第四章 第3-4节 角的度量与表示;角的比较.doc

第四章 第 3-4 节 角的度量与表示；角的比较二、知识要点（一）角的概念1. 有公共端点的两条射线组成的图形叫角．公共端点叫角的顶点，两条射线叫角的边．2. 角可以看作是一条射线绕着它的端点从起始位置旋转到终止位置所形成的图形．起始位置的边叫角的始边，终止位置的边叫角的终边．（二）角的表示方法1. 用三个大写字母表示任意一个角．即是用角的两边上的两个字母和顶点的字母表示角，如图 1 中的角可记为 ．这种表示角的方AOB法必须把顶点的字母写在中间．2. 用一个大写字母表示一个独立（以某一个字母为顶点的角只有一个角）的角．如图 1 中的角也可记为 ． O3. 用数字表示单独的一个角．即是在角的顶点处加上弧线，标注上数字，用这个数字来表示角．如图2 的 可记为 ． BAC14. 用小写的希腊字母表示单独的一个角．即是在角的顶点处加上弧线，标注上小写的希腊字母，然后用这个小写的希腊字母来表示这个角．如图 2 中的 可记为 ． ACB （三）角的分类1. 平角：射线 OA 绕点 O 旋转，当终止位置 OC 与起始位置 OA 在一条直线时所成的角叫平角．如图3 中的 就是一个平角．AC2. 周角：射线 OA 绕点 O 旋转，当终止位置与起始位置 OA 重合时所形成的角叫周角．如图 4 中的就是一个周角． O3. 直角：平角的一半叫做直角．如图 5 中的 都是直角． ,AOBC4. 锐角、钝角：小于直角的角叫做锐角；大于直角而小于平角的角叫做钝角．如图 6 中的 为锐AOB角， 为钝角． A5. 周角、平角、直角之间存在以下关系：1 周角＝2 平角＝4 直角＝360º．（四）角的度量及其换算角的大小可以通过叠合、度量法来比较，为了更精确地度量角，可用角的度量单位度、分、秒来表示，它们之间的换算关系是 60 进位制的：1º＝60'，1'＝60"．（五）角的平分线从一个顶点出发，把一个角分成两个相等的角的射线，叫这个角的角平分线．如图 7，射线 OC 把分成两个相等的角，OC 叫做 的角平分线．用符号语言记述为：若 （或AOBAOBAOCB） ，则 OC 是 的角平分线．12C（六）角的特殊关系1. 如果两个角的和等于 （直角） ，那么这两个角互为余角．其中一个角是另一个角的余角．如图908， ，则 与 互为余角，其中 是 的余角．12121(2)(1)2. 如果两个角的和等于 （平角） ，那么这两个角互为补角．其中一个角是另一个角的补角．如图89， ，则 与 互为补角，其中 是 的补角．34343433. 如果两个角的两边互为反向延长线，那么这两个角是对顶角．如图 10，∠1 与∠2 是对顶角，其中∠1（∠2）的对顶角是∠2（∠1） ．4. 互余、互补、对顶角的性质：（1）同角（或等角）的余角相等；（2）同角（或等角）的补角相等．（3）对顶角相等．（七）注意事项1. 角的两条边是射线，因此，角的大小与边的长短无关，只与开口的大小有关．2. 在表示角时，前面必须加上角的符号“∠” ．3. 角的平分线有着重要的应用，既能正用，也能反用．4. 并不是所有的角都有余角、补角，同角的余角比补角小 90°．四. 典例剖析例 1. 如图 11 中，能用∠AOB、∠O 、∠1 三种方法表示同一个角的图形是（ ） ．析解：∠O 是用一个单独的大写字母表示角，它只能表示独立的一个角，而 A、B 、C 中以 O 为顶点的角不止一个，所以选项 A、 B、C 均不正确，而在选项 D 中，显然∠O 与∠1、∠AOB 表示同一个角，故选 D．例 2. 图 12 中有几个角？是哪几个角？分析：由一点引 n 条射线所组成的角的个数共有 个，此题从 O()1234(1)2n出发有 4 条射线，n＝4，此时 ．