初升高数学衔接班第3讲——因式分解.docx

初升高数学衔接班第3讲——因式分解一、学习目标：1、掌握因式分解的常用方法：乘法公式法（立方和及立方差公式）、分组分解法、十字相乘法2、了解换元、添项拆项分解因式的方法3、能够灵活运用上述方法进行因式分解变形二、学习重点：分解因式的常见方法三、课程精讲：1、知识回顾：（1）a2－b2＝（a＋b）（a－b）；（2）a2±2ab＋b2＝（a±b）22、新知探秘：如何将8＋x3分解因式呢？知识点一：运用乘法公式法（立方和立方差公式） a3＋b3＝（a＋b）（a2－ab＋b2）；a3－b3＝（a－b）（a2＋ab＋b2）. 两个数的立方和（差），等于这两个数的和（差）乘以它们的平方之和与它们积的差（和） 例1. 用立方和或立方差公式分解下列各多项式： （1）8+x3 （2）0.125-27b3思路导航：（1）中，8=23，（2）中0.125=0.53,27b3=(3b)3解：（1）8+x3=23+x3=(2+x)(4-2x+x2) （2）0.125-27b3=0.53-(3b)3=(0.5-3b)[0.52+0.5×3b+(3b)2] =(0.5-3b)(0.25+1.5b+9b2)点津：（1）在运用立方和（差）公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如8a3b3=(2ab)3，这里逆用了法则(ab)n=anbn；（2）在运用立方和（差）公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号。

例2. 因式分解：3a3b-81b4思路导航：原式中多项式为两项式，观察有公因式3b，应先提取公因式，再进一步分解；解：3a3b-81b4=3b(a3-27b3)=3b(a-3b)(a2+3ab+9b2). 仿练： a7-ab6 思路导航：原式中提取公因式后，括号内出现a6-b6，可看作是(a3)2-(b3)2或(a2)3-(b2)3解：a7-ab6=a(a6-b6)=a(a3+b3)(a3-b3) =a(a+b)(a2-ab+b2)(a-b)(a2+ab+b2)=a(a+b)(a-b)(a2+ab+b2)(a2-ab+b2)点津：在进行多项式分解时，如果各项中有公因式，那么应先提取公因式知识点二：分组分解法从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式而对于四项以上的多项式，如ma+mb+na+nb 既没有公式可用，也没有公因式可以提取因此，可以先将多项式分组处理这种利用分组来进行因式分解的方法叫做分组分解法/分组分解法的关键在于如何分组1、分组后能提取公因式例3. 把2ax-10ay+5by-bx分解因式思路导航：把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x的降幂排列，然后从两组分别提取公因式2a与-b，这时另一个因式正好都是x-5y，这样可以继续提取公因式。

解：2ax-10ay+5by-bx=2a(x-5y)-b(x-5y)=(x-5y)(2a-b)点津：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法本题也可以将一、四项分为一组，二、三项分为一组，同学们不妨一试 例4. 把ab(c2-d2)-(a2-b2)cd分解因式思路导航：若按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式解：ab(c2-d2)-(a2-b2)cd=abc2-abd2-a2cd+b2cd =(abc2-a2cd)+(b2cd-abd2) =ac(bc-ad)+bd(bc-ad)=(bc-ad)(ac+bd)点津：由例3、例4可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用2、分组后能直接运用公式例5. 把x2-y2+ax+ay分解因式思路导航：把第一、二项分为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式，其中一个因式是x+y；把第三、四项作为另一组，在提取公因式a后，另一个因式也是x+y解：x2-y2+ax+ay=(x+y)(x-y)+a(x+y)=(x+y)(x-y+a) 仿练：把2x2+4xy+2y2-8z2分解因式。

思路导航：先将系数2提取后，得到x2+2xy+y2-4z2，其中前三项作为一组，它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式解：2x2+4xy+2y2-8z2=2(x2+2xy+y2-4z2) =2[(x+y)2-(2z)2]=2(x+y+2z)(x+y-2z)点津：从例5可以看出：如果一个多项式的项分组后，各组都能直接运用公式或提取公因式进行分解，并且各组在分解后，它们之间又能运用公式或提取公因式，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式知识点三：十字相乘法1、型的因式分解 x2+(p+q)x+pq=x2+px+qx+pq=x(x+p)+q(x+p)=(x+p)(x+q)例6. 分解因式：把下列各式分解因式： （1）x2-7x+6 （2）x2+13x+36思路导航：利用上述公式解：（1）∵ 6=(-1)×(-6),(-1)+(-6)=-7 ∴ x2-7x+6=[x+(-1)][x+(-6)]=(x-1)(x-6) （2）∵ 36=4×9,4+9=13 ∴ x2+13x+36=(x+4)(x+9)点津：此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项相同。

