高一数学集合与函数错题集锦.docx

高一数学集合易错题汇总及详解一、混淆集合中元素的形成例 1　集合 ， ，则 　　　　．()|0Axy，()|2Bxy，ABI错解：解方程组 　　得 　　　　　　211I，∴剖析：　产生错误的原因在于没有弄清楚集合中元素的形式，混淆点集与数集．集合中的元素都是有序数对，即平面直角坐标系中的点，而不是数，因而 是点集，而不是AB， AB，数集．(1)ABI，∴（加强练习）1、集合 ，则 = （ ）2,,,xyRByxRABA、 B、 C、 D、0,0,10解析：A=R， 答案 C,,AI2、已知集合 ， ，则 （）}1|{2xy},1|{AxyBA、 B、 C、 D、}1,0)0,(]0[]1,[解析： 答案 C[,1][2,][1,]AI二、忽视空集的特殊性例 2　已知 ， ，若 ，则 的值为　　．|()0Axm2|30BxABm错解：　　　由 　得11m由 　得 或230xx3|A∴ B，AB∵或 3　　　　 或1m∴ 2∴ 3剖析：由于忽视空集的特殊性――空集是任何集合的子集，产生丢解的错误，以上只讨论了的情形，还应讨论 的情形，当 时， ． 的值为 ．AAA1m∴ 213，（加强练习）设 ，若 ，}0)(2|{},04|{2 axxBx BA求 a 的值解析：∵ ∴ B A ,由 A={0，-4}，∴B=Φ ， 或 B={0},或 B={-4}，或 B={0,-4}A当 B=Φ 时，方程 无实数根，则01)(22axx△ = 整理得 解得 ；4)1(a1a当 B={0}时，方程 有两等根均为 0，则 解得 ；01)(22axx 0)1(2a1a当 B={-4}时，方程 有两等根均为-4 ，则 无解；)(22 618)(2a当 B={0，-4}时，方程 的两根分别为 0，-4 ，则 解得01)(22axx 04)(21a综上所述： 1a或三、忽视集合中的元素的互异性这一特征例 3　已知集合 ， ，且 ，求 的234Aa，2074Baa， 37ABI，a值．错解：　　 ，　 必有∵ 7BI∴ 2或2450()10aa∴ 5a∴ 1剖析：由于忽视集合中元素应互异这一特征，产生增解的错误．求出 的值后，还必须检验a是否满足集合中元素应互异这一特征．事实上， （1）当 时， ， 不满足 中元素应互异这一特征，故24327B应舍去．5a（2）当 时， ， 满足 且集合 中元素互异．a2a1a3AI，的值为 1．∴四、没有弄清全集的含义例 4　设全集 ， ，求 的值．2321Saa， 5SCa错解：　　 且∵ 5SCAS∴ 5A23a∴ 280a∴或∴ 4剖析：没有正确理解全集的含义，产生增解的错误．全集中应含有讨论集合中的一切元素，所以还须检验．（1）当 时， ，此时满足 ．2a133S（2）当 时， ， 应舍去， ．49a4a∴ 2a∴五、没有弄清事物的本质例 5　若 ， ，试问 是否相等．|2AxnZ，|2BxnZ，AB，错解：　 ∵ A∴剖析：只看到两集合的形式区别，没有弄清事物的本质，事实上 是偶数集， 也是偶数集，两集合应相等，尽管形式不同． |2|2xnx整 数，| |(1)BnZZ|2x整 数换句话说 ，| |Cxx， 整 数|1|Dxn， 整 数两集合中所含元素完全相同， CDAB（加强练习）1. 已知 ,则集合 M 与 P 的关系是( A )2{,},{1,}MyxRPxaRA. M=P B. C . P D. P2、已知集合 的集合 T= ( )TSxS则 使},1|2|{A、 B、 C、 D、|0x20|x}21|{x}12|{x解析：显然 S=T， 。

答案 A12,1x六、误用数学符号例 6　用 ， 填空 　　　　πR错解： πR剖析：错误的原因在于没有弄清符号“ ”与“ ”之间的区别“ ”表示元素与集合之间的关系， “ ”表示集合与集合之间的关系， 表示集合， 亦πR是集合， ．π∴高一数学函数易错题汇总及详解一、函数的图像和对称性1.作函数（1）y＝ 与（2）y＝ 的图像，正确的作图顺序是：_ B _和_ A _13x13xA.13213xfyfxyfxB. 1xfff2.（1）若 f（x）满足 f（x）－f（2－x）＝0，则 y＝f （x）图像的特征是关于直线 x=1 对称_；（2）若 f（x）满足 f（x）＋f（2－x）＝0，则 y＝f （x）图像的特征是关于点（1，0）中心对称；（3）若 f（x）满足 f（x）－f（x－2）＝0，则 y＝f （x）图像的特征是以 2 为周期；（4）若 f（x）满足 f（x）＋f（x－2）＝0，则 y＝f （x）图像的特征是以 4 为周期3.（1）R 上的函数 y＝f（x）满足 f（a＋x）＝f （b－x） ，则 y＝f（x）图像的对称轴为直线；2ab（2）R 上的函数 y＝f（x＋a）与 y＝f（b－x）的图像关于直线 对称。

