2024年新高中考试数学解答题模拟训练——立体几何（答案版）.docx

基础训练】专题04 立体几何1．（2023·全国·高三专题练习）如图多面体中，四边形是菱形，，平面，，(1)证明：平面平面；(2)在棱上有一点，使得平面与平面的夹角为，求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取的中点，连接交于，连接，，证明，利用平面，证明平面，从而平面平面；（2）建立平面直角坐标系，设，求出二面角，再求得的值，即可得到的坐标，再利用空间向量法求出点到面的距离．【详解】（1）证明：取的中点，连接交于，连接，，因为是菱形，所以，且是的中点，所以且，又，，所以且，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以，又因为，平面，所以平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）解：取的中点，由四边形是菱形，，则，是正三角形，，，又平面，所以以为原点，，，为坐标轴建立空间直角坐标系，设在棱上存在点使得平面与平面的夹角为，则，，，，，，则设，，所以，，，，设平面的一个法向量为，，，则，即，令，，得平面的法向量可以为，，解得，所以，则设平面的一个法向量为，则，即，取，得，所以点到平面的距离.2．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥E-ABCD中，，，E在以AB为直径的半圆上（不包括端点），平面平面ABCD，M，N分别为DE，BC的中点．(1)求证：平面ABE；(2)当四棱锥E-ABCD体积最大时，求二面角N-AE-B的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取EC的中点的F，连接MF，NF，证得，得到，利用线面平行的判定定理得到平面，同理得到平面，证得平面平面，进而得到平面.（2）过E作交AB于O，证得平面ABCD，取CD的中点G，连接OG，以O为原点，分别以AB为x轴，以OE为y轴，以OG为z轴建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）证明：如图所示，取EC的中点的F，连接MF，NF，因为M，F分别为ED和EC的中点，所以，因为，所以，因为平面，平面，所以平面，同理可得平面，因为，平面，平面，所以平面平面，因为平面，所以平面.  （2）解：如图所示，过E作交AB于O，因为平面平面ABCD，平面平面，平面，所以平面ABCD，故EO为四棱锥E-ABCD的高，要使四棱锥E-ABCD体积最大，则E为弧的中点，所以O与AB的中点，取CD的中点G，连接OG，因为，，所以，因为平面ABCD，所以，，所以EO，AB，OG两两垂直，以O为原点，分别以AB为x轴，以OE为y轴，以OG为z轴建立空间直角坐标系，设，所以，可得，，，则，，设平面的一个法向量，则，可得，令，则平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则，由图可知二面角的平面角为锐角，所以二成角的余弦值为．3．（2023春·河南焦作·高二博爱县第一中学校考阶段练习）如图，四棱台的下底面和上底面分别是边和的正方形，侧棱上点满足.(1)证明：直线平面；(2)若平面，且，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）延长和交于点，连接交于点，连接，即可得到，从而得到为中点，即可得到且，从而得到，即可得解；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】（1）证明：延长和交于点，连接交于点，连接，由，故，所以，所以，所以，所以为中点，又且，且，所以且，故四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）解：以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系.则. 所以.设平面的法向量，由，得，取，故所求角的正弦值为，所以直线与平面所成角的正弦值为.4．（2023春·广东清远·高二阳山县南阳中学校考阶段练习）如图，在四棱锥P-ABCD中，，且，底面ABCD是边长为2的菱形，．(1)证明：平面PAC⊥平面ABCD；(2)若，求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)．【分析】（1）连接，证明BD⊥平面APC，再由平面ABCD，得出平面APC⊥平面ABCD．（2）作辅助线，利用线面垂直的判定证明PH⊥平面ABCD，以O为坐标原点，建立坐标系，利用向量法求解即可.【详解】（1）连接DB交AC于点O，连接PO．因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC，且O为BD的中点．因为PB＝PD，所以PO⊥BD．又因为AC，平面APC，且，所以BD⊥平面APC．又平面ABCD，所以平面APC⊥平面ABCD．（2）取AB中点M，连接DM交AC于点H，连接PH．因为，所以△ABD是等边三角形，所以DM⊥AB．又因为PD⊥AB，，平面PDM，所以AB⊥平面PDM．所以AB⊥PH．由（1）知BD⊥PH，且，所以PH⊥平面ABCD．由ABCD是边长为2的菱形，在△ABC中，，．由AP⊥PC，在△APC中，，所以．以O为坐标原点，、分别为x轴、y轴建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，所以，，．设平面PAB的法向量为，所以，令得．设平面PBC的法向量为，所以，令得．设平面PAB与平面PBC的夹角为．所以，所以，平面PAB与平面PBC夹角的余弦值为．5．