(1)62解：图中有 6 个角，分别为∠AOB、∠AOC 、∠AOD、∠BOC、∠BOD、∠COD．例 3. 计算：（1）32°19′＋16°53′16″ ； （2）180°－126°43′12″；分析：进行加法运算时，先算秒，再算分，最后算度， 够 60″时，把 60″化为 1′，够 60′时，把 60′化为 1°．进行减法运算时，不够减，借 1°化为 60′． 解：（1）19′＋53′＝72′＝1°12′，所以 32°19′＋16°53′16″＝49°12′16″（2）180°－126°43′12″＝179°59′60″－126°43′12″＝53°16′48″例 4. 如图 13，用不同颜色的马赛克片覆盖一个圆形的台面，估计 15°圆心角的扇形部分大约需要 34片马赛克片，已知每箱装有 125 片马赛克片，那么应该购买约（ ）马赛克片才能铺满整个台面．A. 5～6 箱 B. 6～7 箱 C. 7～8 箱 D. 8～9 箱析解：本题是一道设计新颖的试题，根据题目的已知，要计算大约需要多少马赛克片，则要计算出圆形中有几个 15°角的扇形．因为圆周角是 360°，所以用 360°除以 15°即可解决问题． 360°÷15°＝24，24×34÷125＝6.528．所以大约用 6 箱多，所以选 B．例 5. 如图 14，在一张某地区的地图上，原标有学校、公园和广场三个位置，由于被墨水污染，广场的具体位置已看不清了．根据记忆，广场位置在学校的北偏东 60°的方向，在公园的北偏西 45°的方向．根据上述信息，请找出广场的具体位置．分析：本题是一道和方向角有关的题目．根据题意，可知广场在学校的北偏东 60°的方向．画图时，应以学校所在地为测点，在此处画出上北下南，左西右东的方向，以正北方向的射线为始边，顺时针旋转 60°，则广场的位置就在这条射线上，同理，在公园的位置作一条北偏西 45°的射线，这两条射线的交点，即为广场的位置．解：所画的图形如图 15 所示．例 6. 若时钟由 2 点 30 分走到 2 点 50 分，问时针、分针各转过多大的角度？分析：解这个问题的难处在于时针转过多大的角度，这就要弄清楚时针与分针转动速度的关系．每一小时，分针转动 360°，而时针转动 30°．因此时针转动的速度是分针转动速度的 ．12解：2 点 30 分时，时钟的分针指向数字 6；2 点 50 分时，时钟的分针指向数字 10，因此，分针共转过“四格”，每转“一格”为 30°，故分针共转过了 4×30°＝120°．由于时针转动速度是分针速度的 ，所以时针转动了 120°× ＝10°．112例 7. （2008，湖州市）已知 ，则 的余角的度数是（ ） ．35A. B. C. D. 5454析解： 的余角应等于 ．答案选 A．590a例 8. 如图 16，要把一个角钢（1）弯成 120°的钢架（2） ，则在角钢（1）上截去的缺口是_____度．析解：图（1）中的角钢可以看作一个平角，截去缺口后的图（2）中的角变成 120°，缩小的度数就是截去的缺口的度数 180°－120°＝60°．例 9. 在一七巧板拼图中，如图 17，∠ADC＝________．析解：由七巧板的制作，可知 ΔABD 和 ΔCB E 是等腰直角三角形．所以∠ABD＝45°，∠CBE＝ 90°．所以 ∠ADC＝∠ADB＋∠CEB ＝90°＋45°＝135°． 例 10. （2008，福州市）如图 18，已知直线 相交于点 ， 平分 ，ABCD， OAEC，则 的度数是（ ） ．10EOCBDA. B. C. D. 2405080析解：由 平分 ， ，可得 ，由 与 是对顶角，OAEC10O 50AOCACBOD可得 ＝ ＝ ．