《实变函数与泛函分析基础》第二版-程其襄--第十章答案--答案剖析(共16页).doc

精选优质文档-----倾情为你奉上第十章 巴拿赫(Banach)空间中的基本定理1. 设X是赋范线性空间，是X中个线性无关向量，是一组数，证明：在X上存在满足下列两条件：（1）, (2) 的线性连续泛函的充要条件为：对任何数， 都成立证明 必要性若线性连续泛函满足（1）和（2），则充分性若对任意数，有令为张成的线性子空间对任意，定义上线性泛函：因，故是有界的，且由泛函延拓定理，存在X上的线性连续泛函，使限制在上就是显然满足条件（1）和（2）2．设X是赋范线性空间，Z是X的线性子空间，，又，证明存在，满足条件： 1）当时，； 2） ； 3） 证明 记在M上定义泛函：，则以下三条件成立： 1）当时，； 2）； 3）在M上有界，且其中3）可以这样证明：若，则 ，所以又对任意，由的任意性，我们得到又，这样我们就证明了3． 证明：无限维赋范线性空间的共轭空间也是无限维的证明 设是X中一列线性无关向量因是线性无关的因此由习题2，存在，使, 在为零, .以下我们来证明是中线性无关的向量.事实上,若有,使. ,则.这样由于,，必有,因,所以类似可证, ，从而，。

这样我们证明了中有无限多个线性无关的向量,因此是无限维的.证毕.4. 证明Bananch空间X自反的充要条件是自反.证明 若X是banach空间,则存在一个从X到的自然的等距同构映射, .若,则称X是自反的其中是这样定义的, 若,,.为方便起见,记X到的自然的等距同构映射为，到的自然的等距同构映射为我们要证明的充要条件为.若.对任意,定义：若，对任意，因,因此这就证明了反之,若,而则存在,使F在上恒为零，而必有，使对任意,这样但,矛盾因此必有 证毕5．设是一列数，证明存在[a ,b]上有界变差数列，使，成立的充要条件为对一切多项式 成立着 其中M为常数证明 充分性 在C[a ,b]的线性子空间上定义线性泛函f： 由条件，可知f在上是有界的因为在C[a ,b]上稠密，所以可将f连续的延拓到C[a ,b]上（不妨仍记为f），这样f是C[a ,b]上连续线性泛函，且，由Riesz表示定理，存在有界变差函数g，使特别的 必要性若存在有界变差函数，使定义C[a ,b]上的有界线性泛函则对每一多项式，有 取6．设T为中单向移位算子，即若，则，求。

解 若，，则，且，所以7．举例说明一致有界性定理中空间X完备的条件不能去掉解 设X为的线性子空间，的充分且必要条件是除去有限多个外其余皆为零若，定义X到X的线性映射 则对任一，当时，有，因此以上例子说明一致有界性定理中X的完备性条件不能去掉8．证明 ：在完备度量空间X中成立闭球套定力，即若 且 ， 则存在唯一的；反之，若在度量空间X中成立闭球套定理，则X是完备度量空间 证明 设X是完备的度量空间，为一列闭球套： 若，对任给，存在N，当时，，因此当时，所以是柯西列因为当时，，又是闭集，下面证明若，则 这样必有反之，若X满足闭球套定理，是柯西列则存在，当时，，记存在，当时，，记-------存在，当时，记这样得到一列闭球，对任意k和任意，有所以，即 于是，由假设存在，且因为为柯西列，，则必有因此X必为完备度量空间9．设是一列复数，若对任何，级数都收敛，证明：，其中的定义见第八章题9证明 对每一个n，定义因为所以，且设满足，则，则这就证明了由题设条件，对任意，收敛，从而有界由一致有界性定理，有界，设，即10．设是[a ,b]上的L可测函数，，若对一切，函数都在[a, b]上L可积，则，其中。

