立体几何中的一个经典模型.doc

1立体几何中的一个经典几何模型由四个直角三角形围成的四面体是一个经典的几何模型i，俗称“三节棍”模型，如图 1 四面体中，ABCD,,ABCABD均为直角.我们研究它的产生背,BDCADC景、各面所成的角及其棱所在直线与相关面所成的角的性质，为此，定义为底面，BDC为斜面，为主垂面，为副垂ADCABCABD面.(主副垂面之分在于)为BCBDAC的主斜线，为副斜线，它们在BDCADBDC底面内的摄影也分别称作主射影和BCBD和副射影.设,ACB,BCD.ACD这个模型的几何结构特点决定，在其中，空间直角坐标系的建立以及相关向量的计算不易直接实现，因此我们有必要探讨在这种模型中如何避开利用空间向量的解析法而用纯几何的手段解决有关角的问题.1. “三节棍”模型的背景：①线面角背景：如图 1，是平面的垂ABBCD 线，为垂足，是平面的斜线，是BACBCDC 斜足，是平面内另一异于的直线，CDBCDBC 过作，垂足为，就是斜线BBDCDDABC 与底面所成的角，四面体 即ACBCDABCD 为“三节棍”模型②长方体切割背景： 如图 2，在长方体 中两个平面和切割所ABCDA B C D   A ACA BC 得四面体即为“三节棍”模型.AABC③球体切割背景：如图 3，球 O 的直径为，AB 过作球的两个不同截面，再分别AB,ABD ABC 过AD和分别作共弦的截面和，四面BCCDACDBCD 体即为“三节棍”模型.ABCD2. “三节棍”模型的性质：在图 1 的“三节棍”模型中，我们可以得出下 面的性质，①最小角定理：斜线与所成的角，是斜线与内过斜足的所有直线所成角中最ACBDCACBDC小的角.②三面角公式：———公式 1coscoscos在图 1 中，满足.不仅如此，“三节棍”模型中各顶点的,,  coscoscos三个角中，对应斜面上的角的余弦等于其它两个互相垂直的面中对应角余弦之积.如.coscosADCBDCcosADB由各面直角三角形锐角的互余关系，公式 1 还可化为：———公式sinsinsinCADCABCBD1③二面角公式：1) 主、副垂面所成的二面角，它的平面角等于CABDCBD2图图2 2DCBAD'C'B'A'图图3 3OABDCBACD 图 122) 主垂面与底面所成的角为直二面角.ABCD3) 副垂面与底面所成的二面角为直二面角ABDC4) 副垂面与斜面所成的二面角为直二面角BADC5) 斜面与底面所成的二面角的平面角为，ACDBADB满足：= ————公式 2ADBcosADBtan tan 证明：设，则 ，1CD tan,BDtanAD所以= cosADBtan tan 6) 主垂面与斜面所成的二面角，BACD 设其平面角为,= ————公式 3costan tan 证明：如图 4，作垂足为，,DOBCO 连接.AO设，则，，=1CDcosOC1 cosACtan ,ADsinsin,cosABACsincos11 22cosAOCSOC AB ；11tan22ADCSCD ADsincostancos.costantanAOCADCS S=④线面角1).副斜线与主垂面所成的角为，满足.——公式 4sinsintan证明：如图 4，按照 6)的作图，即为副斜线与主截面OADAD所成的角，即，同样设=1ABCOADCD则，sin,ODtanADsinsintanOD AD2).主射影与斜面所成的角为则满足————公式 5sinsintantansinsintan证明：如图 5，过作，连接，BBEADCE则即为主射影BCEBC与斜面所成的角，ACD设，则1BC sinBDtan,cos,ABCDcostanAD在中利用等面积关系得：ABD，tansin costanAB BDBEAD tansinsinsintantansinsin=BE=costansintanBCE3.“三节棍”模型的应用举例为说明“三节棍”模型及其相关规律在解题中的作用，我们试举下面例题例 1.BACD O图 4图 5CDEBA3如图，在三棱柱中，是边长为 4 的正方 形平面平面111ABCA B C11AAC CABC  ，11AAC C3,5.ABBC(I)求证：平面；1AA ABC(II)求二面角的余弦值；111ABCB(III)证明：段存在点，使得1BCD，并求的值.1ADA B1BD BC分析：该题中的几何关系尽管适合建立空 间直角坐标系，但我们直接用公式 3 更快 捷的解决问题.解：(I)略(II)由(I)知平面，，=51BB 111A B C11AC 11BB A1A B设二面角为 ，则111ABCB11114 tan165cos5tan25 4BC B BC A(III)证明(略)例 2.如图，是圆的直径，点是圆ABOC上异于的点，直线 平面是圆O上异于,AB分别是直线PC ,ABC,E F的中点,PA PC(I)记平面与的交线为 ，判断直线 与BEFABCll 平面的位置关系，并加以证明；PAC(II)设(I)中的直线 与圆的另一个交点为，且点.记直线与平lODQDQ1 2CP PQ面所成的角为 ，异面直线 与所成的角为，二面角的大小ABCPQEFElC  为，求证：sinsinsin解析：本题直接用到了“三节棍”模型，除了建系用解析法外，我们用公式 1 可以更迅捷的解决问题.解(I)（略）(II)证明：由(I)知平面，连接，平行于，则DB BCFDFDFPQ.在四面体中，,,FDCFDBFBCFCBDcoscos,DFCBFCDFBcos即)cos()cos()222cos(所以.sinsinsin证毕.例例2 2图图FDQEAPBCC CB BA AC C1 1B B1 1A A1 1例例1 1图图。