数学模型案例分析库(习题及解答).doc

数学模型案例1——雨中行走问题类比法是建立数学模型的一个常见而有力的方法.作法是把问题归结或转化为我们熟知的模型上去给以类似的解决：这个问题与我们熟悉的什么问题类似?如果有类似的问题曾被解决过，我们的建模工作便可省去许多麻烦.实际上，许多来自不同领域的问题在数学模型上看确实具有相类似的甚至相同的结构.利用几何图示法建模.有不少实际问题的解决只要从几何上给予解释和说明就足以了，这时，我们只需建立其图模型即可，我们称这种建模方法为图示法.这种方法既简单又直观，且其应用面很宽.1．雨中行走问题雨中行走问题的结论是：（1）如果雨是迎着你前进的方向落下，即，那么全身被淋的雨水总量为这时的最优行走策略是以尽可能大的速度向前跑.（2）如果雨是从你的背后落下，即. 令，则. 那么全身被淋的雨水总量为这时你应该控制在雨中行走的速度，使得它恰好等于雨滴下落速度的水平分量.从建模结果看，“为了少些淋雨，应该快跑”，这个一般的“常识”被基本上否定，那么根据何在？由此提出了建模目的：减少雨淋程度. 而为减少雨淋程度，便自然提出“被淋在身上的雨水量”这个目标函数C，而C=C（v），于是问题便归结为确定速度v，使C（v）最小——本模型的关键建模步骤便得以确定.有了确定的建模目的，自然引出与C（v）有关的量的设定与简化假设. 一般地，开始时不要面面俱到地把所有相关量都涉及到，往往只需考虑几个主要量，甚至暂时舍弃某个主要量，以求尽快建立模型.尤其对初学者，这样做有助于建模信心的增强.自不必说建模过程往往如此，更有模型尚有的进一步修改和推广的主要步骤.而一旦建立起简单模型后，其进一步的改善也相对容易多了.这就是本模型只所以建立了两个模型的原因，是符合人们的认识规律的.另外，为了检验所建模型的合理性，建模后用较为符合实际的几组数据对模型加以检验是重要的，它既是对所建模型是否基本符合实际的检测，也是进一步完善模型的需要.例1 在某海滨城市附近海面有一台风.据监测，当前台风中心位于城市O（如图2-1）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大. 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？问题分析与假设 1. 根据问题解决目的：问几小时后该城市开始受到台风的侵袭，以及台风侵袭的范围为圆形的假设，只要求出以台风中心（动点）为圆心的圆的半径r，这个圆的半径划过的区域自然是侵袭范围. 2. 台风中心是动的，移动方向为向西偏北，速度为20km/h，而当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，即半径的增加速度为，t为时间.于是只要，便是城 图2-1市O受到侵袭的开始.模型I 如图2-2建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向.在时刻t(h)台风中心的坐标为此时台风侵袭的区域是 其中r(t)=10t+60. 图2-2若在t时刻城市O受到台风的侵袭，则有 即 整理可得 由此解得 12t24，即12小时后该城市开始受到台风的侵袭.模型II 设在时刻t(h)台风中心为（如图2-2），此时台风侵袭的圆形半径为10t+60，因此，若在时刻t城市O受到台风侵袭，应有由余弦定理知注意到 故因此 即 解得 数学模型案例2——动物的身长与体重问题在生猪收购站或屠宰场工作的人们，有时希望由生猪的身长估计它的体重.试建立数学模型讨论四足动物的躯干的长度（不含头、尾）与它的体重的关系，（1）问题分析众所周知，不同种类的动物，其生理构造不尽相同，如果对此问题陷入对生物学复杂生理结构的研究，就很难得到我们所要求的具有应用价值的数学模型并导致问题的复杂化.因此，我们舍弃具体动物的生理结构讨论，仅借助力学的某些已知结果，采用类比方法建立四足动物的身长和体重关系的数学模型.类比法是依据两个对象的已知的相似性，把其中一个对象的已知的特殊性质迁移到另一对象上去，从而获得另一个对象的性质的一种方法. 它是一种寻求解题思路、猜测问题答案或结论的发现的方法，而不是一种论证的方法，它是建立数学模型的一种常见的、重要的方法. 类比法的作用是启迪思维，帮助我们寻求解题的思路.，而它对建模者的要求是具有广博的知识，只有这样才能将你所研究的问题与某些已知的问题、某些已知的模型建立起联系. （2）模型假设与求解 我们知道对于生猪，其体重越大、躯干越长，其脊椎下陷越大，这与弹性梁类似. 为了简化问题，我们把动物的躯干看作圆柱体，设其长度为l、直径为d、断面面积为S（如图2—3）. 将这种圆柱体的躯干类比作一根支撑在四肢上的弹性梁，这样就可以借助力学的某些结果研究动物的身长与体重的关系.图2—3 设动物在自身体重（记为f）的作用下，躯干的最大下垂度为b，即弹性梁的最大弯曲. 根据对弹性梁的研究，可以知道 .又由于Sl(体积)，于是 .b是动物躯干的绝对下垂度，b/l是动物躯干的相对下垂度.b/l太大，四肢将无法支撑动物的躯干，b/l太小，四肢的材料和尺寸超过了支撑躯干的需要，无疑是一种浪费，因此，从生物学角度可以假定，经过长期进化，对于每一种动物而言，b/l已经达到其最适宜的数值，换句话说，b/l应视为与动物尺寸无关的常数，而只与动物的种类有关.