小学数学六年级拓展讲义（完）第3讲计数综合一.doc

计数综合(一)一一教师版【例题讲解】1、从1〜100中有多少个数字？有多少个数字5?有多少个数是5的倍数? 【解析】把1〜100按照数位来分类：一位数：1〜9共9个数字二位数：10〜99共90个数，180个数字三位数：100共3个数字，所以总共有180+9+3=192个数字一位数：5,只有一个数字5二位数：个位是5的：15, 25, 35, 45, 55,・・・95共10个十位是5的：50, 51……59,共10个三位数：0个，所以总共有10+10=20个1〜100这100个数每5个数字就会出现一个5的倍数，所以1004-5=20个,所以有20个5的倍数2、一个自然数，如果它正着数和倒着数都一样我们称之为回文数，例如1331, 7, 202,都是回文数, 而200则不是回文数，问：1位到6位的回文数-共有多少个，按从小到大排列，第2000个回文数是 多少？【解析】这些数的范围1〜999999这999999个数按位数來分类：一位数：1〜9共9个回文数二位数：11, 22, 33, 44, 55,……99共9个回文数三位数：1口1, 2口2,…9口9,共9大类，其中每个方框内的数字可以是0〜9这10个数字，所以三 位数回文数有9 X 10=90个。

四位数：1口口1, 2口口2,・・・9口口9,共有9X10=90个五位数：1口口1, 2口0口2・・・9口0口9 共 9X 10X10=900 个六位数：1口00口1, 200002,…9口00口9共9 X 10X 10=900个所以总共有 9+9+90+90+900+900= 1998 个回文数笫2000个冋文数是七位回文数的第二个数字：1001001 o分子小于6,分母小于60的不可约真分数有多少个？［解析］分子的取值范围是从1到5.当分子为1时，分母可从2到59,共有58个真分数，它们当然都是不可约分数.由于2, 3, 5都是质数，因此当分子分别为2, 3, 5时，分母必须而且只需适合下列二个条件：①分母大于分子且小于60.②分母不是分子的倍数.经过简单的计算可以知道：当分子为2吋，适合条件的分母有29个；当分子为3时，适合条件的分母有38个；当分数为5时，适合条件的分母有44个；最后来看分子为4的情形，与分子为2基本相同，分母不能为偶数，此外分母不能为3•所以共有28( =29-1)个.总之，符合要求的分数共有58+29+38+44+28=197个.在1〜3998这3998个自然数中有多少个数字的数字和是4的倍数？【解析】为了方便我们可以把0〜3999这4千个数都看成四位数，不足四位数的再其前面补上0如 18=0018,假设新的四位数为abed其中a=0, 1, 2, 3； b, c, d可以是0~9这10个数字，bed可以 排成10X 10X 10这1000个不同的数，而当bed选定之后，a也就随之确定下來，若：b+c+d=4k时, a=0； b+c+d=4k+l 时，a=3； b+c+d=4k+2 时，a=2« b+c+d=4k+3 时，a=lo所以在0〜3999这4千个数中满足条件的有1000个，而0000这个数是不存在的所以1〜3998中有 1000-1=999个数满足题意。

从19, 20, 21,……97, 98, 99,这81个数中选収两个不同的数，使其和为偶数的选法有多少？【解析】根据奇数+奇数二偶数，偶数+他数二偶数，可知选出的两个数同奇，同偶，19〜99这81个数 中有41个奇数，40个偶数，有组合规律知道：满足条件的数以共有40x39+ = 820 + 780 = 16001x2在1001, 1002……2000这1000个数中可以找到多少对相邻的口然数使他们相加时不发生进位？【解析】我们分三种情况讨论：1) abce, abed (e, d)只能为(5, 4)(3, 2)(1, 0)当(e, d)为(5, 4)(3, 2)(1, 0).b, c 可以为 4, 3, 2, 1, 0 所以共有 3X1X5X5=75 个2) abcO, abg9, c=g+l, b 可为 4, 3, 2, 1, 0； g 可为 4, 3, 2, 1, 0 所以共有 1 X 1X5X5二二25 个 所以满足条件的数有75+25=100个3) abOO, af99, b=f+l (5, 4)(4, 3)(3, 2)(2, 1)(1, 0)(1999, 2000)个,共 106 个各位数字和等于50且能被4整除的6位数有多少个？【解析】六位数的范闱为100000〜999999 Z间共900000个数，其中这些数中数字和最大的数是999999 数字和为54, 乂根据被4整除数的特点可知道，这个6位数末两位数一定能被4整除，且末两位的数 字和不能小于14,所以末两位数可以为68, 88, 96。

