三年级数学 奥数讲座 竖式数字谜（二）.doc

三年级数学 奥数讲座 竖式数字谜（二）　　本讲只限于乘数、除数是一位数的乘、除法竖式数字谜问题　　掌握好乘、除法的基本运算规则(第2讲的公式(3)(4)及推演出的变形式子)是解乘、除法竖式谜的基础根据题目结构形式，通过综合观察、分析，找出“突破口”是解题的关键例1 在左下乘法竖式的□中填入合适的数字，使竖式成立分析与解：由于积的个位数是5，所以在乘数和被乘数的个位数中，一个是5，另一个是奇数因为乘积大于被乘数的7倍，所以乘数是大于7的奇数，即只能是9(这是问题的“突破口”)，被乘数的个位数是5　　因为7×9＜70＜8×9，所以，被乘数的百位数字只能是7至此，求出被乘数是785，乘数是9(见右上式)例2 在右边乘法竖式的□里填入合适的数字，使竖式成立分析与解：由于乘积的数字不全，特别是不知道乘积的个位数，我们只能从最高位入手分析　　乘积的最高两位数是2□，被乘数的最高位是3，由　　可以确定乘数的大致范围，乘数只可能是6，7，8，9到底是哪一个呢？我们只能逐一进行试算：(1)若乘数为6，则积的个位填2，并向十位进4，此时，乘数6与被乘数的十位上的数字相乘之积的个位数只能是5(因4+5=9)。

这样一来，被乘数的十位上就无数可填了这说明乘数不能是62)若乘数为7，则积的个位填9，并向十位进4与(1)分析相同，为使积的十位是9，被乘数的十位只能填5，从而积的百位填4得到符合题意的填法如右式3)若乘数为8，则积的个位填6，并向十位进5为使积的十位是9，被乘数的十位只能填3或8　　当被乘数的十位填3时，得到符合题意的填法如右式当被乘数的十位填8时，积的最高两位为3，不合题意4)若乘数为9，则积的个位填3，并向十位进6为使积的十位是9，被乘数的十位只能填7而此时，积的最高两位是3，不合题意　　综上知，符合题意的填法有上面两种　　除法竖式数字谜问题的解法与乘法情形类似例3 在左下边除法竖式的□中填入适当的数，使竖式成立分析与解：由48÷8=6即8×6=48知，商的百位填6，且被除数的千位、百位分别填4，8又显然，被除数的十位填1由　　1□=商的个位×8　　知，两位数1□能被8除尽，只有16÷8=2，推知被除数的个位填6，商的个位填2填法如右上式例3是从最高位数入手分析而得出解的例4 在右边除法竖式的□中填入合适的数字使竖式成立分析与解：从已知的几个数入手分析　　首先，由于余数是5，推知除数＞5，且被除数个位填5。

　　由于商4时是除尽了的，所以，被除数的十位应填2，且由于3×4=12，8×4=32，推知，除数必为3或8由于已经知道除数＞5，故除数=8这是关键！)　　从8×4=32知，被除数的百位应填3，且商的百位应填0　　从除数为8，第一步除法又出现了4，8×8=64，8×3=24，这说明商的千位只能填8或3试算知，8和3都可以所以，此题有下面两种填法　练习4 　　1.在下列各竖式的□里填上合适的数：　　　　2.在右式中，“我”、“爱”、“数”、“学”分别代表什么数时，乘法竖式成立？　　　3.“我”、“们”、“爱”、“祖”、“国”各代表一个不同的数字，它　　们各等于多少时，右边的乘法竖式成立？　　4.在下列各除法竖式的□里填上合适的数，使竖式成立：　　　　5.在下式的□里填上合适的数　附送：2019-2020年三年级数学 奥数讲座 等差数列1、下面是按规律排列的一串数，问其中的第1995项是多少？ 　　解答：2、5、8、11、14、…… 从规律看出：这是一个等差数列，且首项是2，公差是3， 这样第1995项=2＋3×（1995－1）=5984　　2、在从1开始的自然数中，第100个不能被3除尽的数是多少？ 　　解答：我们发现：1、2、3、4、5、6、7、……中，从1开始每三个数一组，每组前2个不能被3除尽，2个一组，100个就有100÷2=50组，每组3个数，共有50×3=150，那么第100个不能被3除尽的数就是150－1=149。

　　3、把1988表示成28个连续偶数的和，那么其中最大的那个偶数是多少？　　解答：28个偶数成14组，对称的2个数是一组，即最小数和最大数是一组，每组和为： 1988÷14=142，最小数与最大数相差28-1=27个公差，即相差2×27=54， 这样转化为和差问题，最大数为（142＋54）÷2=98　　4、在大于1000的整数中，找出所有被34除后商与余数相等的数，那么这些数的和是多少？ 　　解答：因为34×28＋28=35×28=980＜1000，所以只有以下几个数：           34×29＋29=35×29           34×30＋30=35×30           34×31＋31=35×31           34×32＋32=35×32           34×33＋33=35×33           以上数的和为35×（29＋30＋31＋32＋33）=5425　　5、盒子里装着分别写有1、2、3、……134、135的红色卡片各一张，从盒中任意摸出若干张卡片，并算出这若干张卡片上各数的和除以17的余数，再把这个余数写在另一张黄色的卡片上放回盒内，经过若干次这样的操作后，盒内还剩下两张红色卡片和一张黄色卡片，已知这两张红色的卡片上写的数分别是19和97，求那张黄色卡片上所写的数。

