用代数式表示变化规律.docx

探究一：用代数式表示变化规律用代数式把一列变化着的式或图形的规律表示出来，是探究性题目中很重要的一类，现在我们来研究解决这类题目所 用到的主要数学思想和思考方法：它们是：I、以归纳概括为指导的思考方法；ii、以函数思想为指导的方法；m、以直接计算为指导的方法一、借助以归纳为指导的思想方法，得到表示变化规律的代数式这种思想方法的核心是通过分析与研究提供的“变化片断”一一一些连续的特殊情况，归纳概括出整个变化过程所体现的规律，并用代数式将其表示出来，在实际运用中，又根据题目的实际情况，可分为三种形式：“一般归纳型”；“分类归纳型”；“递推归纳型”1、一般归纳型思考特点是：第一，系统考察所提供的一系列特殊，从每个特殊与其位次的对应关系上找共同的规律，第二， 特别注意研究相邻两项之间的相关性例1 如图，下列几何体是由棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜色（底面 不涂色），则第n个几何体中只有两个面涂色的小立方体共有 观察与思考】我们把上面各图中满足“只有两个面涂色的立方体”用涂色法表示出来:4x 3 + 4x 2 ……第n 个： 4n + 4(n -1)下上・・.上面面面面一层一层两层一层解:应选8n - 4.-下面三层上面一层卞面〃层上面一层例2 如图，是用火柴棒摆出的一系列三角形图案共需要摆.根火柴棒.,按这种方式摆下去，当每边上摆10根火柴棒时,10 根―-、1。

根Z ¥ MA 八/ \ 十 ％ / 1L 些 丫——-10根【观察与思考】本题可以归结为在相应图形中求有多少个涂色的小三角形（所用火柴棒数就等于这样的三角形数再乘 以3）.为了找到规律，可以将每边4根火柴棒的情况也画出：(10)]个钉子所得到的不同长度值的线段种数:涂色三角形 1 1 + 2 = 3 1 + 2 + 3 = 6 1 + 2 + 3 + 4 = 10 …归纳概括：1 + 2 + 3... +10 = 55的个数：55 x 3 = 165解:应填165 .【说明】例1和例2,都是统一系列变化的“图形”，首先是要分离出符合要求的部分，使问题简化与明晰化， 然后依次观察、对比，找出共同的规律来例3世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示：则排在第10行从左边数第3个位置上的数是（ ）A、上 B、上 C、上 D、上132 360 495 660【观察与思考】仔细分析与研究后可以发现：（1）每一行左数从第一个数为该行的倒数； _ 一、1 1 1 一 一、（2）每行中间及偏左的数，都等于它左上角的数减去它左边的数，如第 3行中，丁 =;-：，如第7行中，6 2 31 1 1 1 1 1 1 1 1= -，……依（1）和（2）可知：第9行左数第2个数为6 — ; = f ；第10行左数第2个数为一不=-，105 30 42 8 7 72 9 10 90〜，―…，…111第10仃左数第3个数应为■—/匕— =901617360 -11 12 2 11 1 13 6 31 £ £ 14 仍 仍41££115 20 20 5££11130 60 60 30 61 1 1 11142 105 140 105 42 7解：应选B。

说明】在本题，研究’'系统”和“研究”相互间的关系“体现得极为突出例4 探索nx n的正方形钉子板上（n是钉子板每边上的钉子数）），连接彳当n = 2时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1与克，所以不同长度值的线段只有2种，若用S表示不同长度值的线段种数则S = 2;当n = 3时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1f 2,2, 3,2巨五种，比n = 2时增加了 3 种，即 S = 2 + 3 = 51) 观察图形，填写下表:钉子数（n x n）2 x 23 x 34 x 45 x 5S值22+32+3+ （ ）（ ）(2) 写出(n -1) x (n -1)和(nx n)的两个钉子板上，不同长度值的线段种数之间的关系；(用式子或语言表述均可)3) 对(n x n)的钉子板，写出用n表示S的代数式观察与思考】当n = 4时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1^;2,2^-;5,^/2这些是n = 3时已有的)， 3,略10,.\；互3.技2 (新增加的)一一即左下角的钉子分别和最上一行四个钉子的所连线段的长一一(第一层归纳)； n = 3时比n = 2时多出3个种数；n = 4时比n = 3时多出4个种数; (n x n)时比(n -1) x (n -1)时多出n个种数;——(第二层归纳).有了以上两个层次的归纳概括，三个问题的解都已是水到渠成.解：(1)两个括号内应分别埴：4; 2+3+4+5;(2) (n x n)的钉子板比(n -1) x (n -1)的钉子板中不同长度值的线段种数增加了n种；(3) S = 2 + 3 + 4 + + n.2、分类归纳型思考特点是：第一，先根据背景与问题的特点，选定标准并按其分类；第二，将问题按所属类别做出解答。