当末两位为68时前面四位的数字和为50-14=36,所以这个数只能为999968；当末两位为88时前面四位的数字和为50-16=34,所以这个数可能为999788, 997988, 979988, 799988, 998888, 889988, 898988, 989888, 988988, 899888；当末两位为96时前面四位的数字和为50-15=35,所以这个六位数可以为999888, 998988, 989988, 899988；所以满足条件的六位数有15个已知一个三位数能被45整除，他们各位上的数字各不相同，这样的三位数有多少个？【详解】我们不妨设这个三位数为：abc,因为它能被45整除，1145=5X9,所以它能被5和9整除, 由被5整除的性质可知c为0或5,下面我们来分类讨论一下当个位是0或5吋，都有什么样的数满 足被9整除当个位为0时：a+b+0为9的倍数，故a+b为9的倍数，又因为a、b都为一位数，所以可能是：18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81,这 8 种可能当个位为5时：a+b+5为9的倍数，故a+b为4或13也有如下9种可能：13, 31, 40, 49, 67, 76, 94。

所以这样的三位数一共有8+7=15个从7开始，把7的倍数依次写下去，一直写到994,成为一个很大的数：71421-987994这是个儿位数, 如果从这个数的末位数字开始，往前截取160个数字，剩下的部分的末位数字是多少？【解析】由题意可知 一位数中被7整除的数有］弓］=1个,999_ 7 ._7_两位数中被7整除的有= 14-1 = 13 个,三位数中被7整除的有999~T= 142-13-1 = 128个，所以这个数的位数是1+13X2+128X3=411位7X15=105,刚好是第一个三位数，7X142=994,是最后一个三位数，所以7的倍数三位数的有142-15+1 = 128个，又因为128X3=384〉160,所以截取的数字全部是三位数，160^3=53-1,所以截取的160个数字是53个能被7整除的三位数，多一个数字，而这个最末位数字就是7的142-53=89倍的十位数字，89X7=623,所以剩下部分的末位为2有一些自然数，它们除以7的余数与除以8的商的和等于15求满足这样条件的所有数的和解析】满足条件的数a除以7的余数只有7种可能：0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,若a除以7余0,则a除以8的商为15-0=15, a的范围为120〜127,其中只有126满足除以7余0, 所以126是一个数。

若a除以7余1,则a除以8的商为15-1 = 14, a的范围为112〜119,其中只有113满足除以7余1, 所以113也是一个数同理可知其余满足条件的数依次是:107, 101, 95, 88, 82, 76,故满足条件的所有数的和是788当余数是0, 1, 2, 3, 5, 6时符合条件的数各只有一个，但当余数是4时，符合条件的数却有两个: 88 与 95从1, 2, 3,…，49, 5()个数中，取出若干个数使其中任意两个数的和都不能被7整除，最多可取多 少个数？【解析】把所给的50个数按照除以7的余数分类：余数为0的有7个：7,14,21,28,35,42,49 o余数为1的有8个：1,8,15,22,29,36,43,余数为2的有7个：2,9,16,23,30,37,44,余数为3的有7个：3,10,17,24,31,38,45,余数为4的有7个：4,11,18,25,32,39,36,余数为5的有7个：5,12,19,26,33,40,47,余数为6的有7个：6,13,20,27,34,41,48,要使取出的任意两个数的和都不能被7整除，又要取出的数量最多，余数为0的只能取出一个，余数 为1的和余数为6的只能取出1类，取余数为1的8个，余数为2和3的两类(或余数为4和5的两 类任选其一)，共取得1+8+7+7=23个，这23个数每两个数之和都不能被7整除，除此之外再加上任 何一个都不满足题意。

