高数II-B-复习题-2.doc

高等数学II-B复习题集目录第五章1. 定积分计算（几何意义（面积代数和）、性质、公式、换元、分部）2. 应用：面积、体积3. 反常积分第六章1. 可分离微分方程2. 一阶线性微分方程3. 二阶常系数齐次方程4. 二阶常系数非齐次方程特解形式第七章1. 向量的数量积和向量积2. 空间直线和平面方程、旋转曲面方程、3. 夹角第八章1. 二元函数定义域和极限2. 二元函数和复合函数的偏导数、全微分及应用、二阶偏导数3. 空间曲线的切线和法平面方程、空间曲面的切平面和法线方程4. 二元函数极值第九章1. 二重积分的几何意义、性质及二重积分计算(直角坐标和极坐标系)2. 两种积分顺序转换第十章1. 级数敛散性的鉴别、性质，2. 幂级数收敛半径、收敛区间和收敛域、和函数3. 将函数展开成幂级数第五章重要内容1. 定积分计算（几何意义（面积代数和）、性质、公式、换元、分部）积分上限函数求导公式 牛顿--莱布尼茨公式 如果函数F (x)是持续函数f (x) 在区间[a, b]上的一种原函数, 则 换元积分法 假设函数f(x)在区间[a, b]上持续, 函数x=j(t)满足条件: (1)j(a )=a , j(b)=b; (2)j(t)在[a, b](或[b, a])上具有持续导数, 且其值域不越出[a, b], 则有 . 分部积分法 , 或.2. 应用： 一、平面图形的面积 1．直角坐标情形 . . 2．极坐标情形 . 二、体 积 1．旋转体的体积1) 由持续曲线y=f (x)、直线x=a 、x=b 及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体. . 2) 由持续曲线x=g(y)、直线y=c 、y=d 及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体. 2．平行截面面积为已知的立体的体积 设立体在x轴的投影区间为[a, b], 过点x 且垂直于x轴的平面与立体相截, 截面面积为A(x), 则体积元素为A(x)dx , 立体的体积为 . 3. 反常积 . . 运用几何意义计算1. 2. 3. 4. 5. 基本公式1. 2. 3. 4. 5. 6. 换元法1. 2. 3. 4. 分部1. 2. 3. 4. 5. 求导1. 2. 3. 4.求极限1. 2. 3. 4.证明1. 2. 3. 设在持续, 证明 面积: 1. 计算由 及 所围成的图形的面积. 2. 计算由 及 所围成的图形的面积. 3. 计算由 及 所围成的图形的面积. 4. 计算由 及 所围成的图形的面积. 5. 计算由 及 所围成的图形的面积. 6. 计算由 与轴所围成的图形的面积. 7. 计算由 所围成的图形的面积. 体积1. 计算由 及 所围成的图形绕轴所得旋转体体积. 2. 计算由 所围成的图形绕轴所得旋转体体积. 3. 计算由, 及 所围成的图形绕轴所得旋转体体积. 4. 计算由, 及 所围成的图形绕轴所得旋转体体积. 弧长1. 计算 的一拱 的长度. 反常积分1. 2. 3. 4. 5. 证明1. 当时收敛, 当时发散. 2. 当时收敛, 当时发散. 综合1. 设, 求. 2. 设, 求. 3. 设, 求. 第六章内容要点 定理3 设二阶非齐次方程4)的右端是几种函数之和, 如 而与分别是方程, 的特解, 那么就是原方程4)的特解.1求通解(可分离变量)1) 2) 3) 4) 2求通解或特解(一阶线性) 3求通解或特解(二阶) 2) 3) 9) 10) 4 求特解1) 的待定特解= .2) 的一种特解形式是 .3) 的一种特解形式是 .4) 已知是某个二阶常系数齐次线性方程的两个解, 则该方程为 5. 设可导, 则满足, 求 . 第七章内容要点1. 向量的数量积和向量积设有点A (x1, y1, z1)、B(x2, y2, z2), 则 =(x2, y2, z2)-(x1, y1, z1)=(x2-x1, y2-y1, z2-z1), 于是点A与点B间的距离为 . 设a=(ax, ay, az)¹0, b=(bx, by, bz), 数量积: a·b=|a| |b| cosq =axbx+ayby+azbz . a^b Û a·b =0. 向量积：c = . c的模 |c|=|a||b|sin q , 其中q 为a与b间的夹角; c的方向垂直于a与b所决定的平面,a//b Û a´b = 0. 2. 空间直线和平面方程、旋转曲面方程、当平面P上一点M0 (x0, y0, z0)和它的一种法线向量n=(A, B, C)为已知时, 平面方程为 A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0. 当直线L上一点M 0(x0, y0, x0)和它的一方向向量s = (m, n, p)为已知时,直线方程为 3. 夹角两平面的夹角两直线的夹角 直线与平面的夹角一、选择1. 设向量 则与的夹角为( )。

A. 0； B. ； C. ； D. 2. 已知,则它们夹角为( ) A. B. C. D. 3. 直线与平面的夹角为( ) A. B. C. D. 4. 向量与平行, 则分别为 ( ). A. 3和5; B. 3和-5; C. -3和5; D. -3和-5.二、 填空1. 直线与平面的交点为 2. 点到平面的距离为 3. 曲线 绕轴旋转所成的旋转曲面方程为 . 4. 过点且平行于的平面方程为 5. 过点且垂直于的直线方程为 三、求解 1. 已知 求直线的方程2. 已知， 求该直线的对称式方程及参数方程3. 求过点且与直线平行的直线方程4. 求过点的平面方程5. 求过点且与直线垂直的平面方程 6. 求过点与直线的平面方程。

第八章复习要点1. 二元函数定义域和极限 持续：函数f (x, y)在点P0(x0, y0)持续 2. 二元函数和复合函数的偏导数、全微分及应用、二阶偏导数、二元函数极值应用偏导： 高阶偏导： , , , .全微分： 近似计算： Dz »dz= f x (x, y)Dx+f y (x, y)Dy , 即 f (x+Dx, y+Dy) » f(x, y)+f x (x, y)Dx+f y (x, y)Dy .复合：代入或用如下公式1. z=f(u, v) ， u=j(t)及v=y(t) 2. z=f(u, v)，u=j(x, y), v=y(x, y) ，隐函数：F(x, y)=0 F(x, y, z)=0 3. 空间曲线的切线和法平面方程、空间曲面的切平面和法线方程 1 空间曲线： x=j(t), y=y(t), z=w(t)切线方程为 .法平面方程为 j¢(t0)(x-x0)+y¢(t0)(y-y0)+w¢(t0)(z-z0)=0. 2 空间曲面： F(x, y, z)=0, 切平面的方程 Fx(x0, y0, z0)(x-x0)+Fy(x0, y0, z0)(y-y0)+Fz(x0, y0, z0)(z-z0)=0. 法线: 4. 二元函数极值定理1(必要条件) 设函数z=f(x, y)在点(x0, y0)具有偏导数, 且在点(x0, y0)处有极值, 则有 fx(x0, y0)=0, fy(x0, y0)=0. 定理2(充足条件) 设函数z=f(x, y)在点(x0, y0)的某邻域内持续且有一阶及二阶持续偏导数, 又fx(x0, y0)=0, fy(x0, y0)=0, 令fxx(x0, y0)=A, fxy(x0, y0)=B, fyy(x0, y0)=C, 则f (x, y)在(x0, y0)处与否获得极值的条件如下: (1) AC-B2>0时具有极值, 且当A<0时有极大值, 当A>0时有极小值; (2) AC-B2<0时没有极值; (3) AC-B。