初二数学动点问题归类复习.docx

名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -初二数学动点问题归类复习（含例题、练习及答案）所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点 , 它们段、射线或弧线上运动的一类开放性题目 . 解决这类问题的关键是动中求静 , 敏捷运用有关数学学问解决问题 .关键 : 动中求静 .数学思想：分类思想 数形结合思想 转化思想本文将初一至二学习过的有关学问，结合动点问题进行归类复习，期望对同学们能有所帮忙；一、等腰三角形类：因动点产生的等腰三角形问题例 1：（2021 年上海市虹口区中考模拟第 25 题） 如图 1，在 Rt△ ABC 中，∠ A＝ 90°， AB＝ 6，AC＝ 8，点 D 为边 BC 的中点， DE⊥BC 交边 AC 于点 E，点 P 为射线 AB 上的一动点，点 Q 为 边 AC上的一动点，且∠ PDQ ＝ 90°．（ 1）求 ED、EC 的长；（ 2）如 BP＝ 2，求 CQ 的长；（ 3）记线段 PQ 与线段 DE 的交点为 F ，如△ PDF 为等腰三角形，求 BP 的长．思路点拨图 1 备用图1．第（ 2）题 BP＝ 2 分两种情形．2．解第（ 2）题时，画精确的示意图有利于懂得题意，观看线段之间的和差关系．3．第（ 3）题探求等腰三角形 PDF 时，依据相像三角形的传递性， 转化为探求等腰三角形 CDQ ．解答：（1）在 Rt△ ABC 中， AB＝6， AC＝ 8，所以 BC＝ 10．在 Rt△ CDE 中， CD ＝5，所以ED CDtan C3 15 255 ， EC ．4 4 4（ 2）如图 2，过点 D 作 DM ⊥ AB， DN ⊥ AC，垂足分别为 M 、N，那么 DM 、DN 是△ ABC 的两条中位线， DM ＝ 4， DN＝ 3．由∠ PDQ ＝ 90°，∠ MDN ＝ 90°，可得∠ PDM ＝∠ QDN ． 因此△ PDM ∽△ QDN ．所以 PM DMQN DN4．所以 QN33 PM ， PM44 QN ．3图 2 图 3 图 4①如图 3，当 BP＝ 2， P 在 BM 上时， PM ＝1．此时 QN3 PM3 ．所以CQ CN QN4 3 19 ．4 4 4 4②如图 4，当 BP＝ 2， P 在 MB 的延长线上时， PM ＝5．1 第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -此时 QN3 PM15．所以CQ CN QN15 314 ．4 4（ 3）如图 5，如图 2，在 Rt △PDQ 中，tanQPD4 4QD DN 3．PD DM 4在 Rt△ ABC 中，tan CBA 3 ．所以∠ QPD ＝∠ C．CA 4由∠ PDQ ＝ 90°，∠ CDE ＝90°，可得∠ PDF ＝∠ CDQ ． 因此△ PDF ∽△ CDQ ．当△ PDF 是等腰三角形时，△ CDQ 也是等腰三角形．①如图 5，当 CQ ＝ CD ＝5 时， QN ＝CQ－ CN＝ 5－4＝ 1（如图 3 所示）．此时 PM4 QN4．所以BP BM PM 3 4 5 ．3 3 3 3②如图 6，当 QC ＝ QD 时，由 cosCCH ，可得 CQ CQ5 4 25 ．2 5 8所以 QN ＝CN －CQ ＝ 425 7（如图 2 所示）．8 8此时 PM4 QN7．所以BP BM PM3 7 25 ．3 6 6 6③不存在 DP ＝ DF 的情形．这是由于∠ DFP ≥∠ DQP ＞∠ DPQ （如图 5，图 6 所示）．图 5 图 6考点舒展： 如图 6，当△ CDQ 是等腰三角形时，依据等角的余角相等，可以得到△ BDP 也是等腰三角形， PB＝PD ．在△ BDP 中可以直接求解 BP 25 ．6二、直角三角形：因动点产生的直角三角形问题例 2：（ 2021 年河南省中考第 23 题） 如图 1，直线 yA 的坐标是（ -2， 0）．（ 1）试说明△ ABC 是等腰三角形；4 x 4 和 x 轴、y 轴的交点分别为 B、C，点3（ 2）动点 M 从 A 动身沿 x 轴向点 B 运动，同时动点 N 从点 B 动身沿线段 BC 向点 C 运动，运动的速度均为每秒 1 个单位长度． 当其中一个动点到达终点时， 他们都停止运动． 设 M 运动 t 秒时，△ MON 的面积为 S． ① 求 S与 t 的函数关系式；② 设点 M 段 OB 上运动时，是否存在 S＝ 4 的情形？如存在，求出对应的 t 值；如不存在请说明理由；③在运动过程中，当△ MON 为直角三角形时，求 t 的值．