所以最多可以取23个从10到4999这4990个自然数中，其数字和能被4整除的数有多少个？［分析与解］我们知道对于一个任意的三位数*和，1***、2***、3***、4***,有且只有1个数的数字 和是4的倍数，即1000〜4999这4000个数中有40004-4= 1000个数的数字和是4的倍数.而对于一个任意的两位数和，9枠、沪*、7**、6枠中必有1个数的数字和是4的倍数，也就是说999〜 600这400个数中有400一4= 100个数的数字和是4的倍数.同理在599〜200之间有100个数的数字和是4的倍数.剩下的10〜199之间，160〜199, 120〜159,这两组数各有10个数的数字和是4的倍数.而60〜99, 20〜59,这两组数也各有10个数的数字和是4的倍数.而100〜119, 10〜20中只有13, 17, 103, 107, 112, 116这6个数的数字和是4的倍数.所以10〜4999 Z间共有1000+100+100+10X4+6= 1246个数的数字和能被4整除.从100到2000的自然数中，既是5的倍数，又是能被7除余3的数有多少个？【解析】最小的一个既是5的倍数有被7除余3的数为10,所以满足条件的一般形式为35k+10(k为 自然数)K最小为3最大为56,所以满足条件的数以共有56-3+1=54个。

从1, 2, 3, 4, 5, 6,, 7, 8中选取3个数，它们的和是3的倍数，不同的选法有多少种？【详解】将这8个数字按照被3除的余数分类分为3大类：1, 4, 7,②2, 5, 8 ,③3, 6当分别在三类中各取一个时，他们的和为3的倍数，这种情况有3X3X2=18种，又①②中的三个数 的和也为3的倍数除此之外没有其他情况，所以不同的选发有18+2=20种一条小街上顺次安装有10盏路灯，为了节约用电又不影响路面照明，要关闭除首末两灯以外的8盏灯 中的4盏灯，但被关的灯不能相邻问：共有儿种不同的关法？在700以内找一个自然数，使这个自然数是三个不同奇数的立方和且是11的倍数四个互不相等的自然数，其中任意两个数的和可以被它们的差整除，这四个自然数Z和最小是多少?商店里卖的电池有3节一盒和5节一盒两种包装，请找出一个尽可能小的数，凡购买的节数超过这个 数时，售货员就不必拆盒有四个不同的自然数a, b, c, d,对它们两两求和，可以得到六个不同的数，这六个不同的数按从小 到大排列，恰好是一个等差数列满足条件的a，b, c, d有很多组试用枚举法求出(a+b+c + d) 的最小值1,3,4,5=13从3, 13, 17, 29, 31,这5个数中每次取出两个分别作为一个分数的分子分母，一共可以组成多少 个最简分数？【解析】分子为3的有4个，为13的有3个，为17的有2个，29的有1个。

共10个有0, 1, 4, 7, 9, 5张数字卡片，从中取出4张排成4位数，把其中能被3整除的数从小到大排成一 排，那么第5个数是什么？【解析】由小到大依次为1047, 1059, 1056, 1065, 1074一个四位数的数字和恰好等于一个自然数的立方，我们称这个四位数为“吉利数”如2006=2+0+0+6= 23 所以2006是一个吉利数，则在1000〜2999这两千个数中共有多少个吉利数？【解析】吉利数的数字和最大为29,所以可以为1, 8, 27数字和为1的吉利数为1000数字和为8的吉数为千位是 1 的有 007=016=025=034= 115= 124二 133=223 千位是 2 的有 222=006=033=024=015=114=123数字和为 27 的：1998 2997, 2988共有：1+7 个 3+7 个 6+1 + 1=68 个由四个不同的非0的数字组成的四位数中，数字和等于12的共有多少个？【解析】12=1+2 + 3 + 6有24种，12=1+2+4+5有24种，共48种大于100的整数中，被13除后商与余数相同的数有多少个？【解析】被除数一除数二商。

余数，所以商X除数+余数二被除数因为商和余数相同，且余数小于除数，所以被除数=12X14, 11X14, 10X14, 9X14, 8X14共五种用1, 9, 9, 8四个数字可以组成若干个不同的四位数，所有这些四位数的平均值是多少？【解析】这些数字共可以组成12个数，个十百千位上各出现9个9,所以四位数的和是89991,平均 数是 89991 一 12=7499.25。