热力学统计物理课后答案2.pdf

第六章近独立粒子的最概然分布6.1中试根据式（ 6.2.13）证明：在体积V 内，在到dε +ε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为1322 32d2d .VDm h解: 式（ 6.2.13）给出，在体积3VL内，在xp到d,xxyppp到d,yyxppp到dxxpp的动量范围内，自由粒子可能的量子态数为3ddd.xyzVppp h（1）用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量，并对动量方向积分，可得在体积V 内，动量大小在p到dpp范围内三维自由粒子可能的量子态数为234 πd.Vpp h（2）上式可以理解为将空间体积元24dVpp（体积V，动量球壳24πdpp）除以相格大小3h而得到的状态数 . 自由粒子的能量动量关系为2. 2pm因此2,d.pmp pmd将上式代入式（ 2） ，即得在体积V 内，在到d的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为1322 32π()d2d.VDm h（3）6.4 在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为.cp试求在体积 V 内，在到的能量范围内三维粒子的量子态数. 解: 式（6.2.16）已给出在体积V 内，动量大小在p到dpp范围内三维自由粒子可能的状态数为234d.Vpp h（1）将极端相对论粒子的能量动量关系cp代入，可得在体积V 内，在到d的能量范围内，极端相对论粒子的量子态数为234πdd .VD ch（2）6.5 设系统含有两种粒子，其粒子数分别为N和N. 粒子间的相互作用很弱，可以看作是近独立的. 假设粒子可以分辨，处在一个个体量子态的粒子数不受限制. 试证明，在平衡状态下两种粒子的最概然分布分别为l llae和,l llae其中l和l是两种粒子的能级，l和l是能级的简并度 . 解： 当系统含有两种粒子，其粒子数分别为N和N，总能量为E，体积为 V时，两种粒子的分布la和la必须满足条件,,llllllllllaNaNaaE（1）才有可能实现 . 在粒子可以分辨，且处在一个个体量子态的粒子数不受限制的情形下，两种粒子分别处在分布la和la时各自的微观状态数为!, !!. !llallllallllNΩ aNΩ a（2）系统的微观状态数0Ω为0.ΩΩ Ω（3）平衡状态下系统的最概然分布是在满足式（1）的条件下使0Ω或0In Ω为极大的分布 . 利用斯特令公式，由式（3）可得0Inlnlnlnlnlnlnln,llllllllllllΩΩ ΩNNaaaNNaaa为求使0ln Ω为极大的分布，令la和la各有la和la的变化，0ln Ω将因而有0δ ln Ω的变化 . 使0 ln Ω为极大的分布la和la必使0δln0,Ω即0δ lnlnδlnδ0.llllllllaaΩaa但这些δla和δla不完全是独立的，它们必须满足条件δδ0,δδ0,δδδ0.llllllllllNaNaEaa用拉氏乘子,和分别乘这三个式子并从0δ ln Ω中减去，得0δlnδδδlnδlnδ0.ll llll llllΩNNEaa aa根据拉氏乘子法原理，每个δla和δla的系数都等于零，所以得ln0,ln0,llll llaa即.llllllaeae（4）拉氏乘子,和由条件（ 1）确定 . 式（4）表明，两种粒子各自遵从玻耳兹曼分布. 两个分布的和可以不同，但有共同的. 原因在于我们开始就假设两种粒子的粒子数,NN和能量 E 具有确定值，这意味着在相互作用中两种粒子可以交换能量，但不会相互转化. 从上述结果还可以看出，由两个弱相互作用的子系统构成的系统达到平衡时，两个子系统有相同的. 6.6 同上题，如果粒子是玻色子或费米子，结果如何？解: 当系统含有N个玻色子，N个费米子，总能量为E，体积为 V 时，粒子的分布la和la必须满足条件,,lll laNaNllllllaaE（1）才有可能实现 . 