证明 令 则显然为上有界的可测函数若，定义上泛函则是上的有界线性泛函，且又因为，由勒贝格控制收敛定理，由一致有界性定理，存在，使，即，因为，由Levi定理11． 证明引理：设X是Banach空间，p(x) 是X上泛函，满足条件：1）；2）时，；3）；4）当时，证明必有M>0，使对一切，成立证明 先证对任意M>0，是X中闭集事实上，若，且，则，所以，因此是闭集由Baire纲定理，存在某，使在某一小球中稠密因为是闭集，则对X中任意一点，和在O中，所以这样取，则12． 设，其中X是Banach空间，Y是赋泛线性空间，若对每个，都收敛，令，证明T是X到Y中有界线性算子，并且证明 因为对每个，收敛，从而有界由一致有界性定理，存在M>0，若定义，则显然T是线性的，且，所以T是有界的，且，证毕13．设X是可分Bananch空间，M是中有界集，证明M中每个点列含有一个弱*收敛子列证明 设，存在K>0，，，设是X的可数稠密子集考察有界数列由Weierstrass定理，存在收敛子列同理也有收敛子列一般的，若已有子列收敛，考察由于数列的有界性可找到收敛子列我们用对角线法则，取泛函列，在稠密子集点点收敛。

事实上，由定义，对任意i，是收敛的，而是的子列，因此也是收敛的，因此在上点点收敛由本章5定理1，弱*收敛14． 证明：空间C[a, b]中点列弱收敛于得充要条件是存在常数M，使得，，并且对任何，成立证明 充分性若存在M>0，使，且对任何成立则设f是C[a, b]上任一有界线性泛函由本章2的Riesz表示定理，存在有界变差函数g，使因为，由勒贝格控制收敛定理，即因此弱收敛于设弱收敛于因为弱收敛点列必为有界列，因此存在M>0，使，对任一，定义C[a, b]上泛函因，所以是C[a, b]上有界线性泛函弱收敛于，即，可推得15．设X是赋范线性空间，M为X的闭子空间，若M中点列，当时弱收敛于，那么必有证明 若，则，由第2题，存在，满足条件：1） f在M上恒为0；2） ；3） 由于，所以，因此，此与矛盾16．证明：中点列，弱收敛于的充要条件为，且对每个k，证明 充分性对任一，设对任意，确定，使 然后确定 N，使n>N时，有，这样， 因此弱收敛于x若弱收敛于x，则由一致收敛定理，对任一k，令，其中1在第k个位置，则，且，因，所以， 证毕。

17．设X是线性空间，和是X上两个范数，若X按及都完备，并且由点列按收敛于0，必有按也收敛于0，证明存在正数a和b，使证明 定义Banach空间到Banach空间的线性映射T：对任意，由题设T在原点是连续的若按收敛于，则，则由题设条件，这说明T在任一非零点也连续，因此T是有界的又T是到上的一对一的映射，由逆算子定理，也是有界的 证毕18． 设T是Banach空间X到赋范线性空间F中的线性算子，令，证明：总有在X中稠密证明 因为，X又是第二纲集，所以必有在某一球内稠密对于任一，和都在中，所以存在，使，不妨设，，其中于是，即选取，则这样，我们证明了，对任意，可找到一列，使，即在X中稠密 证毕19． 用闭图像定理证明逆算子定理证明 设T 为Banach空间X到Banach空间Y上的一对一的有界线性算子的图像，若，则设，则，因为T是连续的，所以，即于是我们证明了在YX中是闭集，故是闭算子再由闭图像定理，是有界的，证毕20． 设A及B是定义在Hilbert空间X上的两个线性算子，满足，其中x,y为X中任意向量，证明A是有界算子证明 设，，则对任意，有因此对任何都成立，此说明这样A是定义在全空间X上的闭算子，由闭图像定理，A有界。

证毕21．设T是定义在Hilbert空间X上的有界线性算子，若存在常数使，则称T为正定的证明：正定算子必有有界逆算子，并且证明 对任意，为实数，由第九章5定理1得又由于，因此若，则，从而这样T又是一对一的由第九章习题11，，所以T的值域是稠密的对任意，存在，使这样是X中的柯西列因此当时，又，因此是X中柯西列因此，T是Hilbert空间X上的一一到上的有界线性算子，由逆算子定理，T有有界逆算子 因为对任意，，因此对任意，，即因此，从而由x的任意性得专心---专注---专业。