《利用方位角、坡度角解直角三角形》课件（两套）.ppt

28.1 锐角三角函数,第二十八章 锐角三角函数,第3课时 利用方位角、坡度解直角三角形,1.正确理解方向角、坡度的概念；（重点） 2.能运用解直角三角形知识解决方向角、坡度的问题. (难点),导入新课,情境引入,如图，从山脚到山顶有两条路AB与BD，问哪条路比较陡？,右边的路BD 陡些,如何用数量来刻画哪条路陡呢？,讲授新课,以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于90的角,叫做方位角.如图所示：,方位角,北偏东30,南偏西45,例1 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向，距离灯塔80 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（精确到0.01 n mile）？,,,,,,,,65,34,P,B,C,A,典例精析,解：如图 ，在RtAPC中，,PCPAcos（9065）,80cos25,800.91,=72.8,在RtBPC中，B34,当海轮到达位于灯塔P的南偏东34方向时，它距离灯塔P大约130.23n mile,,,,,,,,65,34,P,B,C,A,,例2 某海滨浴场东西走向的海岸线可近似看作直线l(如图)救生员甲在A处的瞭望台上观察海面情况，发现其正北方向的B处有人发出求救信号他立即沿AB方向径直前往救援，同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙乙马上从C处入海，径直向B处游去甲在乙入海10秒后赶到海岸线上的D处，再向B处游去若CD40米，B在C的北偏东35方向，甲、乙的游泳速度都是2米/秒，则谁先到达B处？请说明理由 (参考数据：sin550.82，cos550.57，tan551.43).,分析： 在RtCDB中，利用三角函数即可求得BC，BD的长，则可求得甲、乙所用的时间，比较二者之间的大小即可,解：由题意得BCD55，BDC90. BDCDtanBCD40tan5557.2(米) BCCDcosBCD40cos5570.2(米) t甲57.221038.6(秒)，t乙70.2235.1(秒) t甲t乙 答：乙先到达B处,水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=13 ，斜坡CD的坡度i=12.5 ， 则斜坡CD的坡面角 ， 坝底宽AD和斜坡AB的长应设计为多少？,,,,,,,,,,i= h : l,1.坡角,坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 .,2.坡度（或坡比）,坡度通常写成1m的形式，如i=16.,3.坡度与坡角的关系,坡度等于坡角的正切值,坡面,水平面,1.斜坡的坡度是 ，则坡角=______度. 2.斜坡的坡角是45 ，则坡比是 _______. 3.斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是_______.,30,1：1,例3 如图，一山坡的坡度为i=1:2.小刚从山脚A出发， 沿山坡向上走了240m到达点C.这座山坡的坡角是多 少度？小刚上升了多少米（角度精确到0.01，长 度精确到0.1m）？,i=1:2,典例精析,在RtABC中，B=90，A=26.57，AC=240m，,因此26.57.,答：这座山坡的坡角约为26.57，小刚上升了约107.3 m,从而 BC=240sin26.57107.3（m）,你还可以用其他方法求出BC吗？,因此,例4 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=13，斜坡CD的坡度i=12.5，求： （1）坝底AD与斜坡AB的长度（精确到0.1m ）; （2）斜坡CD的坡角（精确到 1）.,,,E,F,分析：由坡度i会想到产生铅垂高度，即分别过点B、C 作AD的垂线；,垂线BE、CF将梯形分割成RtABE，RtCFD和矩形BEFC，则AD=AE+EF+FD， EF=BC=6m，AE、DF可结合坡度,通过解RtABE和RtCDF求出；,斜坡AB的长度以及斜坡CD的坡角的问题实质上就是解Rt ABE和Rt CDF.,解：(1)分别过点B、C作BEAD，CFAD，垂足分别为点E、 F,由题意可知,,,E,F,BE=CF=23m ， EF=BC=6m.,在RtABE中,在RtDCF中，同理可得,=69+6+57.5=132.5m,在RtABE中，由勾股定理可得,(2) 斜坡CD的坡度i=tan=1：2.5=0.4， 由计算器可算得,答：坝底宽AD为132.5米，斜坡AB的长约为72.7米斜坡CD的坡角约为22.,当堂练习,1.如图，C岛在A岛的北偏东50方向，C岛在B岛的北偏西40方向，则从C岛看A，B两岛的视角ACB等于 ,90,2.