高中数学必修三角函数常考题型任-意-角.docx

精品名师归纳总结任 意 角【学问梳理】1. 按旋转方向分名称 定义 图形正角 按逆时针方向旋转形成的角负角 按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有作任何旋转形成的角2. 按角的终边位置(1) 角的终边在第几象限，就此角称为第几象限角2) 角的终边在坐标轴上，就此角不属于任何一个象限．3. 全部与角 α终边相同的角， 连同角 α在内，可构成一个集合 S＝ { β|β＝ α＋k·360 °，k∈ Z} ，即任一与角 α终边相同的角，都可以表示成角 α与整数个周角的和．【常考题型】题型一、象限角的判定【例 1】 已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在 x 轴的非负半轴上，作出以下各角， 并指出它们是第几象限角．〔1〕 － 75° 〔2〕855 °〔3〕 － 510 °.[ 解] 作出各角，其对应的终边如下图：(1) 由图①可知：－ 75°是第四象限角．(2) 由图②可知： 855 °是其次象限角．(3) 由图③可知：－ 510 °是第三象限角．【类题通法】象限角的判定方法(1) 依据图形判定， 在直角坐标系中作出角， 角的终边落在第几象限， 此角就是第几象限角．(2) 依据终边相同的角的概念．把角转化到 0°～ 360 °范畴内，转化后的角在第几象限，此角可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结就是第几象限角．【对点训练】在直角坐标系中，作出以下各角，在 0°～ 360°范畴内，找出与其终边相同的角，并判定它是第几象限角．可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结〔1〕360。

°〔2〕720°〔3〕2 012°〔4〕 － 120 °.可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结解： 如下图，分别作出各角．可以发觉可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结〔1〕360＝°0°＋ 360 °， 〔2〕720＝°0°＋ 2× 360 °，因此，在 0°～ 360 °范畴内，这两个角均与 0°可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结角终边相同．所以这两个角不属于任何一个象限．可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结〔3〕2 012＝°212 °＋ 5× 360 °，所以在 0°～ 360 °范畴内，与 2 012角°终边相同的角是 212 °，所可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结以 2 012 °是第三象限角．〔4〕 － 120 °＝ 240 °－ 360 °，所以在 0°～ 360 °范畴内，与－ 120 °角终边相同的角是 240 °，所以－ 120°是第三象限角．题型二、终边相同的角的表示【例 2】 〔1〕写出与 α＝－ 1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－ 720°≤ β＜ 360°的元素 β写出来．(2) 分别写出终边在以下各图所示的直线上的角的集合．(3) 写出终边落在图中阴影部分 〔包括边界 〕的角的集合．[ 解] 〔1〕 与角 α＝－ 1 910 终°边相同的角的集合为{ β|β＝－ 1 910 ＋°k·360 °， k∈Z} .∵－720°≤ β＜ 360°，∴－720°≤ － 1 910 °＋ k·360°＜360°，可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结311≤ k＜611.36 36故 k＝4,5,6 ，k＝ 4 时， β＝－ 1 910 °＋ 4× 360 °＝－ 470 °.k＝ 5 时， β＝－ 1 910 °＋ 5× 360 °＝－ 110 °.k＝ 6 时， β＝－ 1 910 °＋ 6× 360 °＝250 °.〔2〕 ①在 0°～ 360 °范畴内，终边在直线 y＝ 0 上的角有两个，即 0°和 180 °，因此，全部与 0°角终边相同的角构成集合 S1＝ { β|β＝ 0°＋ k·360 °， k∈Z } ，而全部与 180 °角终边相同的角构成集 合 S2＝ { β|β＝ 180 °＋ k·360 °， k∈Z} ，于是，终边在直线 y＝ 0 上的角的集合为 S＝ S1∪S2＝ { β|β＝ k·180 °，k∈Z } ．②由图形易知，在 0°～ 360°范畴内，终边在直线 y＝－ x 上的角有两个，即 135°和 315°，因此，终边在直线 y＝－ x 上的角的集合为 S＝ { β|β＝ 135°＋ k·360°，k∈Z} ∪{ β|β＝ 315°＋ k·360，k∈Z} ＝ { β|β＝ 135°＋ k·180°， k∈Z } ．③终边在直线 y＝ x 上的角的集合为 { β|β＝ 45°＋ k·180°， k∈Z } ，结合②知所求角的集合为 S＝ { β|β＝ 45°＋ k·180°， k ∈Z} ∪{ β|β＝ 135°＋ k·180°， k∈Z} ＝ { β|β＝ 45°＋ 2k·90°， k∈Z } ∪{ β|β＝ 45°＋ 〔2k＋ 1〕 ·90°， k∈Z } ＝ { β|β＝ 45°＋ k·90°， k∈Z } ．〔3〕 终边落在 OA 位置上的角的集合为 { α|α＝ 90°＋ 45°＋ k·360 °，k∈Z } ＝ { α|α＝ 135 °＋ k·360 °， k∈Z } ，终边落在 OB 位置上的角的集合为 { β|β＝－ 30°＋k·360°， k∈Z} ．故阴影部分角的集合可表示为 { α|－ 30°＋ k·360°≤α≤ 135°＋ k·360°， k∈Z } ．【类题通法】1. 终边相同的角常用的三个结论(1) 终边相同的角之间相差 360 °的整数倍．(2) 终边在同始终线上的角之间相差 180 °的整数倍．(3) 终边在相互垂直的两直线上的角之间相差 90°的整数倍．可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结2. 区域角是指终边落在坐标系的某个区域的角，其写法可分三步(1) 先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界。

