巧用截长补短证线段.docx

巧用截长补短，秒解初中数学难题如何用截长补短口诀：线段和差及倍半，延长缩短可试验，线段和差不等式，移到同一三角中【方法说明】遇到求证线段和差及倍半关系时，可以尝试截长补短的 方法.截长指在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩 下部分等于另一条；补短指将一条短线段延长，延长部分等于另一条 短线段，然后证明新线段等于长线段.题目中常见的条件有等腰三角 形（即两条边相等），或角平分线（即两个角相等），通过截长补短 后，并连接一些点，构造全等得出最终结论.常见例题分析：1.如图，在仝E沖，D为BC的中点，求证:证明：延长AD到E,使DE=AD，连接BE, •••D为BC中点，AD = ED・・・BD二CD,在厶ADC和厶EDB中,ZADC=ZEDBDC = DB•••△ADC竺AEDB (SAS),・・・AD二ED,在厶ABE 中，AB+EB>AE=2AD；思路点拨：本题运用倍长中线法构造全等三角形，将证明不等关系和求线段取值范围的问题通过证全等，转化到一个三角形中，利用三角形的三边关系来解决这种方法也叫倍长中线法2 •如图：AD是亠辽二的角平分线，二E二士，求证：AB + BD二AC思路分析：由角平分线可知有一对角相等，要求证AB + BD二AC,可以 段AC上截取线段ABf = AB，并连接DB，证明B'C二BD即可；或 延长AB至点C使得AC'二AC,并连接BC',证明BCf = BD即可.3 •如图，AC//BD,EB,EC分别平分二竺二ax交于点E,求证：AB + CD二BC思路分析：若要求证AB + CD = BC,可以在BC上截取线段BF = AB,再 证明CD二CF即可；或延长BA 至点F，使得BF = BC ,再证明AF二CD 即可.图（2）图（1）4.如图I^ABC是正三角形，△BDC是等腰三角形，BD=CD ,zBDC=120。

以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点， 连接MN.(1)探究BM、MN、NC之间的关系，并说明理由；(2) 若3BC的边长为2，求3MN的周长；解：（1）MN=BM+NC.理由如下：延长AC至E,使得CE=BM （或延长AB至E,使得BE=CN）,并连接DE. •••△BDC为等腰三角形，AABC为等边三角形，.\BD=CD,ZDBC=ZDCB,ZMBC=ZACB=60°,又 BD=DC，且ZBDC=120°,.\ZDBC=ZDCB=30°・•・ ZABC+ZDBC=ZACB+ZDCB=60° +30° =90°, .\ZMBD=ZECD=90°,在△MBD 与△ECD 中, BD=CD,ZMBD=ZECD, CE=BM,.•.△MBD竺AECD （SAS）,・・.MD=DE,.•.△dmn 竺Aden,・・・MN=BM+NC.（2）利用（1）中的结论得出△AMN 的周长=AM+MN+AN =（AM+BM）+（NC+AN） =2+2=4.方法归纳： 证明几条线段之间的和差关系，“截长法”或“补短法”，“ 截长法”的基本思路 是在长线段上取一段，使之等于其中一短线段，然后证明剩下的线段等于另一短 线段；“补短法”的基本思路是延长短线段，使之延长的部分等于另一短线段， 再证明延长的线段等于长线段。