一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45和30，求路基下底的宽（精确到0.1米, ）.,45,30,,,,4米,,,,12米,A,B,C,D,解：作DEAB，CFAB，垂足分别为E、F由题意可知 DECF4（米），CDEF12（米）在RtADE中， 在RtBCF中，同理可得 因此ABAEEFBF4126.9322.93（米） 答： 路基下底的宽约为22.93米,3.海中有一个小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？,,,,,B,A,D,,30,,60,解：由点A作BD的垂线,,交BD的延长线于点F，垂足为F，AFD=90.,由题意图示可知DAF=30,设DF= x , AD=2x,则在RtADF中，根据勾股定理,在RtABF中，,解得x=6,因而10.4 8，所以没有触礁危险.,,,,,B,A,D,,F,,,30,,60,课堂小结,解直角三角形的应用,,坡度问题,方位角问题,坡角,坡度（或坡比）,,28.2 解直角三角形,第3课时 利用方位角、坡度解直角三角形,1、能应用解直角三角形的知识解决与方位角、坡度有关的实际问题； 2、培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法.,1.测量高度时,仰角与俯角有何区别?,2.解答下面的问题,如图,有两建筑物,在甲建筑物上从A到E点挂一长为30米的宣传条幅,在乙建筑物的顶部D点测得条幅顶端A点的仰角为45,条幅底端E点的俯角为30.求甲、乙两建筑物之间的水平距离BC,甲,乙,坡度(坡比)、坡角： (1)坡度也叫坡比，用i表示. 即i=h/l，h是坡面的铅直高度， l为对应水平宽度，如图所示 (2)坡角：坡面与水平面的夹角. (3)坡度与坡角(若用表示)的关系：i=tan. 方向角：指南或北方向线与目标方向线所成的小于90的角，叫方向角.,【例】如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（精确到0.01海里）,,,,,,,,65,34,P,B,C,A,【解析】如图 ，在RtAPC中，,PCPAcos（9065）,80cos25,800.91,=72.8海里,在RtBPC中，B34,答：当海轮到达位于灯塔P的南偏东34方向时，它距离灯塔P大约130.23海里,,,,,,,,65,34,P,B,C,A,解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用相关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝的高度h时，只要测出仰角a和大坝的坡面长度l，就能算出h=lsina，但是，当我们要测量如图所示的山高h时，问题就不那么简单了，这是由于不能很方便地得到仰角a和山坡长度l,化整为零，积零为整，化曲为直，以直代曲的解决问题的策略.,与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的，怎样解决这样的问题呢？,我们设法“化曲为直，以直代曲” 我们可以把山坡“化整为零”地划分为一些小段，如图表示其中一部分小段，划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这段坡长l1，测出相应的仰角a1，这样就可以算出这段山坡的高度h1=l1sina1.,在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段山坡的高度h1,h2,,hn,然后我们再“积零为整”，把h1,h2,,hn相加，于是得到山高h.,以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容,如图所示，某地下车库的入口处有斜坡AB，其坡比i=11.5，则AB= m.,,C,1.（宿迁中考）小明沿着坡度为1:2的山坡向上走了1000m，则他升高了（ ）,A,2.（达州中考）如图，一水库迎水坡AB的坡度,则该坡的坡角=______.,30,3.（成都中考）如图，在亚丁湾一海域执行护航任务的我海军某军舰由东向西行驶在航行到B处时，发现灯塔A在我军舰的正北方向500米处；当该军舰从B处向正西方向行驶至达C处时，发现灯塔A在我军舰的北偏东60的方向.求该军舰行驶的路程（计算过程和结果均不取近似值),【解析】A=60,BC=ABtanA=500tan60=,4.海中有一个小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？,,,,,B,A,D,,60,,北,,,,,B,A,D,,F,,【解析】由点A作BD的垂线,交BD的延长线于点F，垂足为F，AFD=90,由题意图示可知DAF=30,设DF=x, AD=2x,则在RtADF中，根据勾股定理,在RtABF中，,解得x=6,10.4 8没有触礁危险,,30,,60,,北,5. 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中i=1:3是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比），根据图中数据求：坡角a和.,【解析】在RtAFB中，AFB=90,在RtCDE中，CED=90,。