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复变函数与积分变换 华中科技大学复积分存在的一个充分条件：复积分存在的一个充分条件：复积分的性质复积分的性质 ：：1 线性性： 例题1 （2）C：左半平面以原点为中心逆时针方向的单位半圆周解（1） （2）参数方程为可见积分与路径有关例题2 解： 例如 例题3 证明： 例如 练习例题4 解：可见，积分与路径无关仅与起点和终点有关§ 3.2 柯西积分定理定理1（Cauchy） 如果函数 f (z)在单连通域D内处处解析, 则它在D内任何一条封闭曲线 C 的积分为零: 注1：定理中的曲线C可以不是简单曲线. 此定理成立的条件之一是曲线C要属于区域D 注2：如果曲线C是D的边界, 函数 f (z)在D内与C上解析, 即在闭区域 D+C上解析, 甚至 f (z)在D内解析, 在闭区域D+C 上连续, 则 f (z)在边界上的积分仍然有推论：如果函数 f (z)在单连通域D内处处解析, C属于D，与路径无关仅与起点和终点有关于是是解析函数解析函数的导数仍为解析函数解析函数的导数仍为解析函数特别地例如：注：以上讨论中D为单连通域这里D为复连通域可将柯西积分定理推广到多连通域的情况定理定理2 假设C及C1为任意两条简单闭曲线, C1在C内部,设函数 f (z)在C及C1所围的二连域D内解析, 在边界上连续，则证明：取这说明解析函数沿简单闭曲线积分不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值。

------闭路变形原理闭路变形原理推论（复合闭路定理）：(互不包含且互不相交)， 所围成的多连通区域， 例题1C 如图所示：解： 存在 f (z)的解析单连通域D包含曲线 C ，故积分与路径无关，仅与起点和终点有关从而例题2C为包含0与1的任何正向简单闭曲线解： （由闭路变形原理）§ 3.3 柯西积分公式若 f (z) 在D内解析，则分析：分析：.定理定理 (柯西积分公式) 如果 f (z)在区域D内处处解析, C为D内的任何一条正向简单闭曲线, 它的内部完全含于D, z0为C内的任一点, 则---解析函数可用复积分表示 [证] 由于f (z)在 z0连续, 任给e >0, 存在d (e) >0, 当 |z-z0|1.[解] 1) 函数 在C内的z=1处不解析, 但cospz在C内却是处处解析的. Cauchy不等式： 证明：注1：解析函数的导数模的估计与区域的大小有关；注2： Liouville定理：全平面的有界解析函数必为常数。

证明：对复平面上任一点z ，  最大模原理：设D为有界单连通或复闭路多连通区域，证明：注：。