保持几何连续性的曲线形状调配.pdf

1保持几何连续性的曲线形状调配保持几何连续性的曲线形状调配 张宏鑫 王国瑾 (浙江大学 CAD,...,1 , 0)1 (1, 1,, 1,,,0 ,kjnkjkjkjkjkjkkkkkkTTTPTPTδδ(33) 由此按(31)式可得到一系列的等式 01, 0,,)1(,=++∑∑∑ +==+−−=kljjjkljjljllkjjjkgAgPTP ) 1,...,2 , 1(−=kl． (34) 这里jlA,是中间参数 +=−+==−1 ,0, 00, 01 , 10, 00, 01,0, 10 ,0, 0)1 (kkkgAAAgAgAδδ (35) 9−=+=−=−+=−+=−−−−−−−−−−−−−1,...,3 , 21,...,2 , 1)1 ()1 (,1, 11, 1,, 1, 11, 11, 1,0, 10 , 1,0,klgAAljAAAAgAlklllllljljljljljllllklδδδδ(36) 最终得到 ∑ ==kjjkjlA0,,0T． (37) 这 里 可 选 取 所 有 的jkA,均 为 零 ． 于 是 ， 当2=k时 按 (29) 式 定 义0, 0δ， 若 k-2 层 前 的jl,δ),...,1 , 0; 2,...,1 , 0(ljkl=−=都已知，... , 3 , 2=k，由(33)(35)(36)式可求得jk, 1−δ，进而由(32)式 求 得jk,T),...,1 , 0(kj=． 我 们 称 辅 助 控 制 顶 点 列{}njjn,...,1 , 0,=T和 控 制 权 因 子{}kjnkjk,...,1 , 0, 1,...,1 , 0,=−=δ为 GCn拼接曲线)(tr的 n 阶平衡化条件阶平衡化条件．该条件将代数式中不可见的形状参数转化为直观的几何割角和补角过程，且上述推导过程表明给定一组 n 阶平衡化条件就给出一个 GCn拼接曲线)(tr的构造， 反之亦然． 图２, 图３给出的就是4 , 2=n的情况． 实际运用时，预先计算好jk,δ的表达式存储起来，要计算时代入即可．利用 n 阶平衡化条件，调整过程可归纳为 算法算法 3 （保持（保持 GCn的曲线调配方法）的曲线调配方法） 1. 对曲线)(0tr和)(1tr求出相应的辅助控制顶点列0 ,jnT和1 ,jnT),...,1 , 0(nj=； 2. 用适当的调配函数求出ϖ jP),...,1, 1,...,(mnnmmj+++−−=，ω jn,T),...,2 , 1(nj=； 3. 用适当的调配函数求出ωαj),...,2 , 1(nj=； 4. 进一步求出权因子ωδjk,),...,1 , 0; 1,...,1 , 0(kjnk=−=； 5. 利用平衡化条件求解出ϖ jn,T),...,1 , 0(nj=； 6. 以ωωωωωω 0, 00, 10,1)1(,...,,,,...,,TTTPPP−−−−−−nnnmm和ωωωωωω mnnnnPPPTTT,...,,,...,,21,1 , 10, 0++为控制顶点绘制调配曲线)(~tωr的前后段，则]2 , 0[)(~nGCt∈ωr． ４结论４结论 本文提出的基于平衡化几何连续条件的曲线调配方法实际上是给出了几何连续条件的一个几何 作图方法，具有几何直观性．可以看成是一种割角过程及其逆过程．通过辅助控制顶点与对应几何 连续条件的转换，有效地保证了曲线变形中的几何连续性．而这种转换只限于拼接处附近的若干控 制顶点，因此对控制顶点的调整是局部的．图４给出了利用上述算法对旋转体的母线进行形状调配10的例子．可以看到，两种的方法产生的中间过渡形状有较大差异，因我们方法加入了对中间过渡曲 线几何连续性的约束，避免了在变形过程中曲线形状特征的丢失．是一种可取的算法 我们的算法是稳定快速且有弹性的．说其在效率和稳定性上是具有优势的，因为相关顶点的调 整只涉及了它们之间的线性组合，而权因子既可通过迭代求得，也可事先算好后再代入，且顶点的 调整只受局部参数的影响；说其对不同应用背景是有很大的弹性，是因为它可以针对应用对象具体 选择不同形式的算法．由于形式上的统一性，选择常见的 Bézier 曲线模型，适合于通用的动画和造 型软件． 参考文献参考文献 [1] Sederberg TW, Greenwood E. A physically based approach to 2-D shape blending. Siggraph 92’ Proceedings. ACM Computer Graphics 1992, 26(2):25-34. [2] Sederberg TW, Gao P, Wang G, Mu H. 2D shape blending : an instrinsic solution to the vertex path problem. Siggraph 93’ Proceedings. ACM Computer Graphics 1993, 27(4):15-18. [3] Chen SE, Parent RE. Shape averaging and its applications to industrial design. IEEE Computer Graphics and Applications 1989, 9(1):47-54. [4] DeCarlo D, Metaxas D. Blended deformable models. IEEE Trans on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 1996,18(4):443-448. [5] 唐荣锡，汪嘉业，彭群生，计算机图形学教程，科学出版社，北京，1990. [6] Barskey BA, DeRose TD. Geometric continuity of parametric curves: constructions of geometrically continuous splines. IEEE Computer Graphics and Applications 1990,10(1):60-68. [7] Liang YD, Ye Xiuzi. Geometric continuity of curves. Journal of Computational Mathematics 1988. (a)起始帧(b) t=0.60 时 直接线性调配(c) t=0.60 时 采用调整算法 (d)终了帧 图４ 。