例5 观察下列等式：21= 2, 22 = 4， 23 = 8，24 = 16，25 = 32，26 = 64，2 = 128,……通过观察，用你所发现的规律确定2 2008的个位数字是观察与思考】将题目提供的一列数字按“个位数”的情况重新分类：个位数字2的乘方221,25…归纳概括为24n+1( n为自然数，下同)422,26…归纳概括为24 n+2623,27...归纳概括为24n+3824,28...归纳概括为24n+4而22008 = 24x502，个位数字应为6解：22008个位数应为6例 6 如图，已知 A (1,0), A (1,1), A (-1,1)，A (-1,_1), A (2,-1)，…，则点 A 和点 A 的坐标1 2 3 4 5 2007 2008分别为【观察与思考】要求点的坐标，一般分两步考虑：第一步先确定该点在哪一个象限；第二步确定该点到两坐标轴的距 离，对本题我们也可以从这两步来研究rH步，可以看出除了点A1外，其他各点均在象限内4-A，10按象限分类:所在象限-3-2Af 2A ，A9A , A , A ...归纳概括为A2 6 10 ，4n+2（"为自然数）A , A , A ...归纳概括为A3 7 11 4n+3A , A , A ...归纳概括为A4 8 12 4 n由 2007 = 4 x 501 + 3, 2008 = 4 x 502%气,归纳概括为A4 n+1可知A2007 5二象限，A2008在第三象限。

第二步，从题目提供的坐标系里的图示看出：（1） 第一、二、三、象限内各点横、纵坐标的绝对值是相等的;（2） 就坐标的绝对值来说，又是这样对应的：点八、、A1 〜A4A5 ~ A8A9 〜A12…归纳概括为A4 n+1 气(n+1)坐标的绝对值 1由2007 = 4 x 501 + 3,知其坐标的绝对值应为501 +1 = 502 ；由2008 = 4 x 502，知其坐标的绝对值应为502；将第一步和第二步结合，可得A2007和%的坐标解：、07的坐标为（-502,502），命的坐标为（-502,-502）说明】由以上两题的思考过程可以看出：归纳概括是一个积极的活动过程，要观察、要重新分类（分类也是找共性）， 以便从中获得概括化的规律为了充分展开相应的思考过程，我们特别用列表法表示分类，而在实际解题中，具体的 做法就可以简缩3、递推归纳型思考特点：找到由前一项（或前几项）表示该项的规律这样，只要知道第一项（或前几项），就可以逐个地将随 后的项推出—UCD、CD例7 下面是某种细胞分裂示意图，这种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个，根据此项规律可得：（1） 这样的一个细胞经过第四个30分钟后分裂成 个细胞；（2） 这样的一个细胞经过3个小时后可分裂成 个细胞；（3） ）这样的一个细胞经过n（ n为正整数）小时后要分裂成 个细胞； 【观察与思考】如果假设，由1个细胞开始，经过m次分裂后细胞数记为々，且记P0 = 1,依题意有P = 1, P = P -2 = 2, P = P x 2 = 22, P = P - 2 = 23, m次分裂后细胞数为2m，所以本题的结果为：0 1 0 2 1 3 2解：（1）24 = 16; （2）26 = 64 ； （3）2 2n【说明】本题当中Pm+1 = Pm - 2，即每经过一次分裂，新的细胞数都是前一次分裂后细胞数的2倍。

就是一种“递推”关系，P可由P求得，P可由P，等等2 1 3 2不少变化规律就是刻画这种递推关系的，对于这类问题的思考和解决，要点有两条：第一条，第一项等于什么？要搞 清楚；第二条，由第一项怎样推得第二项的？由第二项怎样推得第三项的？即把“递推关系”搞清楚，有了这两条， 整个问题便解决了例8 如图（1），在RtAABC中，ZC = 90°,BC = 1, AC = 2，把边长分别为x ,x ,x , ，x的n个正方形1 2 3 n依次放入AABC中，请回答下列问题：（1）按要求填表：n 1 2 3xn（2）第n个正方形的边长x =n【观察与思考】如图（「），设BC=x0，则x0=1，相当于搞清楚第一项；由血山阡1 s Ry ,得BC —1~1 AC 1而B]C]=气，Aq = AC -气，1=2,解得x12=—,即 x3 12 （ 2 V 完全类似地可得x 2 =气•孑=13搞清楚了递推关系2)(1')，…2 4 8解：(1)依次应填3,§ ； 27 ；例9 数字解密：第一个数是3 = 2 +1,第二个数是5 = 3 + 2 ,第三个是9 = 5 + 4 ,第四个数是17 = 9 + 8 , 按此规律观察并猜想第六个数。

观察与思考】本题解法获得的关键是从提供的数据中，借助于归纳得到递推规律：后一个数=前一个数+ (前一个 数一1)，如第二个数=第一个数+ (第一个数一1)，而第一个数是3,所以第二个数是3 + 2 = 5，......如此等等 找到这个递推关系，很容易有第五个数=17 +16 = 33，第六个数=33 + 32 = 65 解：应填65说明】在本题，递推关系是通过观察，由归纳概括得到的，这种形式也应引起我们的重视例10 将正六边形纸片按下列要求分割(每次分割，纸片均不得有剩余)：第一次分割：将正六边形纸片分割成三 个全等的菱形，然后选取其中一个菱形再分割成一个正六边形和两个全等的正三角形；第二次分割：将第一次分割后 所得的正六边形纸片分割成三个全等的菱形；然后选取其中一个菱形再分割成一个正六边形和两个全等的正三角形 按上述分割方法进行下去……(1) 请你在图(1)中画出第一次分割的示意图；(2) 若原正六边形的面积。