　　解答：因为每次若干个数，进行了若干次，所以比较难把握，不妨从整体考虑，之前先退到简单的情况分析： 假设有2个数20和30，它们的和除以17得到黄卡片数为16，如果分开算分别为3和13，再把3和13求和除以17仍得黄卡片数16，也就是说不管几个数相加，总和除以17的余数不变，回到题目1＋2＋3＋……＋134＋135=136×135÷2=9180，9180÷17=540， 135个数的和除以17的余数为0，而19+97=116，116÷17=6……14， 所以黄卡片的数是17-14=3　　6、下面的各算式是按规律排列的： 1＋1，2＋3，3＋5，4＋7，1＋9，2＋11，3＋13，4＋15，1＋17，……， 那么其中第多少个算式的结果是1992？ 　　解答：先找出规律： 每个式子由2个数相加，第一个数是1、2、3、4的循环，第二个数是从1开始的连续奇数 因为1992是偶数，2个加数中第二个一定是奇数，所以第一个必为奇数，所以是1或3， 如果是1：那么第二个数为1992－1=1991，1991是第（1991+1）÷2=996项，而数字1始终是奇数项，两者不符， 所以这个算式是3+1989=1992，是（1989＋1）÷2=995个算式。

　　7、如图，数表中的上、下两行都是等差数列，那么同一列中两个数的差（大数减小数）最小是多少？ 　　解答：从左向右算它们的差分别为：999、992、985、……、12、5 从右向左算它们的差分别为：1332、1325、1318、……、9、2， 所以最小差为2　　8、有19个算式： 那么第19个等式左、右两边的结果是多少？ 　　解答：因为左、右两边是相等，不妨只考虑左边的情况，解决2个问题： 前18个式子用去了多少个数？ 各式用数分别为5、7、9、……、第18个用了5＋2×17=39个， 5＋7＋9＋……＋39=396，所以第19个式子从397开始计算； 第19个式子有几个数相加？ 各式左边用数分别为3、4、5、……、第19个应该是3＋1×18=21个， 所以第19个式子结果是397＋398＋399＋……＋417=8547　　9、已知两列数： 2、5、8、11、……、2＋（200－1）×3； 5、9、13、17、……、5＋（200－1）×4它们都是200项，问这两列数中相同的项数共有多少对？ 　　解答：易知第一个这样的数为5，注意在第一个数列中，公差为3，第二个数列中公差为4，也就是说，第二对数减5即是3的倍数又是4的倍数，这样所求转换为求以5为首项，公差为12的等差数的项数，5、17、29、……， 由于第一个数列最大为2＋（200－1）×3=599； 第二数列最大为5＋（200－1）×4=801。

新数列最大不能超过599，又因为5＋12×49=593，5＋12×50=605， 所以共有50对　　10、如图，有一个边长为1米的下三角形，在每条边上从顶点开始，每隔2厘米取一个点，然后以这些点为端点，作平行线将大正三角形分割成许多边长为2厘米的小正三角形求⑴边长为2厘米的小正三角形的个数，⑵所作平行线段的总长度 　　解答：⑴ 从上数到下，共有100÷2=50行， 第一行1个，第二行3个，第三行5个，……，最后一行99个， 所以共有（1+99）×50÷2=2500个； ⑵所作平行线段有3个方向，而且相同， 水平方向共作了49条， 第一条2厘米，第二条4厘米，第三条6厘米，……， 最后一条98厘米， 所以共长（2+98）×49÷2×3=7350厘米　　11、某工厂11月份工作忙，星期日不休息，而且从第一天开始，每天都从总厂陆续派相同人数的工人到分厂工作，直到月底，总厂还剩工人240人如果月底统计总厂工人的工作量是8070个工作日（一人工作一天为1个工作日），且无人缺勤，那么，这月由总厂派到分厂工作的工人共多少人？ 　　解答：11月份有30天 由题意可知，总厂人数每天在减少，最后为240人，且每天人数构成等差数列，由等差数列的性质可知，第一天和最后一天人数的总和相当于8070÷15=538 也就是说第一天有工人538-240=298人，每天派出（298-240）÷（30-1）=2人， 所以全月共派出2*30=60人。

　　12、小明读一本英语书，第一次读时，第一天读35页，以后每天都比前一天多读5页，结果最后一天只读了35页便读完了；第二次读时，第一天读45页，以后每天都比前一天多读5页，结果最后一天只需读40页就可以读完，问这本书有多少页？ 　　解答：第一方案：35、40、45、50、55、……35 第二方案：45、50、55、60、65、……40 二次方案调整如下： 第一方案：40、45、50、55、……35+35（第一天放到最后惶熘腥ィ?/P>第二方案：40、45、50、55、……（最后一天放到第一天） 这样第二方案一定是40、45、50、55、60、65、70，共385页　　13、7个小队共种树100棵，各小队种的查数都不相同，其中种树最多的小队种了18棵，种树最少的小队最少种了多少棵？ 　　解答：由已知得，其它6个小队共种了100-18=82棵， 为了使钌俚男《又值氖髟缴僭胶茫?敲戳?个应该越多越好，有： 17+16+15+14+13=75棵， 所以最少的小队最少要种82-75=7棵　　14、将14个互不相同的自然数，从小到大依次排成一列，已知它们的总和是170，如果去掉最大数和最小数，那么剩下的总和是150，在原来排成的次序中，第二个数是多少？　　解答：最大与最小数的和为170－150=20，所以最大数最大为20－1=19， 当最大为19时，有19＋18＋17＋16＋15＋14＋13＋12＋11＋10＋9＋8＋7＋1=170， 当最大为18时，有18＋17＋16＋15＋14＋13＋12＋11＋10＋9＋8＋7＋6＋2=158， 所以最大数为19时，有第2个数为7。