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，侧棱矩形，且，过棱的中点，作交于点，连接(1)证明：；(2)若，平面与平面所成二面角的大小为，求的值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先证平面，得，再证平面，得，然后证明平面，得证；（2）以为原点，射线分别为轴的正半轴，建立空间直角坐标系，由空间向量法求二面角得的长，然后利用棱锥体积公式计算．【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以，由底面为矩形，有，而，平面，所以平面，又平面，所以．又因为，点是的中点，所以．而，平面，所以平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，而平面，所以得证．（2）如图，以为原点，射线分别为轴的正半轴，建立空间直角坐标系．因为，设，（），则，，点是的中点，所以，由，所以是平面的一个法向量；由（1）知，，所以是平面的一个法向量．因为平面与平面所成二面角的大小为，则，解得（负值舍去）．所以，．6．（2023·湖南长沙·长沙一中校考模拟预测）如图所示的在多面体中，，平面平面，平面平面，点分别是中点.(1)证明：平面平面；(2)若，求平面和平面夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用面面垂直的性质定理和线面平行及面面平行的判定定理即可完成证明,（2）方法一先建系求法向量，再利用向量法求两平面的夹角，方法二利用几何法找到面面角，利用三角形知识求两平面的夹角.【详解】（1）如图，取中点，连接，因为，所以，又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，同理可得平面，所以，又因为平面平面，所以平面，因为点分别是中点，所以，又因为平面平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面.（2）方法一：因为，所以，由（1）知平面平面，所以，所以两两相互垂直，如图，以点为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，因为，所以，则，平面的一个法向量为，设平面的法向量为，由，得，即，解得，取，得，设平面和平面的夹角为，则，所以平面和平面的夹角的余弦值为.方法二：因为平面平面，所以平面和平面的夹角即二面角.如图，过点作，垂足为点，过点作交于点，则为二面角所成平面角.在中，，在中，，在直角梯形中，因为，,所以，所以在中，，所以，利用三角形等面积可得，所以，因为，所以，过点作于，则，所以，在中，，所以，所以平面和平面夹角的余弦值为.7．（2023·湖北省直辖县级单位·统考模拟预测）如图，已知四棱锥的底面为菱形，且，，.是棱PD上的点，且四面体的体积为(1)证明：；(2)若过点C，M的平面α与BD平行，且交PA于点Q，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）解法一：取AB中点O，连接PO，CO.推导得到平面，平面PBC，根据体积即可得出答案；解法二：先证明平面PAB. 过M作交AP于点N，证明得到平面PBC，根据体积即可得出答案；（2）解法一：建立空间直角坐标系，写出点的坐标，结合平面向量基本定理，求出平面的法向量，计算即可得出答案；解法二：建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，计算即可得出答案；解法三：通过作图，作出二面角的平面角，构造直角三角形，即可得出答案.【详解】（1）解法一：如图1，取AB中点O，连接PO，CO.因为，，所以，，.又因为是菱形，，所以，.因为，所以，所以.又因为平面，平面ABCD，，所以平面.因为，平面PBC，平面PBC，所以平面PBC，所以.因为，所以点M到平面PBC的距离是点D到平面PBC的距离的，所以.解法二：如图2，取AB中点O，连接PO，CO，因为，，所以，，，又因为是菱形，，所以，.因为，所以，所以.因为平面PAB，平面PAB，，所以平面PAB.所以，.过M作交AP于点N，，所以.又平面PBC，平面PBC，所以平面PBC，所以.因为，，所以，所以N是PA的中点，所以M是PD的中点，所以.（2）解法一：由（1）知，，，.如图3，以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，，，.因为，设，则，因为，，，，故存在实数a，b，使得，所以，解得，所以.设平面的法向量为，则，即，取，得到平面的一个法向量.设平面与平面夹角是，又因为是平面的一个法向量，则.所以平面与平面夹角的余弦值是.解法二：由（1）知，，，，如图3，以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，，，.设平面的法向量为，则，即.取，得到平面的一个法向量.因为，设，则，因为，所以，所以设平面的法向量为，则，即.取，得到平面的一个法向量.设平面与平面夹角是，又因为是平面的一个法向量，则.所以平面与平面夹角的余弦值是.解法三：在平面内，过C作交AD延长线于点E，交AB延长线于点F，因为是菱形，所以.如图4，在平面PAD内，作交EM的延长线于点，设交AP于点Q.所以，四边形是平行四边形，，.所以，所以，所以点Q是线段PA上靠近P的三等分点.如图5，在平面PAB内，作，交AB于T，因为平面，所以平面，所以，因为，，在平面内，作，交BC于点N，连接QN，过A作交BC于K，在中，，，所以，所以，因为，，，且两直线在平面内，所以平面，因为平面，所以.所以是二面角的平面角.在中，，所以.所以平面与平面夹角的余弦值是.8．（2023·湖南长沙·周南中学校考二模）如图，在直三棱柱中，，点D是的中点，点E在上，平面.(1)求证：平面平面；(2)当三棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解。