玻色子处在分布la，费米子处在分布la时，其微观状态数分别为1 ! , !1 !. !!llllllllllaΩ aΩ aa系统的微观状态数0Ω为0.ΩΩ Ω（3）平衡状态下系统的最概然分布是在满足式（1）条件下使0Ω或0l n Ω为极大的分布 . 将式（ 2）和式（ 3）取对数，利用斯特令公式可得0lnlnlnlnlnlnln.llllllllllllllllllΩaaaaaaaa令各la和la有δla和δla的变化，0ln Ω将因而有0δ ln Ω的变化，使用权0ln Ω为极大的分布la和la必使0δln0,Ω即0lnδ lnδlnδ0.llllllllllaaΩaa aa但这此致δla和δla不完全是独立的，它们必须满足条件δ0,δδ0,δδδ0.llllllllllNaNaEaa用拉氏乘子,和分别乘这三个式子并从0δ ln Ω中减去，得0δlnδδδlnδlnδ0.llllllll llllΩNNEaa aa aa根据拉氏乘子法原理，每个δla和δla的系数都等于零，所以得ln0,ln0,ll llll llaaa即, 1. 1lll ll la ea e（4）拉氏乘子,和由条件（ 1）确定 . 式（4）表明，两种粒子分别遵从玻色分布和费米分布，其中和不同，但相等. 第七章玻耳兹曼统计7 7.2 试根据公式l llpa V证明，对于相对论粒子1 22222xyzcpcnnn L, ,,0,1,2,,xyznnn有1 . 3U p V上述结论对于玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立. 解: 处在边长为L 的立方体中，极端相对论粒子的能量本征值为122222xyzn nnxyzcnnn L,,0,1,2,,xyznnn（1）用指标l表示量子数,,,xyznnnV表示系统的体积，3VL，可将上式简记为 13,laV（2）其中122222.xyzac nnn由此可得4311. 33llaV VV（3）代入压强公式，得1. 33llll llUpaa VVV（4）本题与 7.1题结果的差异来自能量本征值与体积V 函数关系的不同 . 式（4）对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都适用. 7.4 试证明，对于遵从玻耳兹曼分布的定域系统，熵函数可以表示为ln,sssSNkPP式中sP是粒子处在量子态s的概率，1,ssseeP NZs是对粒子的所有量子态求和. 对于满足经典极限条件的非定域系统，熵的表达式有何不同？解: 根据式（ 6.6.9） ，处在能量为s的量子态s 上的平均粒子数 为.s sfe（1）以 N 表示系统的粒子数，粒子处在量子态s上的概率为1.ssseeP NZ（2）显然，sP满足归一化条件1,ssP（3）式中s是对粒子的所有可能的量子态求和. 粒子的平均能量可以表示为.sssEP（4）根据式（ 7.1.13） ，定域系统的熵为1111lnlnlnlnss sSNkZZNkZNkPZln.sssNkPP（5）最后一步用了式（ 2） ，即1lnln.ssPZ（6）式（5）的熵表达式是颇具启发性的. 熵是广延量，具有相加性. 式（5）意味着一个粒子的熵等于ln.ssskPP它取决于粒子处在各个可能状态的概率sP. 如果粒子肯定处在某个状态r，即ssrP，粒子的熵等于零 . 反之，当粒子可能处在多个微观状态时，粒子的熵大于零. 这与熵是无序度的量度的理解自然是一致的. 如果换一个角度考虑，粒子的状态完全确定意味着我们对它有完全的信息，粒子以一定的概率处在各个可能的微观状态意味着我们对它缺乏完全的信息. 所以，也可以将熵理解为信息缺乏的量度. 第九章补充题5 还将证明，在正则系综理论中熵也有类似的表达式. 沙农（ Shannon ）在更普遍的意义 上引 进了信 息熵 的概 念，成 为通 信理论 的出 发点 . 甄尼 斯（Jaynes ）提出将熵当作统计力学的基本假设，请参看第九章补充题 5. 