双曲线渐近线有关问题 讲义及练习.docx

双曲线渐近线有关问题-教师版一.综述 在双曲线的几何性质中,渐近线是双曲线所特有的性质,因此学好双曲线的渐近线对学 习双曲线的几何性质有很大的帮助.过双曲线实轴的两个端点与虚轴的两个端点分别作对称轴的平行线，它们围成一个矩形， 其两条对角线所在直线即为双曲线的渐近线.画双曲线时,应先画出它的渐近线.理解“渐进” 两字的含义,当双曲线的各支向外延伸时,与这两条直线逐渐接近,接近的程度是无限的.掌握根据双曲线的标准方程求出它的渐近线方程的方法.最简单且实用的方法是：把双 曲线标准方程中等号右边的1改成0，就得到了此双曲线的渐近线方程.即:⑴已知双曲线方程兰-兰=1求渐近线:兰-比=0 n y = ±bxa2 b2 a 2 b2 a⑵已知渐近线y=mXS双曲线标准方程m2X2 -y2二九 在考题中,常结合双曲线方程和离心率进行考查 ,只要抓住渐近线斜率与离心率可以通过a2 + b2 = c2的关系进行相互转化即可•几何性质中我们除了要掌握对称性,还需要熟记焦 点到渐近线的距离为b.二.例题精讲 破解规律例1.已知双曲线乂-兰二1 ( a > 0, b > 0 )的一条渐近线被圆X2 + y2-6x+5=0截得的弦a2 b2长为 2，则该双曲线的离心率为( )A. 2 B.、3 C. 5 D.舟2 2分析:双曲线渐近线为过原点的两条相交直线,目斜率分别为± b •由已知条件根据直线与圆a的位置关系可以求出其中一条渐近线的斜率然后再利用a 2 + b 2 = c 2求出离心率.解析：由题意得圆方程即为(x―+ y2二4，故圆心为(3,0),半径为2•双曲线的一条渐3bv'a 2 + b 2 a 2 + b 2・・•渐近线被圆截得的弦长为2,・・・2 + 12 = 22，整理得b = 12a2a 2 + b 2a 2c• • e =—=a1+2 弓 a1 +竺=a 2近线为y二bx，即bx - ay = 0，故圆心到渐近线的距离为d = a答案：D・ 点评: 双曲线几何性质是高考考查的热点，其中离心率是双曲线的重要性质，求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a、b、C的方程或不等式，利用a 2 + b 2 = c 2和e=-转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率 a的值或取值范围．规律总结湘关渐近线斜率k与离心率e的问题，由a 2 + b 2 = C 2，可以得到 12 + k 2 = e 2进行相互转化.现学现用1：已知焦点在X轴上双曲线的离心率为2，则双曲线C的渐近线方程为（）：3 _ _A. y = ± • X B. y = ~\5x C. y = ± 2 x D・ y = ±\；3x3解析：・・•双曲线C:兰-兰=1（a〉0, b〉0）的离心率为2・・・£二2，即c 2 = 4a 2 a 2 b2 a• c 2 = a 2 + b 2 • b 2 = 3 a 2，即 2 =a・•・双曲线C:兰-兰=1（a〉0, b〉0）的渐近线方程为y十3x a 2 b2故选D例2.已知双曲线C: 乂 -兰=1的右焦点为F,过点F向双曲线的一条渐近线引垂线屋足为 a2 b2M,交另一条渐近线与N,若7 FM 二 3 FN， 则双曲线的渐近线方程为分析:题目中给出的向量表达式7 FM 二 3 FN ，从代数的角度讲就是给出向量坐标的比例关sfan 0 丄an (71 — 2a )2 fan ak Hian a .^B^n 2a +xoH n ・s霜：(s聊—旨-HB郡：田嚳序心 \MOF H田0|遑7團H 2FN-I- I 4 ・ H HI— i h —i gn 0 m RrF a RrN#雷創BiMN 4 •型—a®iu 田r ®Ai028«8^H凤 ONsM$:ra:f bm/・i@M金——三L」 二 a j・ 7 FM H 2FN02Q22bcXI0M1FM :・■ ■Lx^^lOM FM a 2c——— c广 ' JW—sfax.