2022年高考求函数解析式方法及例题.docx

函数专题之解析式问题求函数解析式的方法把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫函数的解析式,简称解析式.求函数解析式的题型有：（1） ）已知函数类型,求函数的解析式：待定系数法.可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载（2） ）已知f 〔 x〕 求f [ g〔x〕] 或已知f [ g〔 x〕] 求f 〔x〕：换元法，配凑法.可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载（3） ）已知函数图像,求函数解析式.（4） ） f 〔x〕 中意某个等式,这个等式除程组法.f 〔 x〕外仍有其他未知量,需构造另个等式：解方可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载（5） ）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等.一 【待定系数法 】（已知函数类型如：一次，二次函数，反比例函数等）可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载如已知f 〔 x〕的结构时,可设出含参数的表达式,再依据已知条件,列方程或方程组,从可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载而求出待定的参数,求得f 〔 x〕的表达式.可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载【例 1】已知函数 f〔x〕是一次函数,且中意关系式 3f〔x+1〕-2f〔x-1〕=2x+17,求 f〔x〕的解析式.分析：所求的函数类型已定,是一次函数.设 f〔x〕=ax+b〔a ≠就0〕f〔x+1〕=. , f〔x-1〕=.解：设 f〔x〕=ax+b〔a ≠,0由〕 条件得： 3[a〔x+1〕+b]-2[a〔x-1〕+b]=ax+5a+b=2x+17 ,∴f〔x〕=2x+7【例 2】求一个一次函数 f〔x〕 ,使得 f{f[f〔x〕]}=8x+7分析：所求的函数类型已定,是一次函数.设 f〔x〕=ax+b〔a ≠就0〕f{f[f〔x〕]}=f{f[ax+b]}=f[a〔ax+b〕+b]=.解：设 f〔x〕=ax+b（a≠ 0,〕 依题意有 a[a〔ax+b〕+b]+b=8x+7∴ a 3 x +b〔 a 2 +a+1〕=8x+7,∴f〔x〕=2x+1【评注： 】待定系数法是一种重要的数学方法,它只适用于已知所求函数的类型求其解析式.可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载待定系数法例题：设二次函数f 〔x〕 中意f 〔 x 2〕f 〔 x 2〕可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载且图象在y 轴上的截距为 1,在x 轴截可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载得的线段长为2 2 ,求f 〔 x〕的解析式.可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载解法一，设 f 〔 x〕 ax2bxc由 f 〔 x得 4 a2〕b0f 〔x2〕〔 a 0〕x x 2 2 2 2可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载1 2又 c解得 aa11 , b2b2, c 14ac 8a可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载f 〔 x〕1 x 222 x 1可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载解法二，由 f 〔 x 2〕 f 〔 x 2〕可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载得 y f〔 x〕的对称轴为 x 2可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载设 f 〔 x〕a〔 x2〕 2 k可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载f 〔0〕 14a k 12 2 k可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载x1 x2a 1 , k2 2 2a1可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载2 1可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载f 〔 x〕 〔 x 22〕 2 1可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载1 x 222 x 1可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载二 【换元法 】（留意新元的取值范畴）可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载已知 f〔 g〔 x〕〕的表达式,欲求f 〔x〕 ,我们常设 tg〔 x〕 ,从而求得 xg 1 〔t〕 ,然后代入可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载f 〔g 〔 x〕〕 的表达式,从而得到f 〔t〕 的表达式,即为f 〔 x〕的表达式.可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载三【配凑法（整体代换法） 】可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载如已知f 〔 g 〔x〕〕 的表达式,欲求f 〔 x〕 的表达式,用换元法有困难时,（如g〔 x〕不存在反可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载函数）可把g〔 x〕看成一个整体,把右边变为由g 〔 x〕组成的式子,再换元求出f 〔 x〕 的式子.可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载换元法例题：依据条件,分别求出函数的解析式f 〔 x〕〔1〕 f 〔1〔2〕 f 〔 x1 〕x1 〕x1x21x 21x 2换元法（ 1 ）解：令 11x且t凑配法（ 2）解： f 〔 x1x〕 〔 x1x〕22就1xf 〔 t 〕t 1t1用 x替代式中的x〔 t1〕21t22 t又考虑到x1x21x2即f 〔 x 〕x22 x〔 x 1〕f 〔 x 〕2x〔 x2〕【例题】已知 f〔x-1〕= x 2 -4x,解方程 f〔x+1〕=0分析：如何由 f〔x-1〕 ,求出 f〔x+1〕 是解答此题的关键解 1：f〔x-1〕== 〔x 1〕 2 -2〔x-1〕-3, ∴f〔x〕= x 2-2x-3f〔x+1〕= 〔 x1〕 -2〔x+1〕-3= x -4,∴ x -4=0,x=±2222解 2：f〔x-1〕= x 2 -4x,∴ f〔x+1〕=f[ （x+2〕-1]= 〔x 2〕2 -4〔x+2〕= x2 -4, ∴ x 2 -4=0,x=±2解 3：令 x-1=t+1 ,就 x=t+2 ,∴f〔t+1〕= 〔t 2〕 2 -4〔t+2〕= t 2 -4可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载∴f〔x+1〕=x 2 -4, ∴ x 2 -4=0,∴ x=±2可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载评注：只要抓住关键,接受不同方法都可以达到目的.解法 1,接受配凑法.解法 2,依据对应法就接受整体思想实现目的.解法 3,接受换元法,这些不同的解法共同目的是将 f〔x-1〕 的表达式转化为 f〔x+1〕 的表达式.可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载【小结： 】待定系数法，换元法，配凑法是求函数解析式常用的方法,其中,待定系数法只适用于已知所求函数类型求其解析式,而换元法与配凑法所依据的数字思想完全相同 --整体思想.四 【消元法 】【构造方程组 】（如自变量互为倒数，已知 f（x）为奇函数且 g（x）为偶函数等） 如已知以函数为元的方程形式,如能设法构造另一个方程,组成方程组,再解这个方程组,求出函数元,称这个方法为消元法.五【赋值法 】〔特别值代入法 〕在求某些函数的表达式或求某些函数值时,有时把已知条件中的某些变量赋值,使问题简洁明白,从而易于求出函数的表达式.解函数方程组法可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载例题：已知求3 f 〔 x〕f 〔 x 〕12 f 〔 〕x1x 〔x 0〕 ,可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载解：由3 f 〔 x〕 2 f 〔 〕 xx可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载1 13 f 〔 〕 2 f 〔 x〕x x可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载解得 f3 x 2〔 x〕 〔 x 0〕5 5 x可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载代入法例题：设函数f 〔 x 〕1x 的图象为xC 1 ,可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载C1 关于点A 〔2,1〕对称的图象为C 2 ,可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载求 C 2 对应的函数g 〔 x 〕的表达式.可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载解：设y g 〔 x〕 图象上任一点〔 x, y〕,就关于可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载A〔2,1〕对称点为 〔4x, 2y 〕 在y f 〔 x〕 上,可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载即 2 y4 x 14 x可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载即 y x故 g 〔 x〕2 1x 4x 2 1 〔 x 4〕x 4可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载题 5．如f 〔 x y〕f 〔 x〕f 〔 y〕 ,且f 〔1〕 2 ,可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载求值 f 〔 2〕f 〔3〕f 〔 4〕f 〔2005〕 .可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载f 〔1〕f 〔2〕f 〔3〕f 〔 200。