平行四边形知识点归纳讲解及典型例题解析.docx

平行四边形（提高）【学习目标】1. 理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理和 判定定理；2. 能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会 如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题.3. 能综合运用平行四边形的判定定理和平行四边形的性质 定理进行证明和计算.4. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理.【要点梳理】【平行四边形知识要点】要点一、平行四边形的定义平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行 四边形.平行四边形ABCD记作“口ABCD”，读作“平行四边 形 ABCD” .要点诠释：平行四边形的基本元素：边、角、对角线・ 相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相 邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角 线有两条.要点二、平行四边形的性质1. 边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；2. 角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；3. 对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；4. 平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中 心.要点诠释（1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两 角相等或两角互补；对角线的性质可以证 明线段的相等关系或倍半关系.（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取 值范围的问题，在解答时应联系三角形三边 的不等关系来解决.要点三、平行四边形的判定1. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；3. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；4. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5. 对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢 固掌握，当几种方法都能判定同一个平行 四边形时，应选择较简单的方法.（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依 据，也可作为“画平行四边形”的依据.要点四、三角形的中位线1. 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2. 定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等 于第三边的一半.要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.（2） 三角形的三条中位线把原三角形分成可重合 的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为 原三角形周长的1,每个小三角形的面积为原2三角形面积的1.4（3） 三角形的中位线不同于三角形的中线.要点五、平行线间的距离1. 两条平行线间的距离：（1） 定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一 条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指 垂线段的长度，是正值.（2） 平行线间的距离处处相等任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两 条平行线间最短的线段的长度.两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.2. 平行四边形的面积：平行四边形的面积=底乂高；等底等高的平行四边形面积相等.【典型例题】类型一、平行四边形的性质【平行四边形例10】。

1、如图，平行四边形ABCD的周长为60顷，对角线交于 O，AAOB的周长比^BOC・的周长大8cm，求AB，BC的长.【答案与解析】解：..•四边形ABCD是平行四边形.「・ AB = CD，AD = BC，AO = CO，・.・□ ABCD的周长是60..・.2AB + 2BC = 60，即 AB + BC = 30，①又・.・△ AOB的周长比^BOC的周长大8.艮口 (AO+OB+AB) - (BO+OC + BC) =AB—BC = 8，② 由①②有P-^ = S解得御：「•AB，BC的长分别是19 cm和11 cm .【总结升华】根据平行四边形对角线互相平分，利用方程的 思想解题.举一反三：【变式】(2018春•安岳县期末)如图，平行四边形ABCD中， 点E是DC边上一点，连接AE、BE，已知AE是ZDAB的平分 线，BE是ZCBA的平分线.(1) 求证：AEXBE；(2) 若AE=3，BE=2，求平行四边形ABCD的面积.【答案】解：(I)：四边形ABCD是平行四边形，AZABC+ZBAD=180°，・.・BE、AE分别平分ZABC和/BAD，/.ZABE+ZBAE< X180° =90 °，2・・./AEB=90°，艮口 AE±BE；(2)VAE±BE・・・SqBE=AEXBE：2=3，・.•平行四边形ABCD的面积=2SaABE=6.类型二、平行四边形的判定胡2、、(2018・张掖校级模拟)已知：如图四边形ABCD是 平行四边形，P、Q是直线AC上的点，且AP=CQ.求证：四边形PBQD是平行四边形.p【思路点拨】证明四边形是平行四边形有很多种方法，此题 可由对角线互相平分来证明.【答案与解析】证明：连接BD交AC与O点，・.•四边形ABCD是平行四边形，・・・AO=CO, BO=DO,又・AP=CQ,・・・AP+AO=CQ+CO,艮口 PO=QO,.・・四边形PBQD是平行四边形.【总结升华】本题主要考查平行四边形的判定，利用“对角 线互相平分的四边形是平行四边形”来证明.举一反三：【变式】以锐角△ ABC的边AC、BC、AB向形外作等边△ ACD、 等边△ BCE，作等边△ ABF，连接DF、CE如图所示.求证： 四边形DCEF是平行四边形.【答案】证明：在等边^ADC和等边△ AFB中ZDAC=ZFAB = 60°.・・・ ZDAF=ZCAB.又・.. AD=AC, AF=AB..・. △ADFM^ACB(SAS).・・・DF = CB = CE・同理，△BACM^BFE,・・・ EF=AC = DC・.・・四边形DCEF是平行四边形(两组对边分别相等的四 边形是平行四边形)・类型三、构造平行四边形，应用性质『3、在等边三角形ABC中，P为AABC内一点，PD〃AB, PE〃BC, PF//AC, D, E, F 分别在 AC, AB 和 BC 上，试说明:PD + PF+PE = BA.【答案与解析】解：延长FP交AB于G,延长DP交BC于H•.•四边形AGPD, EBHP为平行四边形，・・・PD=AG, PH = BE.・.・PD〃AB，PE〃BC, PF//AC,AABC 是等边三角形，.\Z GEP = Z EGP = Z EPG = Z PHF = Z PFH = Z HPF = 60°,AAGEP,A PHF为等边三角形・・・PF = PH = BE, PE = GE,・・・PD + PF+PE=AG+BE+GE=AB.【总结升华】添加辅助线构造平行四边形是当题目中有平行 关系的条件时经常使用的方法.类型四、三角形的中位线『4、如图所示，在△ ABC中，M为BC的中点，AD为/BAC 的平分线，BDXAD 于 D，AB = 12，AC=18，求 MD 的长.【思路点拨】本题中所求线段MD与已知线段AB、AC之间没 有什么联系，但由M为BC的中点联想到中位线，另有AD为 角平分线和垂线，根据等腰三角形“三线合一”构造等腰三 角形ABN，D为BN的中点，DM即为中位线，不难求出MD的 长度.【答案与解析】解：延长BD交AC于点N.•/ AD为/BAC的角平分线，且AD・・・ ZBAD = ZNAD,ZADB = ZADN 订= 90°，又AD为公共边，.・・ AABD^AAND(ASA)・ AN=AB = 12, BD = DN.・.・ AC = 18,・ NC=AC—AN=18 — 12 = 6,•/ D、M分别为BN、BC的中点，「・ DM= 1 CN= 1 6 =3.2 2【总结升华】当条件中含有中点的时候，可以将它与等腰三 角形的“三线合一”、三角形的中线、中位线等联系起来， 进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线等图形.举一反三：【高清课堂 平行四边形 例9】【变式】如图所示，四边形ABCD中，Q是CD上的一定点，P 是BC上的一动点，E、F分别是PA、PQ两边的中点；当点P 在BC边上移动的过程中，线段EF的长度将（）.A.先变大，后变小 B.保持不变C.先变小，后变大 D.无法确定【答案】B；解：连接AQ.・.・E、F分别是PA、PQ两边的中点，・・・EF是^PAQ的中位线，即AQ = 2EF.・Q是CD上的一定点，则AQ的长度保持不变，.・・线段EF的长度将保持不变.。