答案选 C．BD50例 11. 如图 19，已知 ，求 的度数．1:4D:B,9D,9 分析：我们可以利用 来巧设未知数．设 ，则 ＝11x．1:4x4BOCAD解：设 ，那么 ．因为 ，所以xBOCx490AOC1:4:．因为 ，所41AD 90,D以 ．解得， ．所以 ．90)( 122例 12. 如图 20 中，OB 是∠AOC 的平分线，OD 是∠COE 的平分线．已知∠AOE＝128°，求∠BOD 的度数． 分析：将∠BOD的度数转化为求 的和，而 的度数是无法求出来的，可利CODB与 CODB,用角的平分线定义再将 分别转化为 和 ，而∠AOC和∠EOC恰好组成OC, A21E∠AOE ．解：因为OB、OD是∠AOC、 ∠COE的平分线，所以， ，A21BOC12DE21．)( 648五、本讲数学思想方法的学习1. 如在求角的度数时，将未知的角的度数转化为已知的角的度数．2 .遇到计算角的问题，仅仅从角的和差倍分关系出发，有时很难奏效，若利用设未知数后构造方程的方法，则往往可化难为易．3. 当题目所给条件不明确时，根据条件呈现的所有情况进行分类，可以达到解题的目的．这在解决角的计算问题时经常碰到．4. 在思想过程中确定研究对象的相同点和不同点．如在学习“互补”以后，可与“互余”这个概念相比较学习；在角的运算中，公共角在不同情况下的使用，我们也可以来进行一个比较与归纳，这对同学们的学习应当都是有很多好处的．5. 要重视解题后的研究和探索：要对例题、习题提出新问题，探索新题目，从不同角度观察、分析问题，拓宽思维，完善解题方法，培养能力，收到举一反三、事半功倍之效．【模拟试题】 （答题时间：90 分钟）一、细心选一选（每题 2 分，共 20 分）1. 下列说法正确的是（ ）A. 平角就是一条直线 B. 平角的两条边在同一条直线上C. 周角就是一条射线 D. 周角的终边与始边重合，所以周角的度数是 0°2. 一条射线绕它的端点旋转一周的过程中，你可能得到所学过的角有（ ）A. 6 种 B. 5 种 C. 4 种 D. 3 种 3. 如图 1，从点 O 出发的 5 条射线，可以组成的角的个数是（ ）A. 4 B. 6 C. 8 D. 104. 如图 2 射线 OA 表示的方向是（ ） A. 西南方向 B. 东南方向 C. 西偏南 10° D. 南偏西 10°5. 如图 3，已知∠AOC＝∠BOD＝78°，∠BOC＝35°，则 ∠AOD 的度数是（ ）A. 86° B. 156° C. 121° D. 113°6. 已知 ∠AOC＝135°，OB为∠AOC 内部的一条射线，且 ∠BOC＝90°，以OB为一条边，以OA 为角平分线的角的另一边是（ ）A. ∠BOC 的平分线 B. 射线 OC C. 射线 OC 的反向延长线 D. 射线 OC 的延长线7. 如果一个角是36°，那么（ ） A. 它的余角是 64° B. 它的补角是 64° C. 它的余角是 144° D. 它的补角是 144°8.下列说法中，正确的是（ ）A. 一个角不是锐角必是钝角 B. 90°的角叫余角，180°的角叫补角C. 如果一个角有余角，则这个角必是锐角 D. 如果一个角有补角，则这个角必是钝角9. 若∠1 和∠2 互为余角，∠1 和∠3 互为补角，∠2 和∠3 的和等于周角的三分之一，那么∠1、∠2、∠3 的度数分别为（ ）A. 75°、15°、105° B. 60°、30°、120°C. 50°、40°、130 D. 70°、20°、110°10. 如果∠α＝n，且 有余角也有补角，则有（ ）A. B. C. D. 180990n90n180n二。