平面解析几何中的对称问题.doc

平面解析几何中的对称问题李新林汕头市第一中学 515031 对称性是数学美的重要表现形式之一，在数学学科中对称问题无处不在在代数、三角中有对称式问题；在立体几何中有中对称问题对称体；在解析几何中有图象的对称问题深入地研究数学中的对称问题有助于培养学生分析解决问题的能力，有助于提高学生的数学素质 在平面解析几何中，对称问题的存在尤其普遍平面解析几何中的对称问题在高考试题中更是屡见不鲜本文将对平面解析几何中的几种常见对称问题作一些肤浅的探讨，以求斧正 平面解析几何中的对称问题主要有如下几种：点关于点的对称问题简称点点对称；点关于直线的对称问题简称点线对称；曲线关于点的对称问题简称线点对称；曲线关于直线的对称问题简称线线对称 一、点点对称定理1　平面上一点关于点的对称点为，特别地，点关于点的对称点为证明：显然为线段的中点，设，由中点坐标公式有： ，即 ，故 例１　若点关于点的对称点为，求点的坐标解：设，由定理１有，即 二、点线对称定理1　平面上一点关于直线的对称点为：证明：先证明一般情况，即的情况Y 如图（一）,设，线段交直线于点 ，由点与点关于直线 对称，故为线段的中点且，O X 于是有： 且，又点在直线上，故有： ，解此二元一次方程组得： ，即。

至于与的情况比较简单，证明略特别地，有如下几种特殊情况：（1） 平面上一点关于轴的对称点为：；（2） 平面上一点关于轴的对称点为：；（3） 平面上一点关于直线的对称点为：；（4） 平面上一点关于直线的对称点为：；（5）　平面上一点关于直线的对称点为：；（6） 平面上一点关于直线的对称点为：；（7） 平面上一点关于直线的对称点为：；（8） 平面上一点关于直线的对称点为：特别地，点关于点的对称点为若直线与椭圆有公共点，则有：证明：由 可令，代入得：整理得： 即： ，（其中为辅助角）又 , 即：特别地，当时，有推论1 若直线与椭圆有公共点，则有： 对于定理1，若令，则有定理2 若直线与圆有公共点，则有：，整理得特别地，当时，有推论2 若直线与圆有公共点，则有： 下面略举数例说明其应用一、 求点到直线的距离例１ 求点到直线的距离解：设点到直线的距离为，构造以点为圆心，为半径的动圆，显然，当直线与动圆有公共点时， 点到直线的距离为半径的最小值，即，由定理2知：，即：，故即点到直线的距离为 此即平面解析几何中点到直线的距离公式二、 求最值、函数的值域例１ 若且，则的最大值为（ ） A． B． C． D．（1990年全国高考试题） 解：设，得直线，由定理１得，解得：、，即，故选（D）例２ 求函数的值域。

解：设，，代入得：整理得，又关于的直线与关于的圆有公共点由推论2得：解得：即所求函数的值域为例３ 已知平面上两定点，为圆上任一点，求的最大值与最小值 解：依题意有 ①又由得，代入①得：令，有，即关于的直线与关于的圆有公共点由定理2得：解得： 故的最大值与最小值分别为例４ 已知椭圆，求的最大值 解：令，整理得关于的直线与椭圆有公共点由推论１得：，解得： 故的最大值为１例５ （加拿大第七届中学生数学竞赛试题）试确定最大的实数，使得实数满足： 解：由得： ①又，代入①得：，即关于的直线与关于的圆有公共点由推论２得：解得：，即：故最大的实数为三、 求代数式的范围例１ 若，且恒成立，求的取值范围 解：由已知得，设，得直线，由定理２得：，解得：，即,即,又，故例２　已知，求的取值范围 解：由可得 ①令，，代入①得：又令，将，代入得：即关于的直线与关于的圆有公共点，由推论２得：解得：，即例３　若，且，（）求的范围 解：令，代入并化简得：，即又令，则有，即关于的直线与关于的圆有公共点，由定理２得：，解得即①②例４ 设满足方程组 ，若，试求的取值范围。

（1986年全国高中数学联赛试题）解：由②—①得：，即， 由①+②得：关于的直线与关于的圆有公共点由推论２得： 解得：故的取值范围为四、解方程组及证明不等式例１　已知：求证：证明：设，有，关于的直线与关于的圆有公共点由定理2得： 解得：，即例２　实数，且，求证证明：设，有，关于的直线与关于的圆有公共点由推论２得：又所以有故，即例３　且满足①②，证明都不是负数，也不能大于1957年北京市数学竞赛题）证明：由①得由②得，关于的直线与关于的圆有公共点由推论２得：解得：，又，故，同理，，所以，都不是负数，也不能大于例４　已知且满足，证明中至少有一个大于1991年“曙光杯”数学竞赛题）证明：由知中至少有一个为正数，不妨设又由得： ①由得，代入①得：，即关于的直线与关于的圆有公共点由定理２得：解得：，即： ②又，由②得：，故所以中至少有一个大于②①例５　若中，三边为，且 试确定的形状 （1989年“缙云杯”数学邀请赛试题）解：由①２+②得：关于的直线与关于的圆有公共点由推论２得： 解得：，即，代入①、②得：所以为等腰三角形①②例６　求三个实数使得它们满足方程组解：由①可得：由②可得：关于的直线与关于的椭圆有公共点。

由定理１得：化简得：，即，代入①、②得：故所求三个实数分别为，。