答案: 点评: 本题主要考查双曲线及渐近线,解法一利用对称性与三角函数列方程找出 a、b、c 的 关系式，从而解出k.解法二代数法列方程求出坐桩再利用垂直关系解出k 规律总结:关于直线与双曲线渐近线交点问题,可以利用渐近线的对称性结合三角方法来处 理.现学现用2:点P在双曲线巳-21二i(a > 0,b > 0)的右支上，其左、右焦点分别为F、a2 b2 1F，直线PF与以坐标原点O为圆心、a为半径的圆相切于点A，线段PF的垂直平分线2 i i恰好过点F，则该双曲线的渐近线的斜率为 •2答案：土 43解析:如图,A是切点,B是PF的中点>因为|OA| = a，所以|BF | = 2a,又|FF| = 2c,所以 |BF| = 2, |PF | = 4b，又|PF |=|FF | = 2c，根据双曲线的定义，有|PF |-|PF | = 2a,1 2 2 12 1 2c5即4b - 2c = 2a，两边平方并化简得3c2 一 2ac 一 5a2 = 0 , a3因此-二a例3：已知双曲线C：腔—述=l(a >0,b> 0),过其左焦点F作斜率为啲直线与双曲线的两«2 b2 2条渐近线的交点分别为A、Bt 若FA= ±AB ”则双曲线的两条渐近线方程为2A. y = ±1x B. y = ±(V2 - l)x C. y = ±x D. y = ±i兀3 4分析:答案:C 解析:由题意设直线4B的直线的方程为y = !(x + c)•与两条渐近线联立{y = 1x + 1c —2 2 ，得y = b 兀 2b_a 2b_art2= 1x + 1c2 2 ，得A(-O^-y = —^x -2b-aa若FA = 1AB，则1 •皿=耳，解得a = b，故双曲线的两条渐近线方程为y = 土兀2 3 2b—a 2b+a故选C点评:本题给出直线的斜率，较适宜列方程解出坐标•再利用両=W转化为坐标的比例关系.2规律总结: 关于直线与双曲线渐近线交点问题,可以利用解析法求出交点坐标,利用坐标的关 系解答问题.现学现用3: 已知双曲线C的中心为原点，F(3,0)是C的焦点，过F的直线1与C相交 于A , B两点，且AB的中点为N (-12,-15)，则该双曲线的渐近线方程为()A y"乎X B. y二土芋X C. yf 丟解析:设双曲线的标准方程为兰-兰二1(a > 0,b > 0)，由题意知c=3,a2+b2=9,a2 b2设 A(x1,y1),B(x2,y2)，M有：＜两式作差得：D=空xx - x a 212x2—聲=1a2b 2x2y2-^2 —厶=1a2b 2x + x-12b2—1 2 = X—y + y—15a25a2124b2 '又AB的斜率是卷3 =】，所以将4b2=5a2代入a2+b2=9得：a2=4‘b2=5•则双曲线的渐近线方程为y "舟x.本题选择A选项.cfis9E寸9 吟 织—HI蛊归srs陵...9m%q k9%e...zq+zeH6...・0T£..・ 0匚。

介9"刃..«寸 u 寸① H 4" .・Kr H y i»3iln..iyMttl寸 9 9E 9E 寸 9 91 6 6 91匚汨—HId 匚珀—HIw匚汨—HIm匚打—Hlv17'VRW ;+lL ss&sQ — K w: s—^ ooihj^hH Jns* b+H 爲s3Jr( 00)8.(061)弋舉 aHffliBtt oo^— H JI H dDIRsod 一 + - ZHds、ss居 zh ® R第Ss-H更、ssls^ss§、f 1 — ZR iss d・s OVYVI十—nzlx—pB寸—Kzl s&^s £s§^ (O7+I)sqs!»(o 餐)寸 1^+E3Rsllr0H 寸—亠丄符題SR网 i#ttf •寸'「033®・ sss & sg ・ siE^EES (0 V w 寸 H 忌+EsrslIrOH 寸—亠丄旦 zffi粗DKS守