对于满足经典极限条件的非定域系统，式（7.1.13′）给出11lnlnln!,SNkZZkN上式可表为0ln,sssSNkPPS（7）其中0ln!ln1 .SkNNkN因为,ssfN P将式（ 7）用sf表出，并注意,ssfN可得ln.sssSkffNk（8）这是满足玻耳兹曼分布的非定域系统的熵的一个表达式. 请与习题8.2的结果比较 . 7.6 晶体含有 N 个原子. 原子在晶体中的正常位置如图中的“O”所示 . 当原子离开正常位置而占据图中的“”位置时，晶体 中就 出现缺 位和 填隙 原子 . 晶体 的这种 缺陷 称为 弗伦克 尔（Frenkel）缺陷 . （a）假设正常位置和填隙位置都是N，试证明，由于在晶体中形成n个缺位和填隙原子而具有的熵等于!2In. !!NSk nNn（b）设原子在填隙位置和正常位置的能量差为u. 试由自由能FnuTS为极小证明，温度为T 时，缺位和填隙原子数为2ukTnN e（设nN）. 解: 固体中原子的相互作用使固体形成规则的晶格结构. 晶格的格点是原子的平衡位置. 当所有原子都处在其平衡位置时，固体的能量最低 . 绝对零度下物质将尽可能处在其能量最低的状态. 由于量子效应，绝对零度下原子并非静止在格点上而是围绕格点作零点振动 . 温度升高时，一方面晶格振动会随温度升高而变得剧烈；另一方面有的原子会离开其正常的格点位置占据填隙位置，有的原子离开正常的格点位置占据晶体表面的格点位置而形成新的一层，使 固体 出现缺 陷， 前者 称为弗 伦克 尔缺陷 ，后 者称 为肖脱 基（Shottky）缺陷 . 本题讨论弗伦克尔缺陷，肖脱基缺陷将在7.7 题讨论. （a）设晶体含有N 个原子，晶格中正常的格点位置亦为N. 当1N时可以认为填隙位置与正常位置数目相同. 当固体的N 个正常位置出现n个缺位时，由于缺位位置的不同，可以有!!!NnNn个微观状态 . 同样，由于填隙位置的不同，也可以有!!!NnNn个微观状态 . 因此当固体中出现n个缺位和n个填隙原子时，可能的微观状态数为!!, !!!!NNΩ nNnnNn（1）形成弗伦克尔缺陷导致的熵为ln!2ln. !!SkΩNk nNn（2）（b）以u表示原子处在填隙位置与正常位置的能量差. 形成n个缺位和填隙原子后，固体内能的增加为.Unu（3）自由能的改变为!2ln !!2lnlnln.FnuTSNnukT nNnnukTNNnnNnNn（4）假设形成缺陷后固体的体积不变，温度为T 时平衡态的自由能为极小要求0.Fn由式（ 4）得2ln0,FNnukT nn即ln, 2NnunkT由于nN，上式可以近似为2e.ukTnN（5）实际固体中u的典型值约为1eV，在 300K 时，有208.7e10.nN高温下比值会增大 . 上述讨论中假设形成缺隐时固体的体积不变. 在这假设下应用了自由能判据，u也成为与温度无关的常量. 讨论中也忽略了形成缺陷与晶格振动的相互影响. 这些假设都是近似成立的. 7.10 气体以恒定速度0υ沿z方向作整体运动，求分子的平均平动能量 . 解: 根据 7.8 题式（9） ，以恒定速度0υ沿z方向作整体运动的气体，其分子的速度分布为222 032 2eddd. 2xyzm υυυυ kT xyzmNυ υ υ kT（1）分子平动量的平均值为222 0222 0322222122222221eddd 22111ededed. 2222xyzxyzmυυυυ kT xyzxyzmmmυυυυ kTkTkT xxyyzzmm υυυυ υ υ kTmmυυmυυmυυ kT上式头两项积分后分别等于12kT，第三项的积分等于222z0001222222 00z022001ed2eded 2211. 22zzmmm υυυυυυ kTkTkT zzzzmmυυυυυυυυ kTkTmυmυ因此，2031 . 22kTmυ（2）式（2）表明，气体分子的平动能量等于无规热运动的平均能量32kT及整体运动能量2012mυ之和. 重 7.11 表面活性物质的分子在液面上作二维自由运动，可以看作二维气体 . 试写出二维气体中分子的速度分布和速率分布，并求平均速率υ，最概然速率mυ和方均根速率s.υ解: 参照式（ 7.。