｛ 1 2— 解得一个基2 3 I X + X = 023础解系为a =2-1，所以A的属于特征值1的全部特征向量为Ka，其中K是基础解系为a3-1，所以A的属于特征值1的全部特征向量为Ka ，33其中 K32 2 2不为零的常数。

'2 -2 -2、'1 1 1、当 X 二 3 时，X E - A =-2 2 2T0 1 133、2 2 2 丿、0 0 0丿是不为零的常数例 4 已知矩阵30 'X 丿丿有一个特征向量求X的值解：由已知有：' 2030 '〔-5「〔-5 ]=X厂12x丿< 3 I X + X = 023丿< 3丿得：'-10 '60 + 3x 丿所以有｛二28'1 - 2 2、练习：(1)求矩阵A = -2 -2 4的特征值及相应的特征向量〔2 4 - 2 丿解：九=-7的特征向量为K (1,2, -2》；11九=九23二2的特征向量为K (- 2,1,0\ + K 6,0,1》(K , K不全为零)3 2 3'3 2 -1、r 1 ]a — 2 2有一个特征向量a 1 —-2<3 b - r1< 3丿2(2)已知矩阵B =，试求a, b,及a所对1解：设九是特征向量a1所对应的特征值，由定义得：1应的特征值r 1「r 1 ]-2=X1-2< 3丿< 3丿2 -1、-2 2b -1丿解得： X = -4， a — -2， b = 61二、特征值、特征向量的基本性质(1) 如果a是A的属于特征值X的特征向量，则a 一定是非零向量，且对于任0意非零常数K, Ka也是A的属于特征值X的特征向量。

0(2) 如果a , a是A的属于特征值X的特征向量，则当k a + k a丰0时，1 2 0 1 1 2 2ka + k a也是A的属于特征值X的特征向量1 1 2 2 0证：A( k a + k a )= kAa + k Aa — kXa + k X a — X (ka + k a)1 1 2 2 1 1 2 2 1 0 1 2 0 2 0 1 1 2(3) n阶矩阵A与它的转置矩阵at有相同的特征值证：|XI-At| — (XI-A)t| —XI-A注：A与At同一特征值的特征向量不一定相同；A与At的特征矩阵不一定相同4)a) X + X + … + X = a + a + … a1 2 n 11 22 nn(b) X X …九=|a|1 2 n推论：A可逆的充分必要条件是A的所有特征值都不为零即X X……X = |a|丰01 2 n定义3：设A = C )，把A的主对角线元素之和称为A的迹，记作tr (A),j nxn即： tr ( A ) = a + a + … a11 22 nn由此性质(d)可记为tr (A) = X +X +…+ X1 2 n(5)设九是A的特征值，且a是A属于九的特征向量，则(a) aX是aA的特征值，并有(aA ) a =( aX ) ab) Xk 是 Ak 的特征值， Ak a = Xk a(c)若A可逆，则Xh 0,且1是A-1的特征值，A-1 a = 1 a。

XX证：因为a是A属于X的特征值，有Aa =Xa，两边同乘a得：(aA)a = (a九)a，则a九是aA的特征值b)例1Ak a= Ak-1(Aa)= Ak-1(Xa) =XAk-2(Aa)=XAk-2(Xa) =X2(Ak-2a)=…=Xk-1 (Aa) = Xka，则九是Ak的特征值, 因为A可逆，所以它所有的特征值都不为零，由A a=Xa，得：A-i(Aa) = A-1(九a)，即：(A-1 A)a = X(A-ia) = k(A-ia)再由Xh 0，两边同除以X得：1A -1a = a，X所以k丰0,且1是A-1的特征值X已知三阶方阵A，有一特征值是3,且tr(A) = |A| = 6，求A的所有特征值解：设A的特征值为3，X ,X，由上述性质得:X +X + 3 = tr (A) =6九•九-3 = |A| =6由此得：九=1,九=223例 2 已知三阶方阵 A 的三个特征值是 1，-2，3，求(1) |A|, (2) A-1的特征值，(3) At的特征值，(4) A*的特征值解：(1) |A| = 1 x。