高考数学一轮复习讲义(提高版)-专题4.3-利用递推公式求数列通项（原卷版）.docx

三教上人（A+版-Applicable Achives）第三讲 利用递推公式求数列的通项公式【套路秘籍】---千里之行始于足下1．递推数列(1)概念：数列的连续若干项满足的等量关系an＋k＝f (an＋k－1，an＋k－2，…，an)称为数列的递推关系．由递推关系及k个初始值确定的数列叫递推数列．(2)求递推数列通项公式的常用方法：构造法、累加(乘)法、归纳猜想法．2．数列递推关系的几种常见类型（1）公式法：形如Sn=f(n)或Sn=f(an)或Sn=f(n,an)(2)累加法：形如an－an－1＝f(n)(n∈N*，且n≥2)当n∈N*，n≥2时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1.(3)累乘法：形如＝f(n)(n∈N*且n≥2)当n∈N*，n≥2时，an＝…a1.注意：n＝1不一定满足上述形式，所以需要检验．（4） 倒数法：（构造等差数列）形如整式：两边同时除以 分式：两边同时取倒数（5）待定系数法①形如an＝pan－1＋q(n∈N*且n≥2)方法：化为an＋＝p的形式．令bn＝an＋，即得bn＝pbn－1，{bn}为等比数列，从而求得数列{an}的通项公式．②形如an＝pan－1＋f(n)(n∈N*且n≥2)方法：两边同除pn，得＝＋，令bn＝，得bn＝bn－1＋，转化为利用累加法求bn，从而求得数列{an}的通项公式．【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始考向一 公式法【例1】(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，则an＝________.(2)记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝________.(3)已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，则an＝________.【套路总结】使用条件：已知解题思路：①首项：看题目有无首项，无则令n=1根据求出，如果题目已知，则直接进行②②列式：写出当时，的表达式③相减：利用，求出或者转化为的递推公式的形式；④检验：令n=1并代入的通项公式并与第一步中的对比，如果相等，则通项就只有一道；若不相等，则写出分段形式【举一反三】1.已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则an＝________.2.设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，则an＝________.3.若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式是an＝________.考向二 倒数法求通项【例2】（1）在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝，则an＝________.（2）已知在数列中，a1＝，且当n≥2时，有an－1－an－4anan－1＝0，则an＝____________.【套路总结】使用模型（其中为常数）解题思路：第一步：将递推公式两边取倒数得， 当r=p时，，是等差数列 当rp时，采用构造法构造等比数列 第二步：求出数列的通项公式；第三步：求出数列通项公式.【举一反三】1．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.2.若数列{an}的首项a1＝，且an＝(an＋1)an＋1，则＝________.考向三 累加法【例3】已知在数列中，a1＝0，an＋1＝an＋2n－1，求an.【套路总结】使用条件：型如或解题思路：第一步 将递推公式写成 即f(n)表示n的函数第二步 依次写出，并将它们累 加起来；第三步 得到的值，解出；第四步 检验是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式.注意：累加法一般只有（n-1）项【举一反三】1．数列满足a1＝，an＝an－1＋(n≥2，n∈N*)，求数列的通项．2.已知数列an，a1=1，an=an-1+3nn≥2,n∈N*，则数列an的通项公式an=______．考向四 类乘法【例4】已知在数列中，a1＝2，且nan＋1＝(n＋2)an，求an.【套路总结】使用条件：型如或解题思路： 第一步 将递推公式写成 第二步 依次写出，此步骤固定 第三步 得到的值，解出；第四步 检验是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式.【举一反三】1．已知在数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an.(1)求a2，a3；(2)求{an}的通项公式．考向五 待定系数法【例5】（1）已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2an＋2，求数列{an}的通项公式．(2)已知在数列中，a1＝2，an＋1＝2an＋32n，则an＝________.【套路总结】使用条件：型如（其中为常数，且）解题模板：第一步 假设将递推公式改写为an＋1＋t＝p(an＋t)； 第二步 由待定系数法，解得； 第三步 写出数列的通项公式； 第四步 写出数列通项公式.【举一反三】1.已知数列满足an＝an－1＋2，a1＝1，求数列的通项公式．2．已知在数列中，a1＝，an＋1＝an＋n＋1，则an＝________.【运用套路】---纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行1．若数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.2.已知在正项数列{an}中，Sn表示前n项和且2＝an＋1，则an＝________.3．已知a1＝3，an＋1＝an(n≥1，n∈N*)，则an＝________.4．已知在数列中，a1＝，an＋1＝an＋，则an＝____________.5．在数列{an}中，若a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an＝________.6．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和满足Sn>1，且6Sn＝(an＋1)(an＋2)，n∈N*，则数列{an}的通项公式为____________．7．已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＋Sn＝n，则数列{an}的通项公式为____________．8．设数列{an}的前n项和为Sn，已知4an－2n＝3Sn，则an＝________.9.已知a1＝2，a2＝4，数列{bn}满足：bn＋1＝2bn＋2且an＋1－an＝bn.(1)求证：数列{bn＋2}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．10．已知Sn是数列{an}的前n项和，数列{an}满足1a1+12⋅a2+122⋅a3+...+12n-1⋅an=2n(n∈N*)，则Sn=__________．11.设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1=2，对任意n∈N*，都有2Sn=（n+1）an，求数列{an}的通项公式。

12．已知a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝9－6n，求数列{an}的通项公式． 13．已知在数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an.(1)求a2，a3；(2)求{an}的通项公式．14．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝，n∈N*.(1)令bn＝an＋1－an，证明：{bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．8三教上人（A+版-Applicable Achives）。