高一数学新教材同步配套教学讲义 单调性与最大（小）值（原卷版）.docx

单调性与最大（小）值【知识点梳理】知识点一、函数的单调性1．增函数、减函数的概念一般地，设函数的定义域为，区间如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数．如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是减函数．知识点诠释：（1）属于定义域内某个区间上；（2）任意两个自变量且；（3）都有；（4）图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．上升趋势下降趋势2．单调性与单调区间（1）单调区间的定义如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间．函数的单调性是函数在某个区间上的性质．知识点诠释：①单调区间与定义域的关系----单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集；②单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的；③不能随意合并两个单调区间，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；④有的函数不具有单调性；⑤遵循最简原则，单调区间应尽可能大．3．证明函数单调性的步骤（1）取值．设是定义域内一个区间上的任意两个量，且；（2）变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；（3）定号．判断差的正负或商与1的大小关系；（4）得出结论．4．函数单调性的判断方法（1）定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．（2）图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．（3）直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．（4）记住几条常用的结论①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数；③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．5．单调性定义的等价形式（1）函数在区间上是增函数：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，．（2）函数在区间上是减函数：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，．6．复合函数单调性的判断讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下：（1）若在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数；（2）若在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数．列表如下：增增增增减减减增减减减增复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减．因此判断复合函数的单调性可按下列步骤操作：（1）将复合函数分解成基本初等函数：，；（2）分别确定各个函数的定义域；（3）分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间．若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则为增函数；若为一增一减或一减一增，则为减函数．知识点诠释：（1）单调区间必须在定义域内；（2）要确定内层函数的值域，否则就无法确定的单调性．（3）若，且在定义域上是增函数，则都是增函数．7．利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论：（1）如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值．（2）如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值．若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值．（3）若函数在区间上是单调递增函数，则的最大值是，最小值是．（4）若函数在区间上是单调递减函数，则的最大值是，最小值是．8．利用函数单调性求参数的范围若已知函数的单调性，求参数的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数的不等式，利用下面的结论求解．（1）在上恒成立在上的最大值．（2）在上恒成立在上的最小值．实际上将含参数问题转化成为恒成立问题，进而转化为求函数在其定义域上的最大值和最小值问题．知识点二、基本初等函数的单调性1．正比例函数当时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数．2．一次函数当时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数．3．反比例函数当时，函数的单调递减区间是，不存在单调增区间；当时，函数的单调递增区间是，不存在单调减区间．4．二次函数若，在区间，函数是减函数；在区间，函数是增函数；若，在区间，函数是增函数；在区间，函数是减函数．知识点三、函数的最大（小）值1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在，，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最大值，即当时，是函数的最大值，记作．2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在，，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最小值，即当时，是函数的最小值，记作．3、几何意义：一般地，函数最大值对应图像中的最高点，最小值对应图像中的最低点，它们不一定只有一个．【题型归纳目录】题型一：单调性的概念题型二：函数的单调性的证明题型三：求函数的单调区间题型四：利用函数单调性求参数的取值范围题型五：利用函数单调性的性质解不等式题型六：利用函数单调性的性质比较函数值的大小关系题型七：求函数的最值题型八：抽象函数单调性的证明题型九：二次函数在闭区间上的最值问题【典型例题】题型一：单调性的概念例1．（2022·全国·高一课时练习）已知定义在（0，）上的函数满足：对任意正数a､b，都有，且当时，，则下列结论正确的是（    ）A．是增函数，且 B．是増函数，且C．是减函数，且 D．是减函数，且【方法技巧与总结】单调性定义的等价形式（1）函数在区间上是增函数：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，．（2）函数在区间上是减函数：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，．例2．（2022·全国·高一课时练习）若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有>0成立，则必有（    ）A．f(x)在R上是增函数 B．f(x)在R上是减函数C．函数f(x)先增后减 D．函数f(x)先减后增例3．（2022·山东济宁·高一期中）设函数的定义域为，已知为上的减函数，，，则是的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件例4．（2022·全国·高一课时练习）下列有关函数单调性的说法，不正确的是（    ）A．若为增函数，为增函数，则为增函数B．若为减函数，为减函数，则为减函数C．若为增函数，为减函数，则为增函数D．若为减函数，为增函数，则为减函数例5．（2022·全国·高一专题练习）如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，那么对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中不正确的是（    ）A．>0B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0C．若x10例6．（2022·全国·高一课时练习）若函数在上是增函数，对于任意的，（），则下列结论不正确的是（    ）A． B．C． D．题型二：函数的单调性的证明例7．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，．(1)证明：函数在上单调递增；(2)设，若的定义域和值域都是，求的最大值．【方法技巧与总结】（1）证明函数单调性要求使用定义；（2）如何比较两个量的大小？（作差）（3）如何判断一个式子的符号？（对差适当变形）例8．（2022·全国·高一课时练习）已知函数(1)当，证明函数在上单调递减；(2)当时，，求的值.例9．（2022·湖南·华容县教育科学研究室高一期末）已知函数，且 .(1)求函数的解析式；(2)判断函数在区间上的单调性并用定义法加以证明.例10．（2022·全国·高一课时练习）判断并证明在的单调性.例11．（2022·江苏·高一）已知函数，且(1)求解析式；(2)判断并证明函数在区间的单调性.例12．（2022·河北武强中学高一期中）设函数．(1)判断函数在区间和上的单调性，并证明；(2)若，求函数在上的最大值；(3)若，且，使得成立，求实数t的取值范围．例13．（2022·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）已知函数．(1)求证：在上是增函数；(2)当时，求不等式的解集．例14．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，判断并证明在区间上的单调性．题型三：求函数的单调区间例15．（2022·四川巴中·高一期中）的单调增区间为（    ）A． B． C． D．【方法技巧与总结】（1）数形结合利用图象判断函数单调区间；（2）关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关．（3）复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决．关注：内外层函数同向变化Þ复合函数为增函数；内外层函数反向变化Þ复合函数为减函数．例16．（2022·全国·高一课时练习）画出下列函数的图象，并写出单调区间：(1)；(2)．例17．（2022·黑龙江·哈九中高一阶段练习）已知函数的解析式.(1)求；(2)若，求的值；(3)画出的图象，并写出函数的单调区间和值域（直接写出结果即可）.例18．（2022·全国·高一课时练习）若定义在R上的函数的图象如图所示，则其单调递增区间是______，单调递减区间是______．例19．（2022·全国·高一专题练习）已知函数的单调增区间为_______．例20．（2022·全国·高一课时练习）函数的单调减区间为__________.题型四：利用函数单调性求参数的取值范围例21．（2022·海南·琼山中学高一阶段练习）已知在上单调，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【方法技巧与总结】（1）解答分类问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及讨论对象的范围；其次要确定分类标准，即标准统一、不重不漏；再对所分类逐步进行讨论，分级进行；最后进行归纳小结，综合得出结论．（2）分离参数法，即把分离出来放到不等式的左边，不等式的右边是关于的函数，然后转化成求函数的最值问题．例22．（2022·全国·高一课时练习）已知函数.若的减区间为，则实数a的值为___________；若在区间上是减函数，则实数a的取值范围为___________.故答案为：；.例23．（2022·全国·高一课时练习）已知函数的增区间是，则实数a的值为___________.例24．（2022·全国·高一课时练习）已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（    ）A． B．C． D．例25．（2022·全国·高一课时练习）已知函数 在上单调递减，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．例26．（2022·全国·高一课时练习）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．例27．（2022·黑。