2 第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -图 1思路点拨：1．第（ 1）题说明△ ABC 是等腰三角形，示意了两个动点 M 、N 同时动身，同时到达终点．2．不论 M 在 AO 上仍是在 OB 上，用含有 t 的式子表示 OM 边上的高都是相同的，用含有 t 的式子表示 OM 要分类争论．3．将 S＝ 4 代入对应的函数解析式，解关于 t 的方程．4．分类争论△ MON 为直角三角形，不存在∠ ONM ＝ 90°的可能．解答：（ 1）直线 y4 x 4 与 x 轴的交点为 B（ 3， 0）、与 y 轴的交点 C（ 0， 4）．3Rt △ BOC 中， OB＝ 3，OC ＝ 4，所以 BC＝ 5．点 A 的坐标是（ -2， 0），所以 BA ＝ 5．因此 BC＝ BA，所以△ ABC 是等腰三角形．（ 2）①如图 2，图 3，过点 N 作 NH ⊥AB，垂足为 H ．在 Rt△ BNH 中， BN＝ t， sin4B ，所以54NH t ．5如图 2，当 M 在 AO 上时， OM ＝ 2－ t，此时S 1 OM NH 1 〔2 t〕 4 t 2 t 2 4 t ．定义域为 0＜ t≤ 2．2 2 5 5 5如图 3，当 M 在 OB 上时， OM ＝ t－ 2，此时S 1 OM NH 1 〔t 2〕 4 t 2 t 2 4 t ．定义域为 2＜ t≤ 5．2 2 5 5 5图 2 图 3②把 S＝ 4 代入 S2 t 24 t ，得2 t 24 t 4 ．5 5 5 5解得 t1 2 11 ， t2 2 11 （舍去负值） ．因此，当点 M 段 OB 上运动时，存在 S＝4 的情形，此时 t 2 11 ．③如图 4，当∠ OMN ＝ 90°时，在 Rt△ BNM 中， BN＝ t， BM 5 t ， cos B 3 ，53 第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -所以 5 t t3 25．解得 t ．5 8如图 5，当∠ OMN ＝ 90°时， N 与 C 重合， t 5 ．不存在∠ ONM ＝90°的可能．25所以，当t 或者 t85 时，△ MON 为直角三角形．图 4 图 5考点舒展： 在此题情形下，假如△ MON 的边与 AC 平行，求 t 的值．如图 6，当 ON // AC 时， t＝3；如图 7，当 MN //AC 时， t＝ 2.5．图 6 图 7三、平行四边形问题：因动点产生的平行四边形问题例 3：（ 2021 年山西省中考第 26 题） 在直角梯形 OABC 中， CB//OA，∠ COA＝ 90°， CB＝ 3， OA＝ 6， BA＝ 3 5 ．分别以 OA、OC 边所在直线为 x 轴、 y 轴建立如图 1 所示的平面直角坐标系．（ 1）求点 B 的坐标；（ 2）已知 D 、E 分别为线段 OC 、OB 上的点， OD ＝ 5， OE＝ 2EB，直线 DE 交 x 轴于点 F．求直线 DE 的解析式；（ 3）点 M 是（ 2）中直线 DE 上的一个动点，在 x 轴上方的平面内是否存在另一点 N，使以 O、D、M 、N 为顶点的四边形是菱形？如存在，恳求出点 N 的坐标；如不存在，请说明理由．图 1 图 2思路点拨： 1．第（ 1）题和第（ 2）题包蕴了 OB 与 DF 垂直的结论，为第（ 3）题争论菱形供应了运算基础．2．争论菱形要进行两次 （两级） 分类， 先依据 DO 为边和对角线分类， 再进行二级分类，4 第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -DO 与 DM 、DO 与 DN 为邻边．解答： 〔1〕如图 2，作 BH⊥x 轴，垂足为 H，那么四边形 BCOH 为矩形， OH ＝ CB＝ 3．在 Rt△ ABH 中， AH ＝ 3，BA＝ 3 5 ，所以 BH ＝ 6．因此点 B 的坐标为 〔3,6〕．(2) 由于 OE＝ 2EB，所以 xE2xB 2 ， yE32yB 4 ， E〔2,4〕．3b 5,设直线 DE 的解析式为 y＝ kx＋ b，代入 D 〔0,5〕，E〔2,4〕 ，得1解得 k ，b5 ．所1以直线 DE 的解析式为 y x 5 ．212k b 4. 2(3) 由 y x 25 ，知直线 DE 与 x 轴交于点 F 〔10,0〕 ， OF＝ 10， DF ＝ 5 5 ．①如图 3，当 DO 为菱形的对角线时， MN 与 DO 相互垂直平分， 点 M 是 DF 的中点． 此时点 M5的坐标为 〔5,25〕，点 N 的坐标为 〔－5, 〕．2②如图 4，当 DO 、DN 为菱形的邻边时，点 N 与点 O 关于点 E 对称，此时点 N 的坐标为 〔4,8〕．③如图 。