2ba4.（1）若 f（x）是偶函数，则 y＝f （x＋a）的图像的对称轴是直线 x=－a；（2）若 f（x＋a）是偶函数，则 y＝f （x）的图像的对称轴是直线 x=a二．单调区间注意定义域5.函数 y= 的单调增区间是_________.245解：y= 的定义域是 ，又 在区间 上增函数，在区x[5,1]2()54gxx[5,2]间 是减函数，所以 y= 的增区间是[2,1] 24x[,]三、恒成立问题6.（1）若 在 R 上恒成立，则实数 a 满足的条件是________________；20xa解： ，∴41(,)（2）若 在 R 上恒成立，则实数 a 满足的条件是________________93xx解：令 ，则0t 2()0()0,,fttfa7.（1）已知函数 f（x）＝x 2＋ ax＋1，若 x∈[0 ，2]时，f（x）＞0 恒成立，则实数 a 满足的条件是____；解： x=0 时，不等式成立，这时 ；当 时， ，2(1)aaR,2x1()x∵ 时， （当且仅当 x=1 时取等号） ，∴0,xx1()因此，要使 f（x）＞0 恒成立，则 .综上，2,,(,)I（2）已知函数 f（x）＝x 2＋ ax＋1，若 a∈[0，2] 时，f（ x）＞0 恒成立，则实数 x 满足的条件是_____。

解： ，a∈[0，2] ，这个关于 a 的函数的图像是一条线段，()fga由保号性知， ∴2(0)1012gxx (,1)(,)U8.（1）若方程 4x－2 x＋1 ＋a＝0 有解，则实数 a 满足的条件是__________________;解：令 则 时方程有解.,t,(2)tt,（2）若方程 4x－2 x＋1 ＋a＝0 有两相异解，则实数 a 满足的条件是_______________;解一：令 则,t2,t时，直线 y=a 与函数 的图像有两个交点，()a(2),0ytt∴方程 4x－2 x＋1 ＋a＝0 有两相异解，则实数 a 满足的条件是 (,1)a解二：令 则,t20,1tt当方程的小根 ，01 1taaa∴方程 4x－2 x＋1 ＋a＝0 有两相异解，则实数 a 满足的条件是 (,)（3）若方程 x2－2x＋a＝0 有解，则实数 a 满足的条件是_________________解： ， 时方程有解.(),19.（1）已知函数 f（x）＝x 2＋ 2x若 f（x）＞a 在[1，3]上有解，则实数 a 满足的条件是______________；解：当 时，f（x）为增函数， ∴,3()3,15f若 f（x）＞a 在[1，3]上有解，则实数 a0, 且 a2－ a+1=(a－ )2+ >0, ∴ 1+2 x+4x·a>0, a> ,142ax 143)214(x当 x∈(－∞, 1]时, y= 与 y= 都是减函数，x4x∴ y= 在(－∞, 1]上是增函数， max=－ ,)24(x )214(x43∴ a>－ , 故 a 的取值范围是(－ , +∞).33点评：发掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系、反客为主，主客换位，创设新的函数，并利用新函数的性质创造性地使原问题获解，是解题人思维品质高的表现.本题主客换位后，利用新建函数 y= 的单调性转换为函数最值巧妙地求出了实数 a 的取值范)214(x围.此法也叫主元法.五．分类讨论思想15 若 ，试求 的取值范围.1133()(2)aa解：∵幂函数 有两个单调区间，yx∴根据 和 的正、负情况，有以下关系　1①　　　 ②　　　　　 ③032.a1032.a10.32a解三个不等式组：①得 ＜ ＜ ，②无解，③ ＜－1a∴ 的取值范围是（－∞，－1）∪（ ， ）a23点评：幂函数 有两个单调区间，在本题中相当重要，不少学生可能在解题中误认为13yx，从而导致解题错误.32六．根的分布问题16 已知 有且只有一根在区间（0,1）内，求 的取值范围.10mx m解：设 ， （1）当 ＝0 时方程的根为－1，不满足条件.2()fxmm（2）当 ≠0∵ 有且只有一根在区间（0,1）内又 ＝1＞0　　∴有两种可能情形① 得 ＜－2()f ()f或者② 得 不存在综上所得， ＜－212m且