2) 由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角 α，β，写出全部与 α，β终边相同的角3) 用不等式表示区域内的角，组成集合．【对点训练】已知角 α的终边在如下图的阴影部分内，试指出角 α的取值范畴．解： 终边在 30°角的终边所在直线上的角的集合为 S1＝ { α|α＝ 30°＋ k·180 °， k∈Z} ，终边在 180°－ 75°＝ 105°角的终边所在直线上的角的集合为 S2＝ { α|α＝ 105 °＋ k·180 °，k∈Z } ，因此终边在图中阴影部分的角 α的取值范畴为 { α|30 °＋ k·180°≤ α<105°＋ k·180°， k∈Z }.题型三、确定 n 及 所在的象限n【例 3】 假设 α是其次象限角，就 2 αα， 2分别是第几象限的角？[ 解] 〔1〕 ∵α是其次象限角，∴90°＋ k·360°<α<180°＋ k·360°〔 k∈Z〕，∴180°＋k·720°<2 α<360°＋k·720°，∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在 y 轴的非正半轴上．〔2〕 ∵α是其次象限角，∴90°＋ k·360°<α<180°＋ k·360°〔 k∈Z〕，可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结<90∴45°＋ k·180°<α2°＋ k·180 °〔k∈Z 〕．可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结法一： ①当 k＝ 2n〔n∈Z 〕时，可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结45°＋ n·360α°<2<90°＋ n·360 °〔n∈Z〕，可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结α即 是第一象限角。

2②当 k＝ 2n＋ 1〔n∈Z 〕时，可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结225 °＋ n·360α°<2<270°＋ n·360 °〔 n∈Z 〕，可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结α即 2是第三象限角．α故 是第一或第三象限角．2法二： ∵45°＋ k·180°表示终边为一、三象限角平分线的角， 90°＋ k·180°〔k∈Z 〕表示终边为 y可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结轴的角，<90∴45°＋ k·180°<α2α°＋ k·180 °〔k∈Z 〕表示如图中阴影部分图形．即 2是第一或第三象限角．可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结【类题通法】1. nα所在象限的判定方法确定 nα终边所在的象限，先求出 nα的范畴，再直接转化为终边相同的角即可．α2. n所在象限的判定方法所在象限，有两种方法：已知角 α所在象限，要确定角 αn可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结(1) 用不等式表示出角αn的范畴，然后对 n 的取值分情形争论：被 n 整除。

被 n 除余 1被 n可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结除余 2被 n 除余 n．(2) 作出各个象限的从原点动身的 n 等分射线，它们与坐标轴把周角分成 4n 个区域．从 x轴非负半轴起， 按逆时针方向把这 4n 个区域依次循环标上 1,2,3,4.标号为几的区域， 就是依据 α可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结终边所在的象限确定αn的终边所落在的区域．如此，αn所在的象限就可以由标号区域所在的象限可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结直观的看出．可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结【对点训练】已知角 α为第三象限角，试确定角 2αα， 2是第几象限角．可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结解： ∵α为第三象限角，∴ k·360°＋ 180°<α