例7. 把下列各式分解因式： （1）x2+5x-24 （2）x2-2x-15思路导航：利用上述公式解：（1）∵ -24=(-3)×8,(-3)+8=5 ∴ x2+5x-24=[x+(-3)](x+8)=(x-3)(x+8) （2）∵ -15=(-5)×3,(-5)+3=-2 ∴ x2-2x-15=[x+(-5)](x+3)=(x-5)(x+3)点津：由此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同例8. 把下列各式因式分解： （1）x2+xy-6y2 （2）(x2+x)2-8(x2+x)+12 思路导航：（1）把x2+xy-6y2看成x的二次三项式，这时常数项是-6y2，一次项系数是y，把-6y2分解成3y与-2y的积，而3y+(-2y)=y，正好是一次项系数 （2）由换元思想，只要把x2+x整体看作一个字母a，可不必写出，只当作分解二次三项式a2-8a+12解：（1）x2+xy-6y2=x2+yx-6y2=(x+3y)(x-2y) （2）(x2+x)2-8(x2+x)+12=(x2+x-6)(x2+x-2) =(x+3)(x-2)(x+2)(x-1) 点津：“换元”的方法是高中数学中一个常见的解题技巧，要注意体会2、一般二次三项式的分解因式大家知道，(a1x+c1)(a2x+c2)=a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2。

反过来，就可得到：我们发现，二次项系数a分解成a1a2，常数项c分解成c1c2，把a1,a2,c1,c2写成，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到a1c2+a2c1，那么ax2+bx+c就可以分解成(a1x+c1)(a2x+c2). 这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法例9. 分解因式：（1）12x2-5x-2 （2）5x2+6xy-8y2思路导航：（1） （2） 解：（1）12x2-5x-2=(3x-2)(4x+1)（2）5x2+6xy-8y2=(x+2y)(5x-4y)仿练：分解因式： （1）x2－3x＋2； （2）x2＋4x－12； （3）x2-(a+b)xy+aby2； （4）xy-1+x-y. 解：（1）如图1，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是x2－3x＋2中的一次项，所以，有x2－3x＋2＝（x－1）（x－2）2）由图2，得x2＋4x－12＝（x－2）（x＋6） （3）由图3，得 x2-(a+b)xy+aby2＝(x-ay)(x-by)（4）xy-1+x-y＝xy＋（x－y）－1＝（x－1）（y＋1）（如图4所示）图4点津：用十字相乘法分解二次三项式很重要。

当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法“凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法“凑”，先“凑”绝对值，然后调整，添加正、负号知识点四：配方法例10. 分解因式：(1)x2+6x-16 (2)x2+4xy-4y2解：（1）x2+6x-16=(x+3)2-52=(x+8)(x-2)（2）x2+4xy-4y2=(x2+4xy+4y2)-8y2=(x+2y)2-8y2=(x+2y+22y)(x+2y-22y)这种设法配成含有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解因式直击高中】（1）换元法例11. 分解因式(x2-5x+2)(x2-5x+4)-24思路导航：将x2-5x看作y，进行换元解：原式＝(y+2)(y+4)-24=y2+6y-16＝(y-2)(y+8) 所以，原式＝(x2-5x-2)(x2-5x+8)=(x-5+332)(x-5-332)(x2-5x+8)点津：将x2-5x看作y，分解y2+6y-16，再把y＝x2-5x代入，即得原式的分解式，这种因式分解的方法叫做换元法。

2）拆、添项法例12. 分解因式x3-3x2+4 思路导航：此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行细查此式中无一次项，如果它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为0了，可考虑通过添项或拆项解决解：x3-3x2+4=(x3+1)-(3x2-3)=(x+1)(x2-x+1)-3(x+1)(x-1)=(x+1)[(x2-x+1)-3(x-1)]=(x+1)(x2-4x+4)=(x+1)(x-2)2点津：本解法把原常数4拆成1与3的和，将多项式分成两组，满足系数对应成比例，造成可以用公式法及提取公因式法的条件本题还可以将-3x2拆成x2-4x2，将多项式分成两组(x3+x2)和-4x2+4. 四、知识提炼一般地，因式分解，可按下列步骤进行：（1）如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式；（2）如果各项没有公因式，那么可以运用公式法或分组分解法或其他方法（如十字相乘法）来分解因式；（3）因式分解必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止五、目标期望 因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反的变形在分式运算、解方程以及各种恒等变形中它都有着重要的应用。

通过本节课的学习，让学生了解、认识因式分解时的常用方法，特别是要熟练掌握对系数不为“1”的二次三项式形式的代数式分解因式，以便在后续阶段对方程、函数、不等式的学习时，提高学生恒等变形的能力六、下讲预告 下节课我们将学习一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系所包含的知识，在高中数学的二次函数、不等式以及解析几何等内容中都有着广泛的应用。