一元二次不等式及其解法典型例题透析.doc

《一元二次不等式及其解法》典型例题透析类型一：解一元二次不等式例1.解下列一元二次不等式(1)X2一5x<0；(2)x2一4x,4>0；(3)一x2,4x一5>0思路点拨：转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答.解析：(1) 方法一：因为„…(—5)2—4x1x0…25>0所以方程x2—5x…0的两个实数根为：x…0，x…512函数y…x2—5x的简图为：因而不等式x2—5x<0的解集是{x100x2一5x<0ox(x一5)<0o0Ix<0解得1-或1-，即05因而不等式x2—5x<0的解集是{x100(当x…2时，(x—2)2…0)所以原不等式的解集是{xIx丰2}(3) 方法一：原不等式整理得x2—4x,5<0.因为€<0，方程x2，4x+5„0无实数解,函数y„x2-4x+5的简图为:所以不等式x2—4x+5<0的解集是….所以原不等式的解集是0.方法二：T一x2+4x一5„一(x一2)2一1<-1<0・•・原不等式的解集是0.总结升华：1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力；2. 当€<0时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁(如第2、3小题)；当€>0且是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷，(如第1小题).3. 当二次项的系数小于0时，一般都转化为大于0后，再解答.举一反三：【变式1】解下列不等式(1)2x2—3x—2>0；(2)—3x2+6x—2>0⑶4x2一4x+1<0；⑷一x2+2x一3>0.【答案】(1) 方法一：因为€„(—3)2—4x2x(—2)„25>0方程2x2，3x—2„0的两个实数根为：x„，1，x„2122函数y„2x2-3x一2的简图为：因而不等式2x2，3x，2>0的解集是：{xIx<，2或x>2}.方法二：•・•原不等式等价于(2x+1)(x—2)>0,・原不等式的解集是：{xIx<，2或x>2}.(2)整理，原式可化为3x2-6x+2<0,因为€>0,方程3x2，6x+2„0的解x„1-133函数y€3x2-6x+2的简图为：1/kA33所以不等式的解集是(1-3」，3).(3)方法一：因为A€0方程4x2-4x+1€0有两个相等的实根：Xi€X2€由函数y€4x2-4x,1的图象为：原不等式的的解集是｛；｝.方法二：•・•原不等式等价于：(2x-1)2„0,・•・原不等式的的解集是｛；｝.(4) 方法一：因为Av0,方程-x2+2x—3=0无实数解,由函数y€―x2+2x―3的简图为：原不等式的解集是0.方法二：*.*—x2,2x—3€—(x—1)2—2„—2…0,・原不等式解集为0.【变式2】解不等式：—6„x2—x一6…6【答案】原不等式可化为不等式组[x2一x一6…6[x2一x一12…0「(x—4)(x+3)…0｛，即｛，即｛,[-6„x2—x—6[x2—x<0[x(x-1)<0「—3…x…4解得[x<1或x„0・原不等式的解集为｛xI—3…x„0或1„x…4｝.类型二：已知一元二次不等式的解集求待定系数例2.不等式x2+mx—n…0的解集为xe(4,5),求关于x的不等式nx2+mx—1>0的解集。

思路点拨：由二次不等式的解集为(4,5)可知：4、5是方程x2+mx—n=0的二根，故由韦达定理可求出m、n的值，从而解得.解析：由题意可知方程X2€mx-n，0的两根为x，4和x，5由韦达定理有4+5，—m,4x5，-nm，-9,n，-20/.nx2€mx-1„0化为-20x2-9x-1„0,即20x2+9x€1…0(4x+1)(5x+1)…0，解得-—

