度量空间的定义与极限.doc

第一章 度量空间若在实数集中点列的极限是时，我们使用来表达和的接近限度，事实上，可表达为数轴上和这两点间的距离，那么实数集中点列收敛于也就是指和之间的距离随着而趋于0，即． 于是人们就想，在一般的点集中如果也有“距离”，那么在点集中也可借这一“距离”来定义极限，而究竟什么是“距离”呢？或者说“距离”的本质是什么？诗人顾城的一首诗《远和近》对距离的感受又如何呢？远和近你一会看我一会看云我觉得你看我时很远你看云时很近这首诗诗似乎是纯理性的，十分冷静，但细细品味，其中暗暗催动着一股热流：呼唤一种互相理解、互相信任、和谐融洽的人际关系．现实距离和心理距离并不总是一致的．现实距离很远，但心理距离却也许很近，“海内存知己，天涯若比邻”，即是此意．也也许现实距离很近，而心理距离却很远，所谓“咫尺天涯”大概就是指此而言了．那么如何给出距离这一概念？1.1 度量空间的定义与极限1.1.1 度量空间的定义与举例定义 1.1.1 设为一非空集合．若存在二元映射，使得，均满足如下三个条件：（1）且当且仅当 (非负性 Positivity)；（2） (对称性 Symmetry)；（3） (三角不等式 Triangle inequality)，则称为上的一种距离函数，称为距离空间或度量空间(Metric Spaces)，称为和两点间的距离．□注1：在不产生误解时，可简记为．下面我们来看某些具体的例子例 1.1.1 欧氏空间． 设，定义 ． 其中 ，可以验证是一种度量空间． 在证明之前，引入两个重要的不等式．引理1.1.1 (许瓦兹(Schwarz)不等式) 任给个实数，有 (1.1)证明 任取实数，则由知右端二次三项式的鉴别式不不小于零，即于是可得(1.1)式成立．□进一步有Hölder不等式其中且，称这样的两个实数为一对共轭数．引理1.1.2 闵可夫斯基(Minkowski)不等式的和形式 任给个实数及，有 (1.2)证明 由(1.1)式得这就证明了(1.2)式．□进一步可有Minkowski不等式的一般形式，其中例 1.1.1 欧氏空间． 设，定义 ． (1.3)其中 ，可以验证是一种距离函数．证明 非负性(1)和对称性(2)显然成立，下面仅验证(3)也成立．对于任意的，由闵可夫斯基不等式(1.2)有 ，即．从而得证是一种距离函数．□注2：称为维欧氏空间，称为欧氏距离或原则欧氏距离．此后若不作特殊声明，凡提到度量空间，均指由(1.3)式的欧氏距离所定义的．注3：在中我们还可以定义其她的距离：；．可以验证距离、均满足条件(1)、(2)和(3)． 注4：在中比较上述三种距离、和，可看看她们各表达什么？由此懂得，在一种集合上，定义距离的措施可以不止一种．但务必注意的是，由于定义的距离不同，因此虽然基本集相似，也应视她们为不同的度量空间．下面的例子阐明任何一种集合上均可定义距离，使其成为度量(距离)空间．例1.1.2 离散度量空间设为非空集合，，定义距离 (1.4)容易验证满足距离的三个条件，并称之为离散距离，为离散度量空间．例 1.1.3 持续函数空间，，定义， 证明 显然满足非负性(1)和对称性(2)，下面验证(3)也成立．及均有 ，故．称为持续函数空间，简记为．□注5：在中我们还可以定义如下的距离：．可以验证均满足条件(1)、(2)和(3)，因此也为一度量空间．例 1.1.4 有界数列空间，对于，，定义，可以验证是一种距离函数，并称为有界数列空间，简记为．例1.1.5 次幂可和的数列空间，定义 (1.5)(1.5)式是故意义的，由于由闵可夫斯基不等式及的定义知其右端有界．可以证明是一种距离函数．称为次幂可和的数列空间，简记为．例1.1.6 次幂可积函数空间即： 在中，我们把几乎到处相等的函数视为同一函数． 对于，定义距离 那么为度量空间． 并称为次幂可积函数空间，简记为．分析 集合具有下列重要性质： (1)对线性运算是封闭的．即若，是一常数，则．(2)．设，令，，则 故．引理1.1.3 闵可夫斯基(Minkowski)不等式(积分形式): 设、是可测集上的可测函数且 (1.6)证明 由于 ，因此(1.6)式故意义． 显然非负性(1)和对称性(2)成立，下面验证三角不等式(3)也成立． 对于任意的有 □上述例子波及到常用的六个度量空间： 维欧氏空间；离散度量空间；持续函数空间；有界数列空间；次幂可和的数列空间；次幂可积函数空间．1.1.2 度量空间中的极限极限理论是数学分析的基本, 数学分析重要研究微分和积分, 而极限又是微积分学大厦的基石，在数学分析中, 运用极限的思想措施给出持续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数, 广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分等概念，可见极限思想贯穿于整个数学分析课程，它也是高等数学必不可少的一种重要思想．同样地，在度量空间中也可定义极限，并且分析中的数列极限可当作下列度量空间中点列极限的特例．定义1.1.2 设是度量空间，是中点列，若， 则称点列收敛于，称为点列的极限． 记作，或或．收敛于用“”语言描述是: ，当时，恒有成立． 若点列不收敛，则称其发散．□例1.1.7 设是实数集，数列．若在上定义欧氏距离显然，数列在度量空间中收敛于0．若在上定义离散距离则数列在度量空间中是发散的．由于对任意给定的， 只要，就有，因此无论多么大，有可见数列不收敛于．虽然与有共同的基本集，但由于定义的距离的不同，它们是两个不同的度量空间，可见同一点列在一种度量空间中收敛，在另一度量空间中却发散．□定义1.1.3 设为度量空间，，若将距离限制在上，显然也是一种度量空间，称作的子空间．若，则点到的距离定义为： (1.7)集合的直径定义为： (1.8)若有限，则称为有界集；若，则称为无界集．□在离散度量空间中点，，那么和分别是多少？显然(1)当是单点集时，有及；(2)当不是单点集时，有及． 定理1.1.1 极限的性质 设是度量空间， 是中的一种点列．（1）若点列收敛，则其极限唯一；（2）若点列，则的任何子列；（3）若收敛点列看作是的子集，则它是有界的．证明 （1）设且，由定义知：，当时，有，故当时，我们有．由的任意性知，，从而．（2）设，是的子列． ： ：， ， ， 由定义，，当时，有，由于时，，故，即．（3）设，由定义知：对，，当时，．取，则，，于是，．即作为点集有界．□例 1.1.8 设是持续函数空间()中的点列，那么(函数列一致收敛)当且仅当(度量空间中的点列收敛)．证明 等价于，当时，有． 其中，等价于．进一步等价于，有．于是等价于，当时，，有，即．□例1.1.9 设是上的一种距离，则也是上的距离．证明 显然非负性和对称性成立，下面仅证三角不等式． 由于是上的距离，因此，有． 又知函数为单调递增函数，于是 (单调递增) 因此是上的距离． □。