因此，又由于,故.即四足动物的体重与躯干长度的四次方成正比.这样，对于某种四足动物（如：生猪），根据统计数据确定上述比例系数k后，就可以依据上述模型，由躯干的长度估计出动物的体重了.（3）模型评注在上述模型中，将动物的躯干类比作弹性梁是一个大胆的假设，其假设的合理性，模型的可信度应该用实际数据进行仔细检验.但这种思考问题、建立数学模型的方法是值得借鉴的.在上述问题中，如果不熟悉弹性梁、弹性力学的有关知识，就不可能把动物躯干类比作弹性梁，就不可能想到将动物躯干长度和体重的关系这样一个看来无从下手的问题，转化为已经有明确研究成果的弹性梁在自重作用下的挠曲问题.例2 在中学数学中，通过类比推测或联想而发现新命题、新解法并不少见.诸如，由分数的性质类似地推测分式的性质；由直线与圆的位置关系推测圆与圆的位置关系；由一次函数、一次方程、一次不等式的某些性质和解法，推测二次函数、二次方程、二次不等式的某些类似的性质与解法等.情形1 已知：中，，AC=BC=1，BD是AC边上的中线，E点在AB边上，且.求的面积.如图2-4，引，易证类比 若去掉情形1中直角这一特性，是否会产生类似命题呢？由此想到 图2-4情形2 已知中(图2-5)，，BD是AC边上的中线，E点在AB上，且，，求.类似情形1的证法，易证得；当时，，与情形1结果相同. 图2-5类比 若保留情形1中的直角条件，去掉等腰三角形这一特殊性，可以类似地得到.情形3 已知中，AC=2BC=2，BD是AC边上中线，交BD于H，求.同样可证.这里，若在情形3中令AC=2BC=1，也有，与情形1结论相同；情形3是由情形1类比而来，最自然的想法是求，为了增加变换方式获得新命题，本情形求的是.数学模型案例3——实物交换问题实物交换是人类发展史上一种重要的交换方式，在当今的社会生活中也是屡见不鲜的，这种实物交换问题可以出现在个人之间或国家之间的各种类型的贸易市场上. 例如：甲乙二人共进午餐，甲带了很多面包，乙有香肠若干，二人希望相互交换一部分，达到双方满意的结果.显然，交换的结果取决于双方对两种物品的偏爱程度和需要程度，而对于偏爱程度很难给出确切的定量关系.因此可以采用图示的方法建立实物交换的数学模型，确定实物交换的最佳交换方案.图2—6下面依据等价交换准则确定最佳交换方案. 等价交换准则是指两种物品用同一种货币衡量其价值，进行等价交换.不失一般性，设交换前甲占有数量为x0的物品X，乙占有数量为y0的物品Y；交换后甲所占有的物品X，Y的数量分别记为x,y；单位数量的物品X，Y的价值（价格）设为p1,p2.由等价交换准则，x,y满足方程 容易证明，在此直线上的点进行交换均满足等价交换准则。

在等价交换准则下双方均满意的交换方案必是此直线与曲线AB的交点（如图2—6）. 无差别曲线概念的提出是用图形方法建立实物交换模型的基础，确定这种曲线需要收集大量的数据，还可以研究无差别曲线的解析表达式及其性质.例3 消费者的选择在本章中讨论实物交换模型时，引进了无差别曲线描述人们对两种物品的满意和偏爱程度，用图形的方法确定两个人进行实物交换时应遵循的途径. 本例要利用无差别曲线族的概念讨论，一个消费者用一定数额的钱去购买两种商品时应作怎样的选择，即他应该分别用多少钱去买这两种商品.记甲乙两种商品的数量分别是q1和q2，当消费者占有它们时的满意程度，或者说它们给消费者带来的效用，用q1、q2 的函数，记作U（q1,q2），经济学中称为效用函数（Utility function）. 图2-7U（q1,q2）=c（常数）的图形就是无差别曲线族，如图2-7是一族单调降、下凸、互不相交的曲线.在每一条曲线上，对于不同的点，效用函数U（q1,q2）的值不变.而随着曲线向右上方移动，U（q1,q2）的值增加（图中l2上的U值高于l1上的U值）.曲线下凸的具体形状则反映了消费者对甲乙两种商品的偏爱情况.这里假定消费者的效用函数U（q1,q2），即他的无差别曲线族已经完全确定了.设甲乙两种商品的单价分别是p1和p2（元），消费者有s(元)钱.当消费者用这些钱买这两种商品时所作的选择，即分别用多少钱买甲和乙，应该使效用函数U（q1,q2）达到最大，即得到最大的满意度.经济学上称这种最优状态为消费者平衡.因为当消费者对两种商品的购买量分别为q1和q2时，他用的钱分别为p1q1和p1q2，于是问题归结为在条件 p1q1+p2q2=s (2.1)下求比例p1q1/p2q2，使效用函数U（p1,q2）达到最大.这是二元函数的条件极值问题，用拉格朗日乘子法不难得到最优解应满足 （2.2）当效用函数U（q1,q2）给定后，由（2.2）式即可确定最优比例p1q1/p2q2.上述问题也可用图形法求解.约束条件（2.1）在该图上是一条直线MN.MN必与无差别曲线族U（q1,q2）=c中的某一条曲线相切（图中是与l2相切），则q1,q2的最优值必在切点Q处取得.图解法的结果与（2.2）式是一致的.因为在切点Q处直线MN与曲线l2的斜率相同，而MN的斜率是KMN=- p1/p2，l2的斜率是，在Q点处，即给出（2.2）式.经济学中，称为边际效用，即商品购买量增加一个单位时效用函数的增量.（2.2）式表明，消费。