思路点拨:不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R,要解决这个问题还需要讨论二次项的系数解析：(1) 当m2+4m-5=0时，m=l或m=-5若m=1，则不等式化为3〉0,对一切实数x成立，符合题意若m=-5，则不等式为24x+3〉0,不满足对一切实数x均成立，所以m=-5舍去2) 当m2+4m—5工0即mH1且mH—5时，由此一元二次不等式的解集为R知，抛物线y=(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3开口向上，且与x轴无交点，m2+4m-5>0所以,，A=16(m-1)2-12(m2+4m-5)„0fm>1或m„-5即,，・•・1〈m〈19[1„m„19综上所述，实数m的取值范围是｛m|1Wm〈19｝总结升华：情况(1)是容易忽略的，所以当我们遇到二次项系数含有字母时，一般需讨论举一反三：【变式1】若关于x的不等式mx2-(2m+1)x+m-1>0的解集为空集，求m的取值范围.【答案】关于x的不等式mx2-(2m+1)x+m-1>0的解集为空集即mx2一(2m+1)x+m一1„0的解集为R当m=0时，原不等式为：-x-1>0，即x<-1，不符合题意，舍去.当m丰0时，原不等式为一元二次不等式，只需m„0且A„0，1解得m„-，8(2m+1)2-4m(m-1)„0m„0综上，m的取值范围为：me(-®-f).8【变式2】若关于x的不等式mx2-(2m+1)x+m-1>0的解为一切实数，求m的取值范围.【答案】当m=0时，原不等式为：-x-1>0，即x<-1，不符合题意，舍去.当m丰0时，原不等式为一元二次不等式，只需m>0且A>0，即,1m>0—，解得m>0，f(2m+1)2-4m(m-1)>0【变式3】若关于x的不等式mx2€(2m+1)x+m-1，0的解集为非空集，求m的取值范围.【答案】当m=0时，原不等式为：—x-1，0，即x„-1，符合题意.当m…0时，原不等式为一元二次不等式，显然也符合题意当m<0时，只需A，0，(2m+1)2一4m(m一1),0m<01综上，m的取值范围为：m<[-,+8).8类型四：含字母系数的一元二次不等式的解法例4.解下列关于x的不等式(1) x2-2axW-a2+1；(2) x2-ax+1>0；(3) x2-(a+1)x+a<0；解析：(1) 兀2—2ax+a2—1„0[(x—a)—1][(x—a)+1]„0a—1„x„a+1・•・原不等式的解集为｛xIa-1„x„a+1｝。

2) A=a2-4当A>0，即a>2或a<-2时，原不等式的解集为a2—42a2—4a—{x|x或x<-2当A=0，即a=2或-2时，原不等式的解集为｛x1x丰2｝当A<0，即-2〈a〈2时，原不等式的解集为R3) (x-1)(x-a)<0当a>1时，原不等式的解集为｛x|1〈x〈a｝当a<1时，原不等式的解集为｛x|a〈x〈1｝当a=1时，原不等式的解集为①总结升华：对含字母的二元一次不等式，一般有这样几步：① 定号：对二次项系数大于零和小于零分类，确定了二次曲线的开口方向；② 求根：求相应方程的根当无法判断判别式与0的关系时，要引入讨论，分类求解；③ 定解：根据根的情况写出不等式的解集；当无法判断两根的大小时，引入讨论举一反三：【变式1】解关于x的不等式：x2-(a+—)x+1<0(a丰0)a【答案】原不等式化为(x一a)(x——)<0a① a=1或a=-1时，解集为0；11② 当0〈a〈1或a〈-1时，a<，解集为：｛x1a—，解集为：｛x1—0(a„R)答案】x2一(a+a2)x+a3>0…(x一a)(x一a2)>0当aVO或a>l时，解集为｛xIxa2｝；当a=O时，解集为｛xIx丰0｝；当0VaV1时，解集为｛xIxa｝；当a=1时，解集为｛xIx丰1｝；例5.解关于x的不等式：ax2—(a+1)x+1<0。

解析：若a=0，原不等式O—x+lVOOx>l；若aV0，原不等式x2_(1+_)x+_>0(x—_)(x—1)>0x<_或xaaaa>1；若a>0，原不等式Ox2—(1+—)x+—<0O(x——)(x—1)<0,aaa1其解的情况应由一与1的大小关系决定，故a(1) 当a=1时，原不等式Ox„0；1(2) 当a>1时，原不等式O—1｝；a当a=0时，解集为｛xIx>1｝；当01时，解集为｛xI0时，若a€0,€2,即0