概率论与数理统计第三章课后习题答案.docx

习题三1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律.【解】X和Y的联合分布律如表：X0123 Y101C3111322281112C3/83222031001111822282.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.【解】X和Y的联合分布律如表：0123 XY00022CC33231CC2324C3574C35710112CCC6322211CCC1232231CC2324C3574C3574C3572P(0黑,2红,2白)=2 2 4C C / C2 2 7135121CCC63224C35722CC3324C35703.设二维随机变量〔X，Y〕的联合分布函数为F〔x，y〕 =sinxsiny,0xπ,02yπ20,.其他求二维随机变量〔X，Y〕在长方形域0πππx内的概率.,y463【解】如图πππP{0X,Y}公式(3.2)463ππππππ F(,)F(,)F(0,)F(0,)4346361--------ππππππsinsinsinsinsin0sinsin0sin4346362(31).4题3图说明：也可先求出密度函数，再求概率。

4.设随机变量〔X，Y〕的分布密度(3x4y)Ae,x0,y0,f〔x，y〕=0,.其他求：〔1〕常数A；〔2〕随机变量〔X，Y〕的分布函数；〔3〕P{0≤X<1，0≤Y<2}.【解】〔1〕由-(34)xyAf(x,y)dxdyAedxdy10012得A=12〔2〕由定义，有yxF(x,y)fu(v,u)dvdyy(3uv4)3x4y12edudv(1e)(1e)y0,x0, 000,0,其他(3)P{0X1,0Y2}P{0X1,0Y2}12(3x4y)3812edxdy(1e)(1e)0.9499. 005.设随机变量〔X，Y〕的概率密度为f〔x，y〕=k(6xy),0x2,0,2y其他4.,〔1〕确定常数k；〔2〕求P{X＜1，Y＜3}；〔3〕求P{X<1.5}；〔4〕求P{X+Y≤4}.【解】〔1〕由性质有2--------24f(x,y)dxdyk(6xy)dydx8k1,02故R18〔2〕13P{X1,Y3}f(x,y)dydx130213k(6xy)dydx88(3)P{X1.5}f(x,y)dxdy如图af(x,y)d xdyx1.5D11.54127dx(6xy)dy. 02832(4)P{XY4}f(x,y)dxdy如图bf(x,y)dxdyXY4D22412xdx(6xy)dy. 0283题5图6.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在〔0，0.2〕上服从均匀分布，Y的密度函数为5y5e,y0,fY〔y〕=0,.其他求：〔1〕X与Y的联合分布密度；〔2〕P{Y≤X}.题6图【解】〔1〕因X在〔0，0.2〕上服从均匀分布，所以X的密度函数为1,0x0.2, f(x)0.2X0,.其他而3--------f(y)Y5y5e,y0,0,其他.所以f(x,y)XY,独立fx(f)y()XY10.20,5y5y5e25e,0x0.2且y0,其他.0,(2)5yP(YX)f(x,y)dxdy如图25edxdyyxD0.2x0.2-5yx5dx25edy(5e5)dx 000-1=e0.3679.7.设二维随机变量〔X，Y〕的联合分布函数为4x2y(1e)(1e),x0,y0,F〔x，y〕=0,.其他求〔X，Y〕的联合分布密度.【解】f(x,y)2(4x2y)F(x,y)8e,x0,y0,xy0,其他 .8.设二维随机变量〔X，Y〕的概率密度为f〔x，y〕=4.8y(2x),0x1,0yx,0,其他.求边缘概率密度.【解】f(x)f(x,y)dyX=x024.8y(2xy)d2.4x(2x),0x1,0,其他.0,f(y)f(x,y)dxY124.8y(2xx)d2.4y(3y4y),y01,=y0,其他.0,4--------题8图题9图9.设二维随机变量〔X，Y〕的概率密度为f〔x，y〕=ye,0xy,0,.其他求边缘概率密度.【解】f(x)f(x,y)dyX=yxedye,x0,x0,其他 .0,f(y)f(x,y)dxYyyxedxye,y0,=00,其他 .0,题10图10.设二维随机变量〔X，Y〕的概率密度为f〔x，y〕=2cxy,2xy1,0,.其他〔1〕试确定常数c；〔2〕求边缘概率密度.【解】〔1〕f(x,y)dxdy如图f(x,y)dxdyD4 112=dxcxydyc1.2-1x21得21c.4(2)f(x)f(x,y)dyX5--------12x214221xydy824x(1x),1x1,0,0,其他 .f(y)f(x,y)dxYyy522172xydxy,0y1,420,0,其他 .11.设随机变量〔X，Y〕的概率密度为1,yx,0x1,f〔x，y〕=0,.其他求条件概率密度fY｜X〔y｜x〕，fX｜Y〔x｜y〕.题11图【解】f(x)f(x,y)dyXx1dy2x,0x1 x0,.其他11dx1y,1y0, y1f(y)f(x,y)dx1dx1y,0y1,Yy0,.其他所以1f(x,y),|y|x1,f(y|x)2xY|Xf(x)X0,.其他6--------1,yx1, 1yf(x,y)1f(x|y),yx1,X|Yf(y)1yY0,其他.12.袋中有五个1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个中最小的为X，最大的为Y.〔1〕求X与Y的联合概率分布；〔2〕X与Y是否相互独立？【解】〔1〕X与Y的联合分布律如下表345 YP{Xxi }X1113C105223C105333C10561020311221033C10C1055300111102C105P{Yyi }110310610(2)因6161P{X1}P{Y3}P{X1,Y3},101010010故X与Y不独立13.设二维随机变量〔X，Y〕的联合分布律为258XY0.40.150.300.350.80.050.120.03〔1〕求关于X和关于Y的边缘分布；〔2〕X与Y是否相互独立？【解】〔1〕X和Y的边缘分布如下表X258P{Y=yi}Y0.40.150.300.350.80.80.050.120.030.2P{Xx}i0.20.420.387--------(2)因P{X2}P{Y0.4}0.20.80.160.15P(X2,Y0.4),故X与Y不独立.14.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在〔0，1〕上服从均匀分布，Y的概率密度为fY〔y〕=1/2ye2,y0,0,.其他〔1〕求X和Y的联合概率密度；2+2Xa+Y=0，试求a有实根的概率.〔2〕设含有a的二次方程为a【解】〔1〕因f(x)X1,0x1,0,其他;1fy()2Yy2e,y1,其他. 0,故1f(x,y)X,Y独立f(x)f(y)2XYy/2e0x1,y0,0,其他.题14图(2)方程2aXaY有实根的条件是202(2X)4Y02故X≥Y，从而方程有实根的概率为：2P{XY}f(x,y)d xdy2xy21xy/21dxedy 00212[(1)(0)]0.1445.15.设X和Y分别表示两个不同电子器件的寿命〔以小时计〕，并设X和Y相互独立，且服从同一分布，其概率密度为f〔x〕=10002x,x1000,0,.其他8--------求Z=X/Y的概率密度.X【解】如图,Z的分布函数(){}{}FzPZzPzZY(1)当z≤0时，()0FzZ1000〔2〕当0